Конвекция — движение вещества, вызванное вариацией его плотности в пространстве, — основная причина перемещения вещества на Земле. Она присутствует во множестве проявлений на различных пространственных п временных масштабах. Можно выделить четыре различных типа конвекции, представляющие наибольший интерес с точки зрения геофизики: конвекция в океанах, атмосфере, мантии и внешнем ядре Земли.
Причиной конвекции в океанах служит разность плотности воды на различных глубинах, вызванная разностью ее температуры или солености. Уменьшение плотности воды с глубиной вызывает опускание более плотной воды до глубины, на которой плотность опустившейся воды оказывается равной плотности окружающих вод. Таким образом, конвекция приводит к перемешиванию воды на различных глубинах и обогащению нижележащих слоев кислородом. В придонных областях океана могут возможно уменьшение плотности с глубиной за счет геотермического притока тепла из недр Землп, которое также может сопровождаться конвекцией. Наиболее характерна конвекция, связанная с охлажденпем и осолонением (за счет испарения и льдообразования) поверхностного слоя воды [57, 69, 84, 90, 108, 118].
Воздух — плохой проводник тепла, поэтому конвекция — основной способ перераспределения энергии в атмосфере. Неравномерно нагретый воздух над различными участка Земли начинает циркулировать, перенося с собой энергию и влагу. Типичные примеры атмосферной конвекции — ветры, например, бризы: днем нагретый над сушей воздух поднимается вверх, на его место поступает холодный воздух с моря, и у поверхности Земли ветер дует с моря на берег. Аналогично, более теплый воздух у экватора расширяется и поднимается вверх, а взамен к экватору устремляется поток более холодного и плотного воздуха. При охлаждении на высоте из воздуха конденсируется избыточная влага, при.
1. 8 водя к образованию облаков. Эти конвективные процессы определяют погоду на Земле, в частности, выпадение дождя и снега, грозы, смерчи и образование воздушных фронтов [63, 65, 69]. Как видно, конвективные течения воды в океанах и в воздухе над океанами существенно взаимосвязаны.
Конвекция в мантии определяет эволюцию Земли в целом, ее топографию, гравитационное поле, климат, формирование природных ресурсов и биологическую эволюцию. Она является важным механизмом переноса тепла из глубин Земли к ее поверхности. Вещество мантии имеет свойства очень вязкого, но все же текучего вещества. Конвективные потоки в мантии устанавливаются из-за неравномерного разогрева ее отдельных участков. Они вызывают перемещения литосфер-ных плит, находящихся на поверхности мантии. В местах, где плиты сталкиваются и одна пз них наползает на другую, возникают большие напряжения, приводящие к землетрясениям. Таким образом, конвекция в мантии служит первопричпной п источником энергии для тектоники плит, формирования и дрейфа континентов, вулканических явлений, землетрясений и горообразования. Вероятно, она происходит или происходила внутри Венеры, Марса, Меркурия, Луны (до ее остывания), а также внутри других планет [10, 11, 21, 85, 96, 114, 117, 119].
Наблюдаемые свойства магнитного поля Земли хорошо согласуются с представлением о его возникновении благодаря механизму гидромагнитного динамо. Этот механизм вызывает усиление начального затравочного магнитного поля как результат конкуренции двух процессов: магнитной диффузии и переноса магнитного поля течением расплавленного электропроводного вещества в ядре звезд или планет. Амплитуда генерируемого поля контролируется нелинейностью магнитогидродина-мических процессовсчитается, что астрофизические динамо функционируют в режимах, для которых характерно примерное равенство общего запаса магнитной п кинетической энергии. Источником течений в расплавленных ядрах планет служит, как правило, тепловая или композиционная конвекция. Гипотеза о динамическом характере происхождения магнитного поля объясняет такие его особенности, как западный дрейф, вариация интенсивности магнитного поля, его экскурсии и инверсии (изменение полярности главной дипольной компоненты). Источником магнитного поля различных астрофизических объектов — планет, звезд и галактик — также принято считать конвективное движение материи [2, 3, 12, 13, 17, 18, 38, 40, 58, 69, 88, 116, 127].
