Описание развитой турбулентности является одной из самых старых, но до сих пор нерешенных задач теоретической физики, несмотря на ее большой интерес как с чисто научной, так и с прикладной точек зрения. Круг возникающих проблем и применяемых для их решения методов в теории развитой турбулентности весьма обширен. Настоящая диссертация ограничена рассмотрением свойств пульсационной компоненты скорости в рамках статистической модели стационарной однородной турбулентности. Для решения задачи использован математический аппарат квантовой теории поля: метод ренормализационной группы, операторное разложение Вильсона, инфракрасная теория возмущений, уравнения Швингера, тождества Уорда и т. д. Ранее такой подход был успешно использован в статистической теории критического поведения. Для уточнения его роли и места в статистической физике обрисуем кратко историю вопроса.
Математический аппарат квантовой теории поля, создававшийся первоначально для потребностей квантовой физики элементарных частиц, пригоден и для классических задач со случайными полями, к числу которых относится и стохастическая теория турбулентности. Ее основой является уравнение Навье-Стокса с добавкой «шума» — гауссовой внешней случайной силы [1]. Любая стохастическая задача такого типа допускает переформулировку в виде некоторой квантово-полевой модели (термин условен и употребляется лишь по традиции, поскольку в данном случае речь идет о чисто классической задаче), что позволяет использовать мощные технические приемы, разработанные в рамках формализма квантовой теории поля.
Одним из них является метод ренормализационной группы (РГ), идеи которого впервые появились в работах [2] по квантовой электродинамике. Однако областью наиболее успешного применения этого метода оказалась теория критического поведения, идея применения в ней метода РГ принадлежит К. Вильсону [3, 4]. Предметом исследования этой теории являются сингулярности термодинамических величин и корреляционных функций случайного поля параметра порядка в окрестности критических точек фазовых переходов второго рода. Эти сингулярности, как правило, степенные, соответствующие «критические показатели» или «индексы» являются (в отличие, например, от критических температур) универсальными характеристиками критического поведения, т. е. одинаковы для всех переходов, относящихся к одному классу универсальности (например, для критических точек одноосного магнетика Изинга и системы жидкость-пар). Универсальность хорошо объясняется классической теорией фазовых переходов Ландау [5], поскольку в ней всем системам из одного класса сопоставляется одинаковый с точностью до значений параметров «функционал энергии», который строится из простых соображений симметрии и аналитичности. Но предсказываемые этой теорией «канонические значения» показателей неточны: они заметно отличаются как от экспериментальных данных, так и от считающихся наиболее надежными результатов расчета критических индексов ¿-¿-—мерной модели Изинга с решетками разного типа, полученными путем экстраполяции достаточно длинных отрезков высокотемпературных разложений [5, 6]. Эти расчеты сыграли важную роль в построении современной теории критического поведения: во-первых, они наглядно подтвердили идею универсальности (полученные критические индексы зависят от размерности пространства, но не от типа решетки), во-вторых, именно анализ связей между вычисляемыми независимо различными критическими показателями привел к формулировке [7] гипотезы «критического скейлинга» (гипотеза подобия). Скейлинг (масштабная инвариантность) означает, что всем инфракрасно (ИК-) существенным величинам .Р можно приписать определенные критические размерности Ар, и что все критические индексы выражаются через эти размерности. Их меньше, чем индексов, поэтому между индексами должны быть связи, которые и были обнаружены при анализе результатов машинного расчета. Теория Ландау предсказывает «канонические размерности» ¿-р ф Ар, разницу Ар — ¿-р = принято называть «аномалией» .
Было очевидно, что аномалии связаны с флуктуациями поля параметра порядка <£>(:г), роль которых возрастает с приближением к Тс, и что теория Ландау в основе своей правильна, поскольку органически содержит идею универсальности. Дефектом классической теории Ландау является пренебрежение флуктуациями ср. Их можно учесть, перейдя к соответствующей «флуктуационной модели» со случайным полем <�р (х), распределение которого задается гиббсов-ским множителем ехр[—Н (<�р)/кТс], где Н (<�р) — классический функционал энергии Ландау. Возможность подмены исходной сложной микросистемы (магнетик, жидкость и т. п.) более простой «флуктуационной моделью», основанной на гамильтониане Ландау, является одним из основных постулатов современной теории критического поведения. По виду это обычные модели квантовой теории поля, в частности, критическая точка фазового перехода второго рода с симметрией <р —ф описывается стандартной <£>4-моделью [4, 5]. Параметр т = Т — Тс играет роль квадрата массы поля, непосредственно критической точке соответствует безмассовая модель, критический скейлинг есть свойство И К-асимптотики функций Грина (малые импульсы = волновые числа иг 0). Задача теории свелась таким образом к обоснованию критического скейлинга для данных моделей и к созданию конструктивного метода расчета критических размерностей. До появления работ Вильсона многими авторами предпринимались попытки решить эти задачи с помощью различных вариантов уравнений самосогласования для функций Грина, но общепризнанного убедительного решения проблемы на таком пути получить не удалось.
