Задачи скольжения для квантовых газов с переменной частотой столкновений

Объект исследования и актуальность темы. Кинетические явления в разреженных газах являются предметом исследования со времен Максвелла и Больцмана. При этом большая часть работ по данной тематике посвящена изучению поведения классических газов. Квантовые газы изучались, главным образом, в рамках рассмотрения кинетики электронов в полупроводниках и металлах, а также кинетики фононов в конденсированных средах.

Работа посвящена аналитическому решению граничных задач для случая изотермического скольжения квантовых фермии бозегазов, заполняющих полупространство над плоской стенкой.

Задача о нахождении решений уравнения для квантовых газов имеет теоретическую значимость и актуальность в связи с возросшим практическим значением микроэлектроники, требующей, в частности, умения решать граничные задачи для электронного газа. Постановка и точное решение граничной задачи для кинетического уравнения представляет практическую важность, поскольку может быть применено к решению реальных физических задач.

Цель диссертационной работы заключается в постановке граничных задач для кинетических уравнений, описывающих квантовые фермии бозе-газы для случая, когда частота столкновений молекул пропорциональна модулю скорости молекул, и аналитическом решении задач об изотермическом скольжении с использованием модельного уравнения Больцмана в релаксационном приближении.

Научная новизна работы. Результаты работы относятся к теории аналитических решений граничных задач для кинетических уравнений. В диссертации получены новые результаты, связанные с аналитическим решением кинетических уравнений, описывающих поведение квантовых бозеи ферми-газов в полупространстве. Как основной результат, в диссертации получены точные решения линеаризованных задач об изотермическом скольжении квантовых бозе-и ферми-газов вдоль плоской твердой поверхности. В качестве граничных условий используется сначала диффузное, а затем и более общее зеркально-диффузное отражение молекул газа от поверхности. Решение позволило в явном виде определить физически важные параметры: коэффициент скольжения, массовую скорость газа и функцию распределения газовых молекул.

Научная и практическая ценность работы. Проведенное исследование имеет два аспекта: методологический и прикладной. Методологическая ценность работы состоит в переносе методики решения граничной задачи для классического кинетического уравнения Больцмана в БГК — приближении, когда равновесное распределение отлично от максвелловского, на квантовый случай. Эта методика может быть полезна для решения модельных задач кинетической теории квантовых газов и жидкостей при низких температурах, теории электронного газа в металлах, теории переноса нейтронов в плотных средах (нейтронных звездах), а также в задачах теоретической астрофизики.

Отметим, но крайней мере, два направления проведенного исследования, имеющих прикладное значение:

1. Решение кинетических уравнений в слое Кнудсена позволяют корректно поставить граничные условия для уравнений сплошной среды (уравнений Навье — Стокса).

2. Использование полученных результатов в динамике аэрозолей при изучении сил, действующих на аэрозольную частицу.

Обзор предшествующих результатов. Рассматриваемые в диссертации задачи возникают при решении физических проблем. Динамика разреженного газа, большинство ранних исследований которой в начале прошлого века касались, в основном, либо течений с очень малой скоростью [68], либо различного рода «внутренних» течений (в трубах, соплах, насадках и т. д.), связанных с проблемами получения глубокого вакуума, претерпела в середине прошлого столетия свое второе рождение, что обусловлено было в первую очередь развитием сверхзвуковой высотной авиацией, созданием ракетно-космической техники, разработкой новых химических технологий. Этим объясняется и то пристальное внимание, которое привлекает к себе в настоящее время классическая кинетическая теория, созданная в XIX веке выдающимся австрийским физиком Людвигом Больцманом [67].

Но исторической датой возникновения кинетической теории газов следует считать 1859 год, когда Максвелл на заседании Британской ассоциации содействия развитию науки прочитал свой доклад, в котором был впервые использован статистический подход к проблеме. В 1860 году в серии из двух работ [100] Максвелл опубликовал результаты исследований, в которых установил закон распределения скоростей молекул в смеси газов (так называемое максвелловское распределение по скоростям) и закон равнораспределения средней энергии молекул в смеси газов. Эти результаты были впоследствии (в 1867 г.) уточнены и улучшены Максвеллом в работе [99], посвященной кинетической теории неоднородных газов. В ней Максвелл вывел уравнения переноса, определяющие полную скорость изменения любой средней величины, характеризующей то или иное молекулярное свойство.

