Точные решения некоторых задач теории переноса при изотропном рассеянии

Основным источником информации об астрономических объектах является электромагнитное излучение, идущее от них. Это излучение, в большинстве. случаев, прежде чем покинуть объект, претерпевает в его наружных слоях многократное рассеяние, поэтому знание закономерностей процесса диффузии излучения позволяет судить о физическом состоянии и свойствах вещества, в котором происходит этот процесс. Процесс многократного рассеяния излучения является предметом изучения одного из разделов теоретической астрофизики, именуемой теорией переноса излучения. Следует, однако, заметить, что в настоящее время интересы этой теории вышли далеко за пределы астрофизики и находят многочисленные приложения в различных областях физики, таких как физика атмосферы Земли и морских бассейнов, физика реакторов (здесь объектами многократного рассеяния являются тепловые нейтроны), физика плазмы, теплофизика, биофизика и др. Задачи теории переноса находят приложения и в ряде областей техники.

Основной задачей теории переноса является отыскание интенсивности диффузного излучения в рассеивающей среде и на ее границах при заданных первичных источниках энергии. При этом обычно считаются заданными характеристики элементарного акта рассеяния, а сам процесс диффузии рассматривается как стохастический. Задачи этой теории отличаются различной степенью сложности в зависимости от числа факторов, учитываемых при рассмотрении конкретных случаев.

Математическое описание процесса многократного рассеяния излучения для простейших случаев впервые было дано в начале нашего века Шустером и, независимо от него, Шварцшильдом с целью применения к астрофизическим задачам. Впоследствии, до 40-х годов, решение этих задач значительно продвинулось вперед (как в смысле физических обобщений, так и в развитии математических методов их описания и решения) в основном усилиями Милна, Эдщин-гтона, Хопфа (1934) и других исследователей. Следует, однако заметить, что это продвижение носило довольно монотонный характер.

Качественно новый этап в теории переноса излучения наступил в 40-х годах, когда Амбарцумяном (1943, 1944) был введен так называемый принцип инвариантности и его разновидность — метод сложения слоев. Этот принцип был сформулирован Амбарцумяном для плоскопараллельных сред — полубесконечной и конечной оптической толщины на основе простых физических соображений. Например, для полубесконечной среды он формулируется следующим образом: интенсивность диффузно отраженного света инвариантна по отношению к добавлению к полубесконечной среде слоя малой оптической толщины, обладающего теми же оптическими свойствами. Принцип инвариантности привел к нестандартному решению задачи о диффузном отражении от полубесконечной атмосферы (также как и решению задачи о диффузном отражении и пропускании среды конечной оптической толщины), существенной особенностью которого явилось отсутствие каких бы то ни было интегрирований по оптической глубине, причем решение было алгебраически выражено посредством вспомогательной функции одной переменной — ^(ч) (именуемой функцией Амбарцу-мяна), имеющей смысл значения функции источника на границе среды. Известные же до того методы теории позволяли находить интенсивность излучения (в частности и на границе) лишь после предварительного нахождения функции источника на всех глубинах.

Идеи Амбарцумяна получили дальнейшее развитие в работах Чандрасекара (1953), сформулировавшего «пять принципов инвариантности», Беллмана и его сотрудников, разработавших метод «инвариантного погружения» (см., например, работы Беллмана, Калаба и Преструда — 1963, Калаба и Уэно — 1975, Касти и Калаба — 1976 и др.), позволивший свести граничную задачу к задаче Коши. Что касается метода сложения слоев, то его сущность состоит в установлении связей между характеристиками светового поля рассеивающей среды и ее составных частей. Математически эти связи выражаются посредством некоторых интегральных соотношений, именуемых соотношениями инвариантности. В частности, с использованием соотношений инвариантности ван де Халстом (1980) был разработан, так называемый, метод «удвоения», позволяющий находить интенсивность излучения на границах плоского слоя конечной оптической толщины, посредством аналогичных характернотик светового поля слоя вдвое меньшей оптической толщины. Для нахождения внутренних полей излучения этот метод был обобщен Яновицким (1979). К методу удвоения в идейном отношении тесно примыкает метод Гранта и Ханта (1969), также применявши для нахождения поля излучения внутри среды.