Искомое решение было получено в работах Вильсона и соавторов, предложивших использовать для анализа ИК-асимптотики в таких моделях технику ренормгруппы и 4 — еразложения. Важным моментом была предложенная в [8] идея проводить все вычисления в переменной размерности пространства <1 — 4 — е, используя е как формальный параметр. Совместно с уравнениями ренормгруппы это позволило, во-первых, обосновать критический скейлинг как свойство ИК-асимптотики рассматриваемых моделей, во-вторых, вычислять искомые аномальные размерности = Д^ — с1р в форме рядов по е. Переход к конечному «реальному значению» ер = 1 осуществляется лишь в окончательных ответах и всегда понимается как экстраполяция, законность такой процедуры принимается на веру в качестве постулата.
Эти идеи оказались чрезвычайно плодотворными и привели к бурному развитию в семидесятых годах этой новой РГ-теории критического поведения. Сформулированная первоначально для критической статики, эта техника была вскоре обобщена на критическую динамику [9] и другие родственные задачи теории полимеров, случайных блужданий разного типа, а также и на стохастическую теорию турбулентности. Одновременно происходило совершенствование самого вычислительного аппарата, и постепенно стало ясно, что.
РГ-метод рекурсионных соотношений Вильсона по результатам полностью эквивалентен квантово-полевой РГ-технике, только приспособленной для случая переменной размерности пространства с1 = 4 — г [10]. Именно этот вариант РГ-техники является самым простым и удобным в конкретных вычислениях, что становится особенно заметным при расчете высших порядков е-разложений. Очень важно и то, что квантово-полевая РГ-техника имеет надежную базу в виде детально разработанной квантово-полевой теории ультрафиолетовой (УФ-) ренормировки, в том числе и ренормировки составных операторов, практически не исследованной в технике рекурсионных соотношений. Все результаты, полученные с помощью рекурсионных соотношений, можно получить (притом, как правило, проще) и с помощью квантово-полевой РГ-техники, но не наоборот. Все это относится в равной степени и к РГ-теории турбулентности.
Колмогоровский скейлинг в теории турбулентности открыт раньше критического — еще в начале сороковых годов [11], а первые работы по РГ-подходу появились здесь только в конце семидесятых [12, 13]. Гипотеза колмогоровского скейлинга включает два утверждения, одно из которых (гипотеза N2) является точным аналогом критического скейлинга (масштабная инвариантность ИК-асимптотики функций Грина), причем с известными критическими (колмогоровскими) размерностями, а второе (гипотеза N1) — некоторое дополнительное утверждение о свойствах этой ИК-асимптотики. Задачей микротеории, каковой признается здесь уравнение Навье-Стокса, является обоснование этих утверждений. Аналогичные проблемы решаются и в критической динамике, основанной на стохастическом уравнении Ланжевена [9]. Но есть одно весьма существенное отличие: в динамике вид коррелятора случайного шума однозначно фиксируется требованием взаимной согласованности динамики и статики, тогда как в теории турбулентности выбор коррелятора неоднозначен и ограничивается лишь общими соображениями относительно «накачки энергии крупномасштабными вихрями» в духе теории Колмогорова-Обухова [1, 11]. Стандартная РГ-техника обобщается на теорию турбулентности только при выборе коррелятора из определенного класса функций, сводящихся в инерционном интервале к степени импульса с произвольным показателем. В большинстве работ по РГ-теории турбулентности, начиная с первой статьи [13], употребляется простая степенная модель коррелятора ~ где с1 -размерность пространства, е — добавочный произвольный параметр. Именно он является аналогом 4—<1 в схеме Вильсона, а его «реальным значением» считается ер = 2, поскольку степень ~ к~й с подходящей амплитудой можно рассматривать как степенную модель ¿-¿—мерной функции 8(к), представляющей физически накачку энергии бесконечно большими вихрями. Для критических размерностей получаются е-разложения, которые обрываются на линейных по г членах и при реальном е = 2 принимают колмогоровские значения, что и является обоснованием гипотезы N2 Колмогорова [13].
Последующие работы с использованием метода ренормгруппы в теории турбулентности можно разделить на два направления: 1) обобщение на более сложные задачи — турбулентное перемешивание пассивной примеси, стохастическая магнитная гидродинамика, учет анизотропии и т. д.- 2) РГ-анализ составных операторов. Оба направления представлены в работах [14, 15, 16, 17], составивших содержание диссертации. Наиболее важным из этих направлений, затрагивающим основы теории, оказалось исследование составных операторов.