В 1875 году Кундт и Варбург экспериментально доказали, что в достаточно разреженном газе молекулы «скользят» вдоль стенок. Скорость скольжения пропорциональна градиенту массовой скорости вне слоя Кнудсена. Коэффициент пропорциональности при этом называется коэффициентом изотермического скольжения. Кундт и Варбург нашли, что коэффициент изотермического скольжения оказался порядка длины свободного пробега молекул и обратно пропорционален давлению. Анализ, проведенный Максвеллом, основывался на предположении, что распределение падающих молекул вблизи стенки не отличается от распределения в прилегающем объеме газа. В действительности же молекулы газа перед тем, как удариться о поверхность, испытывают в среднем не менее одного соударения с молекулами, покидающими поверхность и имеющими (при полной аккомодации) нормальное максвелловское распределение скоростей, в отличие от того модифицированного распределения скоростей, которое характерно для объема газа при наличии градиента температуры.

Кинетическое уравнение, выведенное в 1872 году [5] австрийским физиком Людвигом Больцманом и носящее его имя, обладает громадным физическим содержанием. Для решения кинетического уравнения Больцмана в первой половине прошлого века было предложено несколько различных методов и большое число их различных вариаций.

В 1912 году Гильберт предложил метод последовательных приближений (обычный метод малого параметра), который позволил свести решение кинетического уравнения к решению рекуррентной системы линейных неоднородных интегральных уравнений. Он показал, что уравнение Больцмана эквивалентно интегральному уравнению Фредгольма второго рода, для которого оказалось возможным построить строгую математическую теорию. Таким образом, Гильберт смог доказать существование и единственность решения и установить некоторые из его свойств.

Затем в 1917 году Энског в своей докторской диссертации [89] и независимо от него Чепмен в работе [85] предложили другой метод решения уравнения Больцмана, который является некоторой модификацией метода Гильберта и который позволяет вывести как уравнение Эйлера, так и уравнение Навье-Стокса. В методе Чепмена — Энскога [25] малый параметр, но которому ведется разложение, входит в решение более сложным, вообще говоря, не аналитическим образом, поэтому при одинаковом числе членов разложения полученное решение может оказаться более точным, чем-то, что было получено с использованием метода Гильберта. Хотя имеются примеры и того [25], что уравнения, полученные по методу Чепмена — Энскога, могут не иметь решения, в то время как метод Гильберта позволяет построить решение в любом приближении. Следует отметить [68], что метод, предложенный Чепменом и Энскогом, не только позволил обоснованно вывести уравнения Эйлера и Навье — Сток-са и их аналоги для релаксирующих сред, но и дал возможность установить область их применимости, снабдив их правильными начальными и граничными условиями и коэффициентами переноса.

Основная трудность, возникающая при решении задач аэродинамики разреженных газов с использованием кинетического уравнения Больцмана, заключается в сложности интеграла столкновений, стоящего в его правой части.

Поэтому [9], начиная с 60-х годов XX века стал развиваться новый подход к исследованию уравнения Больцмана, суть которого состоит в следующем: используя определенные закономерности стол кновений молекул, проводят упрощение правой, интегральной части уравнения Больцмана, а полученное таким образом уравнение рассматривается как его «модель», которая, сохраняя основные качественные особенности исходного уравнения, является в тоже время значительно более простым выражением.

Первая из статистических моделей уравнения Больцмана была предложена независимо друг от друга в работах [77], [108]. Соображения, которые привели к этой модели весьма просты [73].

А именно, поскольку больцмановский оператор столкновений представляет собой скорость стремления функции распределения к равновесной максвелловской, то можно попытаться в общих чертах представить эту скорость в виде отношения разности действительной функции и равновесной к некоторому характерному времени затухания начальных возмущений. В результате получается следующее модельное кинетическое уравнение: где /е9 — локально равновесная максвелловская функция распределения. В литературе его называют моделью БГК (Бхатнагар, Гросс, Крук), БГК — уравнением или просто релаксационным кинетическим уравнением.

История точных решений модельных кинетических уравнений начинается с 1960 года, когда Кейз в работе [78] ввел в рассмотрение метод решения уравнений переноса, состоящий в разложении решения по дискретным и сингулярным обобщенным собственным функциям соответствующего оператора переноса и нахождении коэффициентов этого разложения с помощью техники сингулярных интегральных уравнений. Этот метод стал источником точных решений, получаемых аналитически в замкнутой форме.

В 1962 году Черчиньяни в работе [79] разработал метод Кейза применительно к задачам кинетической теории, в частности, к задаче о сдвиговом течении разреженного газа при постоянной температуре (задача Крамерса). При этом, на основе аналитического решения уравнения Больцмана с оператором столкновений в форме БГК модели, была получена точная формула для вычисления коэффициента изотермического скольжения газа вдоль плоской твердой поверхности.