Количество задач теории переноса, для решения которых привлекался принцип инвариантности, резко возросло после известной работы Соболева (1951), в которой был выявлен вероятностный смысл величин, характеризующих процессы диффузии излучения. Это обстоятельство связано с тем, что вероятностная интерпретация делает особенно наглядной саму задачу и в значительной степени облегчает получение новых уравнений или соотношений с помощью принципа инвариантности. Отметим, что одновременно принцип инвариантности и вероятностная трактовка процессов переноса широко использовалась представителями советских школ теории переноса: Ленинградской и Бюраканской.

Необходимо также отметить, что развитие идей, связанных с принципом инвариантности, еще продолжается. Так, в работах Яно-вицкого (1979, 1981) получены довольно общие соотношения инвариантности для неоднородных сред. Для сред сложной конфигурации, с учетом многочисленных факторов, соотношения инвариантности в наиболее общей форме сформулированы в работах Роговцо-ва (1981) и Пикичяна (1982).

Основной целью первых двух глав настоящей диссертационной работы является получение предельно простых аналитических решений при рассмотрении задач о диффузии монохроматического излучения в изотропно рассеивающей плоскопараллельной однородной среде. Эти упрощения удаются благодаря трем обстоятельствам: последовательному применению принципа инвариантности, наличию явных выражений резольвентной функции и резольвенты и проведению возможных аналитических интегрирований по оптической глубине. Поскольку из результатов первых двух глав становится очевидным важность наличия явного выражения резольвентной функции, то в последующих двух главах при рассмотрении несколько более дифференциальных задач основные усилия направлены именно на отыскание явных выражений для соответствующих резольвентных функций.

Выбор категории сложности задач, рассматриваемых в диссертации, не случаен. Это задачи оптимальной сложности, легко поддающиеся обобщениям, например, на случай полного перераспределения по частотам и на случай анизотропии (по направлениям) элементарного акта рассеяния. Возможность таких обобщений делает работу более актуальной, хотя ее актуальность прежде всего состоит в многочисленности ее возможных приложений в различных областях науки и техники, о которых говорилось выше.

Практическая ценность, приводимых здесь точных (явных) решений, как и ценность решения в явном виде любой математической задачи, состоит прежде всего в их конструктивности, т. е. в принципиальной возможности доведения решений задач до числа. При этом объем вычислений не должен превосходить объема вычислений при нахождении искомой величины из неявных соотношений (скажем, уравнений). Явные выражения, приводимые ниже, удовлетворяют этим требованиям. С другой стороны, наличие точных решений позволяет находить границы применимости различных асимптотических и приближенных формул.

Предлагаемая диссертационная работа состоит из настоящего введения, четырех глав и заключения. В первой главе рассматриваются задачи о нахождении интенсивностей излучения в полубесконечной среде при различных первичных источниках энергии. В § 1 рассматривается задача о нахождении интенсивности (отдельно для восходящей и нисходящей ветви) в среде, освещенной параллельными лучами. С помощью принципа инвариантности для этих величин получены новые дифференциальные уравнения, сравнение которых с уравнением переноса приводит к алгебраическим выражениям для искомых величин посредством некоторых вспомогательных функций Р и р, зависящих от меньшего числа переменных. Кроме того, устанавливается физический смысл этих функций, а также приводятся их явные интегральные представления посредством функции Амбарцумяна. Из одного из этих интегральных представлений, в частности, получается новое уравнение для функции Амбарцумяна (§ 2). В начале § 3 показывается, что введенные нами вспомогательные функции Р и Г имеют также смысл интенсивностей излучения в полубесконечной среде, на границе которой имеется плоский изотропный источник. Там же при помощи компактного выражения для резольвенты путем аналитического интегрирования по оптической глубине подучено интегральное представление для интенсивности излучения в среде, содержащей плоский изотропно излучающий источник. В это выражение входят функция Амбарцумяна и.