Существование в теории турбулентности так называемых «опасных» операторов и связанных с ними аномально сильных инфракрасных особенностей порождает ряд серьезных проблем, без решения которых нельзя фактически говорить об обоснованности колмогоров-ского скейлинга. Важнейшая из них — возможное сохранение в инерционном интервале волновых чисел зависимости функций Грина от внешнего масштаба турбулентности. В наличии опасных операторов проявляется специфика теории турбулентности, в значительной степени отличающая ее от теории критических явлений. Впервые на важность исследования опасных операторов в рамках квантово-полевого описания турбулентности указано в работе [18], хотя соответствующие проблемы, сформулированные на более традиционном языке, давно известны (вопрос об учете переноса мелких вихрей крупномасштабным движением). Их игнорированием в первых работах, посвященных РГ-методу в турбулентности, и объясняется, по-видимому, прохладное к нему отношение со стороны значительного числа теоретиков, исповедующих традиционные подходы в теории турбулентности. Действительно, решение отмеченных задач не входит непосредственно в компетенцию метода ренормгруппы. Однако формулирование проблемы на языке квантовой теории поля позволило привлечь для ее решения другие инструменты из арсенала этой теории: операторное разложение Вильсона, инфракрасную теорию возмущений и т. д. Роль РГ-исследования при этом состоит в утверждении общего скейлинга во всей инфракрасной области (инерционный интервал и энергосодержащая область) и нахождении критических размерностей составных операторов, на основе чего становится возможным использование упомянутых дополнительных методов. Отметим, что вопрос о вычислении размерностей составных операторов вне рамок РГ-подхода до последнего времени даже не поднимался, одна из первых попыток — работа [19].
Приведем краткое содержание диссертации по главам.
Первая глава посвящена обобщению ренормгруппового подхода на случай анизотропной турбулентности. Такое обобщение весьма актуально, поскольку большинство реальных турбулентных потоков анизотропны. Для описания турбулентной системы с выделенным направлением использована модель, предложенная в работе [20]. Система описывается прежним уравнением Навье-Стокса, анизотропия проявляется только в корреляторе шума, характеризуемом теперь двумя дополнительными параметрами анизотропии. Новый момент использования РГ-техники в задачах с анизотропией состоит в том, что в ренормированной теории генерируются дополнительные заряды, отсутствующие в исходной модели. Они имеют смысл трех анизотропных вязкостей. С точки зрения РГ-подхода задача из однозарядной превращается в четырехзарядную, нахождение координат неподвижной точки и проверка ее ИК-устойчивости требуют теперь решения системы уравнений на нули /3-функций, а также нахождение собственных значений 4×4 о—матрицы. Для трехмерной задачи неподвижная точка ренормгруппы оказалась устойчивой к добавочным зарядам, тем самым сохранился ИК-скейлинг с колмогоровски-ми размерностями, анизотропия влияет только на вид скейлинговых функций. Изучение зависимости чувствительности к анизотропии от размерности пространства показало, что она усиливается с уменьшением последней, что приводит при в, < 2.68 к тому, что одно из собственных значений и?-матрицы меняет знак. Это означает неустойчивость неподвижной точки и тем самым разрушение колмогоровского скейлинга для с? < 2.68. Таким образом, при исследовании критических режимов для реального случая в, = 2 вопросу устойчивости к анизотропии следует уделять особое внимание.
Во второй главе рассмотрена задача о турбулентном перемешивании скалярной пассивной примеси при наличии анизотропии, а также подробно изучен вопрос о выходе анизотропной турбулентной системы в критический режим при реальных значениях затравочных параметров [14, 15]. Для описания турбулентного перемешивания пассивной скалярной примеси к уравнению Навье-Стокса добавляется уравнение диффузии. Анизотропия моделируется путем соответствующей модификации корреляторов случайных сил. Влияние анизотропии на ренормировку приводит к появлению нового, анизотропного коэффициента диффузии, а также своеобразных «перекрестных слагаемых». В целом ренормированная модель содержит восемь зарядов. Методом РГ исследовано поведение такой системы в инфракрасной области. Доказано существование ИК-устойчивой неподвижной точки, в и, А о О которой при е = 2 имеет место колмогоровскии скеилинг. В первом порядке е-разложения вычислена анизотропная поправка к эффективному значению числа Прандтля. Показано, что анизотропия не нарушает известного феноменологического закона «четырех третей» Ричардсона расплывания облака примесных частиц.
В рассмотренных в главах 1, 2 многозарядных задачах положительность собственных значений а>-матрицы не гарантирует в общем случае выхода системы в критический режим при произвольных значениях затравочных параметров, а лишь из некоторой «области притяжения». В данном случае роль параметров играют вязкости, из которых лишь изотропная затравочная вязкость отлична от нуля. Обычно задача нахождения «области притяжения» решается путем численного интегрирования соответствующей системы РГ-уравнений. В рассматриваемой задаче удалось, пользуясь предполагаемой малостью параметров анизотропии, найти аналитическое решение, рассчитав эффективные вязкости во всем диапазоне волновых чисел [15]. Расчет показал, что в данном случае неподвижная точка достижима при любых значениях затравочных параметров, в том числе и при реальных.