Можно различить два подхода к изучению природных явлений. Один из них — исследование (например, численное моделирование) систем, максимально приближенных к реальным, т. е. наиболее точно воспроизводящих физические процессы, геометрию и величину параметров изучаемой системы. В рамках этого подхода, например, в расчетах Глатцмайера с соавторами (см. [43,70−72,94,110] и приведенные там ссылки) магнитное поле Земли исследовано посредством численного решения системы уравнений, описывающих конвективные гидромагнитные явления в сферическом слое. В этих расчетах удалось воспроизвести дипольную в главном морфологию магнитного поля Земли и его хаотические инверсии.
Отметим две существенные сложности, возникающие на этом пути. Во-первых, как правило, неизвестны точные уравнения и величины параметров для исследуемой системынапример, для внешнего ядра Земли оценки некоторых физических величин разными авторами различаются на порядки, см. [87]. Соответственно, необходимо проводить расчеты в некоторой области изменения параметров, принимая разные реологические соотношения, что существенно увеличивает объем вычислений. Во-вторых, для численного решения фундаментальных уравнений даже для одного набора реалистических величин параметров обычно не хватает мощностей современных компьютеров, поэтому приходится эти уравнения модифицировать и/пли брать другие величины параметров.
Заметим, что в любом случае численное моделирование неизбежно вносит искажения из-за пространственной и временной дискретизации фундаментальных уравнений. Обработка и качественное осмысление результатов расчетов также затруднены вследствие сложности исходной физической системы и соответствующей математической задачи.
Другой подход к исследованию сложных систем, включая геофизические, заключается в том, чтобы не стараться точно воспроизвести все детали, а выделить и изучить общие характерные особенности и закономерности. Рассмотрение наиболее простых случаев позволяет понять общие закономерности и физическую природу процессов, происходящих в системе, равно как и причины, вызывающие те или иные особенности ее поведения. Постепенно превнося в модель дополнительные эффекты, можно понять их роль и влекомые ими изменения в поведении системы. Так, в постепенном переходе от изучения простых систем к изучению более сложных, накапливается и обобщается информация о природных процессах.
В рамках этого подхода задача о конвекции в приложении к геофизике рассмотрена в диссертации в наиболее простой постановке. Изучено установление конвекции в бесконечном плоском горизонтальном слое, подогреваемом снизу, (так называемая конвекция Рэлея-Бенара) в приближении Буссинеска. Конвекция в плоском слое часто используется в качестве иллюстрации геофизических процессов, как это сделано в монографиях [19−21,63,114].
Горизонтальные границы предполагаем либо жесткими, либо свободными (на верхней и нижней границах краевые условия для потока считаем одинаковыми), температуры Т на нижней и на верхней границах фиксированы. В главах 1 и 2 рассмотрено установление конвекции в слое жидкости, вращающемся относительно вертикальной оси, а в главах 4 и 5 конвекция с наложенным вертикальным магнитным полем.
В безразмерной форме система характеризуется числами Рэлея К,.
Прандтля Р, магнитного Прандтля Рт, Тейлора Та и Чандрасекара С}. Часто вместо магнитного числа Прандтля используют отношение # = Рт/Р, иногда называемое числом Робертса. Безразмерные параметры определяются следующими соотношениями:
Р=", Рт = ^ Я = Та = Я =.
К К УК V рР.
Здесь V — кинематическая вязкость, к — коэффициент термической диффузии, (х — коэффициент магнитной диффузии, а — коэффициент термического расширения, д — ускорение свободного падения, (1 — толщина слоя, 6 Т = Т — Т-2 — разность температур между нижней и верхней границами, О, — скорость вращения слоя, а — коэффициент электропроводности, В0 — интенсивность внешнего магнитного поля, р — плотность жидкости. В приближении Буссинеска постулируется, что плотность не зависит от давления и линейно зависит от температуры: р = ро (1+а (То-Г)) где ро — величина плотности при некоторой референсной температуре Го), а другие термодинамические параметры среды постоянны [6−8,41,97].
У системы гидродинамических уравнений, описывающих конвективные системы, есть решение, отвечающее так называемому тривиальному стационарному состоянию — состоянию покоя. В этом состоянии скорость течения равна нулю (жидкость неподвижна), а тепло распространяется только посредством тепловой диффузии, и распределение температуры линейно по вертикали:
Т = Т2 + г (Т2 — Т)/(1 считаем, что ненормированная вертикальная координата 2 принимает значения г = 0 на нижней границе слоя и .г = в, на верхней). Тривиальное состояние устойчиво при малых числах Рэлея.