У." вспомогательная функция Р. В § 4 получено алгебраическое выражение для функции Грина посредством соответствующей функции источника, т. е. основной результат § 1 обобщается на случай внутреннего плоского мононаправленного источника. В заключительном, пятом, параграфе приводятся полугрупповые соотношения для поверхностной функции Грина, представляющие собой своеобразные «теоремы сложения» оптических глубин, позволяющие независимым способом находить внутренние поля излучения. Там же приводится новое уравнение типа Вольтерра для вероятности выхода кванта. Результаты, полученные в первой главе, позволяют находить основные характеристики светового поля в полубесконечной среде более экономными средствами по сравнению с известными методами. Например, для нахождения функции Грина нашим способом требуется всего лишь два интегрирования по угловой переменной (если считать заданной функцию Амбарцумяна), в то время как обычным способом при тех же условиях необходимо проведение одного интегрирования по угловой переменной и трех интегрирований по оптической глубине. Такого существенного упрощения удается достичь в результате последовательного применения принципа инвариантности (в результате чего получаются алгебраические выражения для функции Грина и ее поверхностного значения), использования явных выражений резольвентной функции (полученного Мининым, 1958) и резольвенты, а также проведения возможных интегрирований по оптической глубине аналитически.

Во второй главе указанные упрощения распространяются для сред конечной оптической толщины. В § 1 рассматривается задача о нахождении интенсивности излучения в среде, освещенной параллельными лучами. Для вероятностных аналогов восходящей и нисходящей ветвей интенсивности излучения получены «теоремы сложения» оптических глубин, обобщающие известные ранее для полубесконечной среды. Они позволяют при определенных вариациях оптической толщины слоя разработать схему для нахождения внутренних полей излучения (см. работу Яновицкого, 1979). С помощью этих же соотношений получены новые уравнения типа Вольтерра для резольвентной функции и вероятности выхода кванта. Для интенсивностей излучения, с помощью принципа инвариантности, получены по два новых дифференциальных уравнения, сравнение которых с уравнением переноса приводит к алгебраическим выражениям посредством некоторых вспомогательных функций | и? , зависящих от меньшего числа переменных. Здесь необходимо отметить, что сходные выражения другим способом ранее были получены Гутшабашем (1957) и Малликиным (1965), однако эти работы в свое время не привлекли к себе должного внимания специалистов. Впоследствии этот важный результат был заново открыт в работе Кагивада и Калаба (1967) методом инвариантного погружения, в котором для нахождения вспомогательных функций предлагается далеко не лучший способ. Способ, предложенный нами, выгодно отличается тем, что не требует интегрирований или дифференцирований (численных) по оптической глубине. В § 2 в основе рассмотрения лежат соотношения инвариантности, устанавливающие связь аналогичных величин, характеризующих поле излучения в полубеоконечной среде и среде конечной оптической толщины. Основное соотношение, полученное здесь, представляет собой явное выражение интенсивности излучения в среде конечной оптической толщины, содержащей плоский изотропный источник, посредством ее значения на границе и функции Грина полубесконечной среды. Из него, в частности, получается интегральное уравнение для вероятности выхода кванта из слоя, а также система интегральных уравнений для ^ и ^ - функций Ам-барцумяна. Для последних получены также новые интегральные уравнения сингулярные на полуотрезке [0- 1]. Эти результаты, а также алгебраические выражения для функции Грина (полубесконечной среды) и ее поверхностного значения, позволили впоследствии другим авторам получить асимптотические формулы высокой точности. Третий параграф посвящен, в основном, получению явных выражений для основных характеристик поля излучения в плоском слое посредством введенных нами вспомогательных функций о (4,^0) и т°) * тесно связанных с функциями Амбарцумяна. Исходной предпосылкой для получения этих выражений послужила идея о возможности проведения интегрирований по оптической глубине аналитически. Такая возможность связана с тем, что в известных явных выражениях резольвентной функции и резольвенты (полученных Ро-говцовым и Самсоном, 1976), функциональная зависимость от оптической глубины весьма простая. Помимо свода формул для ряда величин, нам удалось получить для резольвенты более простое выражение. Получены новые уравнения для <р и 4/ - функций, а также для функций и В конце параграфа (и главы) приводятся численные значения последних (таблица I) в узлах гауссовой квадратуры.