В рамках РГ-подхода анизотропные турбулентные системы с выделенным направлением впервые изучались в работе [20]. Обобщение на случай анизотропной турбулентности с пассивной примесью рассмотрено в [21]. Однако в обеих работах проверка устойчивости колмогоровского режима проведена не полностью — учтены не все генерируемые нелинейностью ренормированные заряды. Кроме того, допущены ошибки при вычислении /^-функций учтенных зарядов.
Глава 3 посвящена изучению составных операторов изотропной турбулентности. Эта задача представляет большой интерес, поскольку корреляционные функции составных операторов в турбулентности экспериментально измеримы, но еще в большей степени потому, что существование «опасных операторов» с отрицательной критической размерностью заставляет пересмотреть основные положения теории.
Так, в группе галилеево-неинвариантных операторов определенно есть бесконечные последовательности опасных (например, любые степени скорости без производных), что приводит для разновременных корреляционных функций к нарушению гипотезы Колмогорова о независимости от внешнего масштаба турбулентности в инерционном интервале [22]. В главе 3 анализ этой группы операторов был продолжен, были найдены критические размерности операторов, построенных из любых степеней скорости с произвольным числом производных по времени, среди которых также обнаружены бесконечные подпоследовательности опасных операторов [16]. Существенно, что эти критические размерности определены точно — на основе тождеств Уорда для галилеевых преобразований доказано, что соответствующие е-разложения обрываются на первом члене.
Наиболее актуальным в настоящее время является вопрос о возможном влиянии опасных операторов на ИК-асимптотику одновременных галилеево-инвариантных корреляторов, которое могло бы объяснить явление так называемого «аномального скейлинга», интенсивно обсуждаемое в последнее время (см. работу [23] и ссылки в ней). В главе 3 показано, что «сценарий» возникновения аномального скейлинга, связанный с опасными операторами, может реализоваться только в том случае, если среди этих операторов присутствуют галилеево-инвариантные, так как только последние дают вклад в соответствующие ИК-асимптотики. Попытка обнаружить такие операторы предпринята в [16, 17]. Рассмотрено семейство скалярных галилеево-инвариантных операторов канонической размерности 6. Показано, что в этом семействе два независимых оператора. Одну из ассоциированных с ними критических размерностей удалось рассчитать точно благодаря использованию соответствующего тождества Швингера. Она оказалась положительной, то есть соответствующий оператор «неопасен». Вторую размерность удалось определить лишь приближенно, но полученное для нее большое положительное значение дает основание полагать, что соответствующий оператор также неопасен, он определяет неаналитическую поправку к спектру Колмогорова.
О О У.
Отметим, что сценарии аномального скеилинга, связанный с существованием опасных операторов, как недавно показано в [24], полностью оправдывается для сильно упрощенной модели турбулентного перемешивания пассивной примеси [23]. Таким образом, поиск галилеево-инвариантных опасных операторов остается актуальной задачей.
Последний раздел — заключение — содержит перечень основных результатов, полученных в диссертации.
4 Заключение.
Приведем в заключение основные результаты, полученные в диссертации.
1. Проведен ренормгрупповой анализ влияния анизотропии на спе о ктры развитой турбулентности, показавший, что для трехмерных систем анизотропия не нарушает колмогоровский режим турбулентности.
2. Показано, что наличие выделенного направления в турбулентном потоке приводит к появлению дополнительных трех «анизотропных» эффективных вязкостей, рассчитана их величина в длинноволновой области по отношению к изотропной эффективной вязкости.
3. Доказано, что колмогоровский режим достигается при произвольных значениях «затравочных» вязкостей, в том числе при реальных — когда в коротковолновой области анизотропные вязкости равны нулю. Для этого произведен расчет эффективных вязкостей во всем диапазоне волновых чисел.
4. Показано, что влияние анизотропии растет с уменьшением размерности пространства и может привести в двумерной системе к радикальной смене режима турбулентности.
5. Показано, что влияние анизотропии на процесс турбулентного перемешивания скалярной пассивной примеси приводит к появлению дополнительного, анизотропного коэффициента диффузии, вычислен соответствующий анизотропный коэффициент Прандтля. Доказано, что анизотропия не нарушает закона «четырех третей» Ричардсона.
6. Проведен ренормгрупповой анализ семейства скалярных галиле-ево-инвариантных составных операторов канонической размерности шесть. Вычислены соответствующие им критические размерности. Проанализирован вклад этих операторов в инфракрасные поправки к колмогоровскому спектру.