Задачу об установлении конвекции (иными словами, о возникновении конвективных течений при изменении параметров системы) обычно начинают решать с исследования устойчивости тривиального стационарного состояния, которая определяется собственными значениями оператора линеаризации вблпзи этого состояния. В качестве примера рассмотрим установление конвекции в плоском слое со свободными гранн-цамп при отсутствии вращения п магнитного поля. Собственный вектор (более точно, векторное поле, но в дальнейшем для простоты мы будем использовать термин вектор) оператора лпнеаризации включает в себя трехмерное (в общем случае) течение и скалярное поле температуры. Собственные векторы, имеющие наиболее простую геометрию, зависят только от двух координат, х и г, и имеют период Ь в горизонтальном направлении хэта периодичность характеризуется волновым числом к = 27т/Ь. Поскольку горизонтальный слой и уравнения конвекции инвариантны относительно вращений вокруг вертикальной оси, поворот собственного вектора на произвольный угол относительно вертикальной оси переводит этот вектор в другой собственный вектор, которому отвечает то же самое собственное значениелюбая линейная комбинация таких собственных векторов также является собственным вектором оператора линеаризации.
Для каждого волнового числа к можно найти критическое число Рэлея Ят (к), при котором собственное значение, отвечающее собственному вектору, характеризующимся волновым числом А-, пересекает мнимую ось. График К&trade- (к) называется нейтральной кривой устойчивости. Вычисляя минимум В,&trade- (к) по к, находим критическое число Рэлея для установления конвекции Яс и отвечающее ему критическое значение кт. Нейтральная кривая приведена на рис. 1 [7, 8, 41]. При Я < Яс состояние покоя устойчиво, а при Я > Яс существует интервал волновых чисел, таких, что моды с этими волновыми числами — растущие. При отсутствии вращения и магнитного поля неустойчивость состояния покоя — монотонная, т. е. собственное значение, пересекающее мнимую ось, — действительное [6−8,41].
1000 0 0 2 4 6 8 к.
Рисунок 1: Нейтральная кривая устойчивости для конвекции в плоском слое жидкости со свободными границами при отсутствии вращения и магнитного поля [7, 8, 41]. Критические числа Рэлея Дт (к) для монотонной неустойчивости (вертикальная ось) как функции волнового числа нейтральной моды (горизонтальная ось).
Задача о слабо нелинейной устойчивости изучает поведение системы, в частности, возникающие стационарные состояния и их устойчивость, в предположении, что влияние нелинейных членов мало. Малое начальное возмущение с волновым числом к растет, пока этот рост не прекращается из-за нелинейных эффектов. Вблизи установления конвекции (при Я > Яс близких к Яс) амплитуда конвективных состояний мала (в частности, мала скорость возникающих конвективных течений), а сами они мало отличаются от неустойчивой моды. Конвективные валы — двумерные конвективные течения, близкие к двумерной моде неустойчивости оператора линеаризации, возникающие при установлении конвекции, — схематически изображены на рис. 2.
Конвекцию можно рассматривать как динамическую систему, зависящую от параметра — числа Рэлея, к которой применима общая теория бифуркаций. Согласно общей теории [75−77], если при некотором значении параметра у оператора линеаризации вблизи стационарного.
Рисунок 2: Схематическое изображение конвективных валов (сплошные линии — траектории некоторых частиц жидкости, штриховая линияграницы конвективных валов) [7]. состояния существует собственное значение, проходящее через ноль, то при этой величине параметра от стационарного состояния ответвляется ветвь (или ветви) других стационарных состоянийкаждая ветвь ответвляется вдоль направления, принадлежащего ядру оператора линеаризации. Из-за большой размерности ядра для случая конвекции в плоском слое (собственное пространство инвариантно относительно вращений и сдвпгов) при Я = В771 (к) от тривиального стационарного состояния ответвляется несколько типов решений с волновым числом к, различающихся своими группами симметрий. Из этих решений представляют интерес валы, квадратные и шестиугольные ячейки, поскольку в некоторых конвективных системах их наблюдают в экспериментах или расчетах. (Отметим, что в слое со свободными границами при отсутствии вращения и магнитного поля вблизи установления конвекции квадратные и шестиугольные ячейки всегда неустойчивы.) Квадратные ячейки можно представить как сумму двух валов одинаковой амплитуды, повернутых на угол 7г/2, а шестиугольные ячейки — как сумму трех валов, повернутых на углы ±-7г/3.