Третья глава посвящена рассмотрению рассеивающих сред с ис-точниковой горизонтальной неоднородностью, в частности, задаче о нахождении интенсивности излучения выходящего в заданном месте из полубесконечной среды, содержащей точечный источник. Надо сказать, что такие задачи гораздо сложнее задач при плоскопараллельной геометрии и до последнего времени не было получено ни одного точного решения даже для простых случаев за исключением, пожалуй, работ Соболева (1944) и Минина (1960), в которых рассматривался точечный источник между параллельными отражающими плоскостями. О других работах, связанных с кругом задач, рассматриваемых нами, будет сказано в вводной части этой главы. В § 1 приводятся основные уравнения (довольно сложные), полученные из физических соображении, которые после применения интегрального преобразования Ганкеля приводятся к относительно простым уравнениям, аналогичным основным интегральным уравнениям теории переноса при плоскопараллельной геометрии. В § 2 уравнение для аналога резольвентной функции решается в явном виде посредством аналога функции Амбарцумяна. Для последней получено интегральное представление, обобщающее известное интегральное представление, полученное Фоком (1944). для функции Амбарцумяна. В § 3 с использованием явного выражения для аналога резольвентной функции и с применением принципа инвариантности решена в замкнутой форме задача о нахождении интенсивности излучения, выходящего в заданном месте (в вертикальном направлении) из полубесконечной среды, содержащей точечный источник.

В § 4 ищется угловое распределение вероятности выхода кванта в в заданном месте. При решении этой задачи применяется разложение в ряд Фурье, преобразование Ганкеля дго порядка, а также формализм принципа инвариантности. В результате этого для преобразованных коэффициентов разложения получаются дифференциальные рекурентные соотношения.

В четвертой главе рассматриваются задачи, связанные с нахождением характеристик светового поля в бесконечной и полубесконечной средах в зависимости от числа рассеяний. Здесь также с помощью принципа инвариантности получается выражение для вероятности выхода кванта, испытавшего определенное число рассеяний в полубесконечной среде, посредством аналогов функции Ам-барцумяна — (7) и резольвентной функции — Фп (х) (§ 1). Последнюю величину с помощью известного метода удается выразить через аналогичную характеристику бесконечной среды, для которой при помощи двустороннего преобразования Лапласа удается найти явное интегральное представление посредством функций Чебышева.(§-2).

В заключении перечислены основные результаты, полученные диссертантом.

Основная часть результатов, приведенных в настоящей диссертации получена нами и опубликована в следующих работах: Даниэлян и Мнацаканян (1975), Даниэлян и Пикичян (1977), Андреасян и Даниелян (1978) и Даниелян (1976, 1979, 1983). С целью большей наглядности и полноты изложения в диссертации приводятся некоторые формулы известные ранее, а также полученные соавторами. Так, формулы (1.1)-(1.3), (1.62)-(1.65), (2.32) и (2.33) получены М. А. Мнацаканяном, а формулы (1.46), (1.48), (1.57), (2.31),.(2.34) и (2.41) получены О. В. Пикичяном и нами при совместных обсуждениях.

На защиту выносятся следующие основные выводы и результаты, относящиеся к задачам об отыскании характеристик светового поля в однородных, изотропно рассеивающих средах:

I. Интенсивность излучения и функцию источника в плоскопараллельной среде, освещенной параллельными лучами можно найти однократным интегрированием по угловой переменной. При этом, для полубесконечной среды достаточно знание функции, а для среды конечной оптической толщины — знание некоторых функций и ч>?0), тесно связанных о ^ и ^ - функциями Амбарцумяна.

II. Знание тех же функций позволяет найти двукратным интегрированием по угловой переменной интенсивность излучения и функцию источника в среде, содержащей изотропный либо мононаправленный источник энергии. Результаты, на которые основываются эти два, пожалуй, основных вывода, следующие:

1) Алгебраические выражения для функции источника и интенсивности излучения в среде, освещенной параллельными лучами посредством вспомогательных функций р и р (для полубесконечной среды) или? и? (для конечного слоя).

2) Алгебраическое выражение для функции Грина полубесконечной среды (для конечного слоя такое выражение получено Пикичя-ном, 1978) посредством соответствующей ей функции источника.

3) Явные выражения для функций источников в конечном слое, содержащем изотропный либо мононаправленный источник, посред *— ством функций? и? (или р и Р — для полубесконечной среды).

4) Явные выражения для функций $ и $ посредством я (2,4) и ?(?,?<>) — и Р иР посредством .

III. Соотношения инвариантности для величины ~ описывающей интенсивность излучения в слое, содержащем изотропный источник на глубине Г', а также для поверхностной функции Грина.