В работе [79] Черчиньяни решил задачу Крамерса с учетом аккомодации молекул, в [81] рассмотрел нестационарный случай и в [80] выяснил зависимость коэффициента скольжения от частоты столкновений.

Значительный вклад в метод Кейза внесли A.B. Латышев и A.A. Юшканов, в работе [29] был предложен принципиально новый математический подход, который позволяет получить точные решения линеаризованных уравнений Больцмана с оператором столкновений БГКили эллипсоидально-статистической модели путем сведения их к интегро-дифференциальным уравнениям типа свертки. Полученные таким образом уравнения преобразованием Фурье сводятся к краевым задачам Римана — Гильберта и решаются затем методами теории функций комплексного переменного ([10],[11], [65]).

В работе A.B. Латышева и A.A. Юшканова [94] впервые был применен метод разложения решения по сингулярным собственным функциям для решения системы двух интегро-дифференциальных уравнений переноса. Значительное число аналитических решений граничных задач для различных модельных кинетических уравнений было получено в работах ([30]-[57]).

Кинетическое уравнение Больцмана было обощено на случай квантовых газов в работе [107] в 1933 г. До недавнего времени квантовые ферми-газы в рамках рассмотрения кинетики электронов в полупроводниках и металлах (см., например, [14], [24]).Квантовые бозе-газы рассматривались при исследовании кинетики фононов, маг-нонов и экситонов в конденсированных средах [24]. За последнее десятилетие Латышев A.B. и Юшканов A.A. разработали методы решения классических задач кинетической теории для квантовых газов ([44]-[48]). Эти методы были использованы Любимовой H.H. ([58] и [62]) и Костиковым A.A.([27] и [28]) при решении задач для квантовых газов с постоянной частотой столкновений.

Настоящая работа посвящена изучению изотермического скольжения для квантовых фермии бозе-газов для случая переменной частоты столкновений.

Положения, выносимые на защиту:

1. Решение задачи об изотермическом скольжении для квантовых ферми-газов с диффузными граничными условиями вдоль плоской поверхности. Нахождение скорости изотермического скольжения.

2. Решение задачи об изотермическом скольжении для квантовых ферми-газов с зеркально-диффузными граничными условиями вдоль плоской поверхности. Нахождение скорости изотермического скольжения.

3. Построение профиля массовой скорости квантового ферми-газа в полупространстве. Нахождение массовой скорости ферми-газа непосредственно у поверхности.

4. Решение задачи об изотермическом для квантовых бозе-газов вдоль с диффузными граничными условиями плоской поверхности. Нахождение скорости изотермического скольжения.

5. Решение задачи об изотермическом скольжении для квантовых бозе-газов с зеркально-диффузными граничными условиями вдоль плоской поверхности. Нахождение скорости изотермического скольжения.

6. Построение профиля массовой скорости квантового бозе-газа в полупространстве. Нахождение массовой скорости непосредственно у поверхности.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях, таких как:

1. ежегодная научная конференция профессорско — преподавательского состава МГОУ (Москва, 2007 — 2010 гг.);

2. XII научная конференции МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ Станкин — ИММ РАН» по математическому моделированию и информатике. (Москва, 2009 г.).

3. Международная конференция «Актуальные проблемы современной науки» Российской молодёжной академии наук (Самара, 2009 г.);

4. ХЬУ1 Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Секция физики. (Москва, РУДН 2010 г.).

5. Международная научно-практическая конференция Поморского государственного университета им. М. В. Ломоносова (Ко-ряжма, 2010 г.).

Публикации. Все представленные в диссертации результаты являются новыми. 5 статей опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть размещены основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук.

В указанных публикациях содержатся все основные результаты диссертации.

Вклад автора в совместных работах. Результаты диссертационного исследования, касающиеся постановки задач, получены совместно с A.B. Латышевым и A.A. Юшкановым. Аналитическое решение задач, анализ полученных результатов и теоретические выводы проведены автором самостоятельно.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии. Объем работы составляет 117 страниц текста, в том числе 15 рисунков. Библиография включает в себя 110 наименований, в том числе и публикации диссертанта по теме исследования. Каждая глава разбита на параграфы, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую главу. Формулы внутри каждого параграфа также имеют двойную нумерацию, с указанием на параграфпри ссылке на формулы из другой главы используется тройная нумерация, где первым идет номер главы. Рисунки имеют двойную нумерацию с указанием на главу.

Заключение

.

Настоящая диссертация посвящена аналитическому решению задачи Крамерса для квантовых фермии бозе-газов для случая, когда частота столкновений пропорциональна модулю скорости молекул газа.

