Вопросы теории упругости квазикристаллов

До сравнительно недавнего времени пространственная периодичность была единственным экспериментально наблюдаемым типом дальнего упорядочения в твердых телах. Ситуация изменилась с открытием квазикристаллов. Для квазикристаллов характерно наличие апериодического дальнего порядка в расположении атомов. В отличие от несоразмерных фаз в кристаллах этот порядок не может быть сведен в обычном пространстве к набору конечного числа периодичностей. Отсутствие трансляционной инвариантности у квазикристалла может приводить (и приводит) к возможности существования квазикристаллов с некристаллографическими точечными группами симметрии. Такие группы симметрии наблюдаются в икосаэдрических квазикристаллах с группой симметрии правильного икосаэдра 53 т, а также в квазикристаллах, которые мы будем объединять под общим названием слоистых: декагональных, окта-гональных и до декагональных, содержащих соответственно оси 10, 8, и 12-го порядка. Несмотря на большое число работ, посвященных структуре квазикристаллов, в которых при помощи методов структурного анализа произодятся попытки ответить на «основной вопрос квазикристаллографии: где же находятся атомы», многие важные физические свойства квазикристаллов остаются недостаточно исследованными. Это относится и к упругим свойствам квазикристаллов. В то же время проблема теоретического и экспериментального исследования упругих свойств является одной из наиболее важных проблем физики квазикристаллов. В пользу ее актуальности можно указать по меньшей мере следующие соображения. Исследование упругих свойств квазикристаллов позволяет наблюдать возникновение принципиально новых физических состояний, таких как фазоны и исследовать их вклад в физические явленияпомогает получать ценную структурную информацию, такую как прочность и характер межатомных связейа также дает возможность изучить проблему связи симметрии с физическими свойствами на новом классе объектов.

Как и в обычной физике кристаллов, важным инструментом теоретического исследования является симметрия. Знание групп симметрии позволяет найти формы тензоров изучаемых физических свойств, инвариантные относительно преобразований симметрии и преобразующихся по неприводимым представлениям групп симметрии. Это в свою очередь позволяет специализировать общие уравнения физических эффектов для описания этих эффектов в различных классах квазикристаллических систем. В соответствии с типом используемых групп симметрии, различные подходы можно классифицировать следующим образом: а) использование только точечных групп симметрии Это существенно макроскопический, континуальный подход, игнорирующий атомную структуру вещества и дискретность кристаллической решетки или любого другого атомного упорядочения. б) существенное использование пространственной (трансляционной) симметрии. Нетрудно понять, что при таком уровне рассмотрения важная роль принадлежит собственно квазикристаллографии, так как отсутствие пространственной периодичности и тем самым неприменимость федоровских групп симметрии приводит к необходимости введения новых симметрийных понятий и групп симметрии для описания трансляционной симметрии квазикристаллов. В частности, симметрийное рассмотрение может использовать следующие приемы: переход к пространству более высокого числа измерений, использование симметрии пространства Фурье, и, наконец, обобщение самого понятия симметрии на основе концепции цветной симметрии.

Настоящая работа ставит своей задачей решение ряда, связанных с теорией упругих свойств квазикристаллов, с использованием перечисленных выше подходов а) и б).

В главе 1 делается обзор некоторых основных понятий и фактов квазикристаллографии, используемых в настоящей работе.

В главе 2 теоретически рассмотрены два нелинейных акустических эффекта в слоистых квазикристаллах.

Нелинейные эффекты при распространении упругих волн могут возникать за счет нескольких различных факторов [1]. Во-первых, амплитуда упругой волны может быть достаточно большой, так что возникают конечные деформации. Вовторых, материал, который в недеформирован-ном состоянии ведет себя линейным образом, может повести себя нелинейным образом при распространении бесконечно слабой ультразвуковой волны при условии приложения достаточно большого внешнего статического напряжения. Обычно это напряжение имеет вид одностороннего или гидростатического сжатия. Наконец, сам материал может обладать различными механизмами поглощения энергии так, что он локально нелинеен и в некоторых случаях даже неупруг. Мы будем рассматривать первые два случая.

Нелинейные акустические волны отличаются от линейных волн в нескольких важных отношениях. Изначально синусоидальная продольная волна напряжения заданной частоты деформируется при распространении, и ее энергия передается возникающим гармоникам. Степень деформации и генерация гармоник прямо зависят от амплитуды волны. Чисто продольная нелинейная волна может распространяться сама по себе, но чисто поперечная нелинейная волна не может распространяться без существования сопровождающей продольной волны. С другой стороны, нелинейная поперечная волна не искажается при распространении в бездефектном твердом тепе. Нелинейные упругие волны могут взаимодействовать с другими волнами в твердом теле. При пересечении двух ультразвуковых пучков может генерироваться третий. Взаимодействие с тепловыми колебаниями вызывает потерю энергии в волне. Степень взаимодействия во всех случаях прямо зависит от амплитуды волны.

Глава 3 ставит своей целью дать теоретическую оценку поглощения звука в слоистых и кубических квазикристаллах на основании гидродинамического подхода, существо которого состоит в следующем [2].

Когда система с многими степенями свободы, будь то кристалл, жидкий кристалл или квазикристалл, выведена из состояния термодинамического равновесия и затем предоставлена самой себе, большинство степеней свободы срелаксируют к равновесным состояниям за малые времена, определяемые микроскопическими взаимодействиями типа межатомных столкновений. Тем не менее, существуют коллективные возбуждения, которые будут распадаться более медленно за времена, пропорциональные некоторой степени их длины волны. Гидродинамика описывает такие долгоживущие состояния. Существование этих мод может быть связано либо с законами сохранения, либо, в случае упорядоченных систем, с нарушенными непрерывными симметриями.

В главе 4 вводится понятие о гиперфазонахновом типе возбужденных состояний в несоразмерно модулированных квазикристаллах. Анализируется их вклад в упругую энергию квазикристалла и рассматривается модель тиипа Френкеля — Конторовой для квазирешетки Фибоначчи, устанавливающая пределы применимости континуального описания ги-перфазонов и некоторые особенности фазовых переходов, приводящих к образованию модулированного квазикристалла.

Заключение

.

В работе получены следующие основные результаты:

Теоретически исследованы два нелинейных акустических эффекта в слоистых квазикристаллах. Получены выражения для амплитуды второй гармоники и зависимости скорости звука от приложенного внешнего напряжения для разных направлений распространения й поляризаций.

На основе гидродинамического подхода исследован процесс поглощения звука в слоистых и кубических квазикристаллах. Получены выражения комплексного закона дисперсии для ряда направлений распространения звука и поляризаций.

Сформулирована и исследована модель типа Френкеля — Конторовой для квазирешетки Фибоначчи. Разработанная модель применена для описания несоразмерно модулированного квазикристалла и фазового перехода кристалл-квазикристалл с промежуточной модулированной фазой.

Введено представление о гиперфазонах — новом типе возбужденных состояний, присутствующем в несоразмерно модулированных квазикристаллах. Дано их описание в рамках многомерной кристаллографии и исследован их вклад в упругость.

Рис. 2 Фрагмент двухмерной пентагонапьной мозаики Пенроуза.

Рис. Ъ Строительные элементу трехмерной мозаики типа Пенроуза — «вытянутый» (а) и «сплюснутый» (Ь) ромбоэдры. На рисунке отмечены возможные положения атомов: в вершинах ромбоэдров — большими окружностями, на ребрах — малыми окружностями, на гранях — квадратами.