1) Уравнение для вероятности выхода кванта из среды конечной оптической толщины, сингулярное на полуотрезке [ 0 — I ] .

2) Уравнение типа Вольтерра для вероятности выхода кванта и для резольвентной функции.

3) Быстросходящееся уравнение для функции Амбарцумяна —)" а также системы интегральных уравнений для и ^ - функций Амбарцумяна и функций о (у, тс) и ё (ч,?0) .

IV. При рассмотрении задач с источниковой горизонтальной неоднородностью в полубесконечной среде, фундаментальную роль играет функция г) — аналог функции Амбарцумяна —, для которой получено два интегральных уравнения и явное выражение. Посредством этой функции получены:

1) Явное выражение для аналога резольвентной фуиктщи.

2) Решения задач о диффузном отражении и вероятности выхода кванта в заданном месте (без учета азимутальной зависимости).

3) Решение задачи о нахождении вероятности выхода кванта (с учетом азимутальной зависимости) в заданном месте.

V. Для задач о нахождении характеристик поля излучения в полубесконечной среде с учетом числа рассеяний, тлеется свой аналог функции Амбарцумяна — %(?). Посредством этой функции удается получить:

1) Явное выражение для аналога резольвентной функции.

2) Решение задачи о нахождении вероятности выхода в зависимости от числа рассеяний.

Основные результаты, полученные в настоящей главе были доложены на Всесоюзном симпозиуме «Принцип инвариантности и его приложения», состоявшемся в 1981 г. в Бюракане.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В конце изложения вкратце перечислим основные результаты, полученные в настоящей диссертационной работе.

1. Для интенсивности излучения в полубесконечной среде, освещенной параллельными лучами, получены качественно новые дифференциальные уравнения, сравнение которых с известным уравнением переноса приводит к алгебраическим выражениям для искомых интенсивностей посредством вспомогательных функций Я и Ё, зависящих от меньшего числа переменных.

2. Для вспомогательных функций Р и Г получены явные интегральные представления посредством функции Амбарцумяна — 4>(ч), для которой, в свою очередь, найдено быстросходящееся интегральное уравнение.

Ч/.

3. Посредством функции Р и функции Амбарцумяна, выражены в явном виде такие величины как резольвента Г (т, гу) и величина.

— дающая интенсивность излучения на глубинеТ в полубесконечной среде, содержащей на глубине г' изотропный, плоский источник.

4. Для функции Грина, описывающей интенсивность в среде, содержащей мононаправленный источник, получено алгебраическое выражение посредством функции.

Результаты, отмеченные в последних двух пунктах, позволяют после предварительного нахождения функции Амбарцумяна, найти любую характеристику светового поля в полубесконечной среде всего лишь однократным или двукратным интегрированием по угловой переменной.

5. При рассмотрении диффузии излучения в конечном слое, нами введены вспомогательные функции? ж $, посредством которых алгебраически выражаются функция источника и интенсивность излучения в среде, освещенной параллельными лучами. Для этих функций получены явные интегральные представления посредством функций двух переменных я и ё, связанных с функциями Амбарцумяна ср и^. Из этих формул, в частности, следуют новые уравнения для функций Амбарцумяна.

6. Для резольвенты и величины р (т, т,'т0^), описывающей интенсивность излучения в конечном слое, содержащем плоский источник, получены интегральные представления посредством тех же вспомогательных функций и? , причем вычисление резольвенты по нашей формуле представляется нагл более простым, чем по полученной ранее.

Как и в случае полубесконечной среды, эти результаты позволяют однократным или двукратным интегрированием (если считать заданными функции с? и ё) по угловой переменной найти любую характеристику светового поля в среде конечной оптической толщины, вплоть до функции Грина.

7. Получены некоторые соотношения инвариантности для поверхностной функции Грина и величины. С помощью последнего для этой величины получена асимптотическая формула, обобщающая ранее известную лишь для ее граничного значения. При помощи этих соотношений получен целый ряд новых уравнений для таких величин, как: вероятность выхода кванта — р (т, г0, р), резольвентная функцияф^Х) и т. д.

8. На основе интегрального преобразования Ганкеля и методов решений интегральных уравнений типа Винера-Хопфа, получено явное выражение резольвентной функции для полубесконечной среды, содержащей точечный источник. В это выражение входит аналог функции Амбарцумяна ;