В первой главе производится постановка задачи и вывод кинетического уравнения для квантовых фермии бозегазов.

Во второй и третьей главах решены задачи для квантовых ферми-газов, при этом рассматриваются два вида граничных условий: случай чисто диффузного отражения молекул и, более общий, случай зеркально-диффузного отражения. В ходе решения получены основные макропараметры задачи, а именно массовая скорость, скорость скольжения и функция распределения газовых молекул в явном виде. При этом построены графики скоростей и функции распределения. Для случая зеркально-диффузного отражения молекул от стенки построены профили массовой скорости при различных значений химического потенциала молекул. В четвертой главе получены решения задач для квантовых бозе-газов.

Отдельно стоит отметить, что в диссертации предлагаются два подхода для решения задач в зависимости от вида граничных условий: Первый основан на разложении решения задачи по собственным решениям дискретного и непрерывного спектра. Решение, отвечающее дискретному спектру, есть сумма убывающих частных решений, которые определяются нулями дисперсионной функции, а решение, отвечающее непрерывному спектру, представляет собой интеграл по этому спектру.

Второй метод — развиваемый здесь обобщенный метод источника.

В основе предлагаемого метода лежит идея включить граничное условие на функцию распределения в виде источника в кинетическое уравнение. Сначала формулируется в полупространстве х > 0 классическая задача Крамерса об изотермическом скольжении с зеркально — диффузными граничными условиями. Затем функция распределения продолжается в сопряженное полупространство х < 0 четным образом по пространственной и, но скоростной переменным. В полупространстве х < 0 также формулируется задача Крамерса.

После того как получено линеаризованное кинетическое уравнение разобьем искомую функцию (которую также будем называть функцией распределения) на два слагаемых: чеимен — энскоговскую функцию распределения На8(х, р) и вторую часть функции распределения hc (x,{i), отвечающей непрерывному спектру: h (x, ii) = ha8(x, y) + hc (x, p), as = asymptotic^ с = continuous).

В силу того, что чеимен — энскоговская функция распределения есть линейная комбинация дискретных решений исходного уравнения, функция /гс (х, ц) также является решением кинетического уравнения. Функция hc (x, р) обращается в нуль вдали от стенки. На стенке эта функция удовлетворяет зеркально — диффузному граничному условию.

Далее мы преобразуем кинетическое уравнение для функции hc (x,/i): включив в это уравнение в виде члена типа источника, лежащего в плоскости х = 0, граничное условие на стенке для функции hc (x, p). Подчеркнем, что функция hc (x, p) удовлетворяет полученному кинетическому уравнению в обеих сопряженных иолупространствах х < 0 и х > 0.

Это кинетическое уравнение мы решаем во втором и четвертом квадрантах фазовой плоскости (х, /и) как линейное дифференциальное уравнение первого порядка, считая известным массовую скорость газа ис (х). Из полученных решений находим граничные значения неизвестной функции Л-±(х, /2) при х = ±0, входящие в кинетическое уравнение.

Теперь мы разлагаем в интегралы Фурье неизвестную функцию Нс (х,/л), неизвестную массовую скорость ис{х) и дельта — функцию Дирака. Граничные значения неизвестной функции /г*(0,/л) при этом выражаются одним и тем же интегралом от спектральную плотности Е (к) массовой скорости.

Подстановка интегралов Фурье в кинетическое уравнение и выражение массовой скорости приводит к характеристической системе уравнений. Если исключить из этой системы спектральную плотность Ф (к, ?1) функции кс (х, д), мы получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода.

Считая градиент массовой скорости заданным, разложим неизвестную скорость скольжения, а также спектральные плотности массовой скорости и функции распределения в ряды по степеням коэффициента диффузности ц (это ряды Неймана). На этом пути мы получаем счетную систему зацепленных уравнений на коэффициенты рядов для спектральных плотностей. При этом все уравнения на коэффициенты спектральной плотности для массовой скорости имеют особенность (полюс второго порядка в нуле). Исключая эти особенности последовательно, мы построим все члены ряда для скорости скольжения, а также ряды для спектральных плотностей массовой скорости и функции распределения.

Также стоит заметить, что в явном виде построены профили маесовой скоростей газа в полупространстве и скорости скольжения газа у стенки. Впервые построены графики зависимостей коэффициента изотермического скольжения квантовых ферми-газа и бозе-газа от коэффициента диффузности q.

В заключение выражаю благодарность A.B. Латышеву и A.A. Юшканову за постановку задачи, постоянную поддержку и участие в обсуждении работы.