Для возникающих стационарных состояний важно исследовать их устойчивость, поскольку только устойчивые течения можно наблюдать в экспериментах. Однако из устойчивости не следует, что течение обязательно 1 будет в эксперименте реализовано, поскольку конвекция, будучи нелинейной динамической системой, может иметь более одного аттрактора: некоторые устойчивые течения наблюдаются только при определенных начальных условиях, а другие начальные условия могут привести к другим устойчивым течениям. Слабо неустойчивые течения также представляют интерес, поскольку они могут наблюдатся на достаточно длинных, хотя и конечных, временных интервалах (если в динамической системе есть гомоклинные или гетероклинные циклы). Примеры конвективных течений, наблюдаемые в экспериментах, показаны на рис. 3.
Мы говорим, что стационарное состояние линейно устойчиво, если оно устойчиво относительно любых бесконечно малых возмущений (малых относительно возмущаемого состояния). Линейная устойчивость определяется собственными значениями оператора линеаризации вблизи этого стационарного состояния. Для конвекции в бесконечнмо слое жидкости доказательство устойчивости — сложная задача, поскольку необходимо рассмотреть все возмущения, геометрпчески возможные в плоском слое и удовлетворяющие граничным условиям. При исследовании устойчивости конвективных режимов, например, в работах [29, 30, 35, 123, 124], как правило, рассмотрены только определенные классы возмущений. Доказать неустойчивость существенно проще, чем доказать устойчивость, т.к. для доказательства неустойчивости достаточно продемонстрировать неустойчивость относительно только одного возмущения допустимого типа.
Стационарные конвективные состояния малой амплитуды, ответвляющиеся от тривиального, могут, в принципе, существовать либо при Я > Ят (к), либо1 при Я < Ят (к). В первом случае говорят, что происходит суперкритическая бифуркация, а во втором случае — субкритическая. Из общей теории динамических систем [75, 77] известно, в).
Рисунок 3: Примеры течений, наблюдаемых в экспериментах вблизи установления конвекции (теневые фотографии): устойчивые конвективные валы в слое при отсутствии вращения [81] (а) — неустойчивые конвективные валы во вращающемся слое [67] (б) — устойчивые квадратные ячейки во вращающемся слое [26] (в). что стационарные состояния, возникающие в субкритической бифуркации, неустойчивы относительно возмущений того же вида, что и само стационарное состояние, а возникающие в суперкритпческой, — устойчивы относительно таких возмущений. Для слоя со свободными границами без вращения и магнитного поля, бифуркации валов, квадратных и шестиугольных ячеек суперкритическиепри этом валы с волновым числом к устойчивы относительно всех возмущений с тем же самым волновым числом, а квадратные и шестиугольные ячейки неустойчивы [7, 8, 115]. Устойчивость относительно некоторых возмущений с другими волновыми числами рассматрена в уже упомянутых работах [29, 30, 35, 123, 124]. Границы области устойчивых валов на плоскости (к, К) были определены в работе автора диссертации [104] посредством исследования устойчивости валов относительно всех возмущений, периодических в горизонтальных направлениях. Область устойчивости валов — это множество таких пар к иЯ, что валы с волновым числом к устойчивы при данном Л. (Отметим, что область устойчивости валов существенно зависит от числа Прандтля.).
Как было отмечено, при отсутствии и вращения, и магнитного поля неустойчивость состояния покоя всегда монотонная. Прп наличии вращения и/или магнитного поля может иметь место колебательная неустойчивость, т. е. собственное значение, пересекающее мнимую оськомплексное. Аналитически доказано, что во вращающемся слое колебательная неустойчивость возможна только при Р < 1- численно найдено, что прп Р ^ 0.677 и достаточно больших Та критическая мода потери устойчивости состояния покоя колебательная [41, 121]. Границы между монотонной и колебательной неустойчивостью состояния покоя для различных граничных условий вычислены на плоскости (Р, Та) в работах [49, 78]. Колебательная неустойчивость состояния покоя слоя проводящей жидкости во внешнем магнитном поле имеет место, если отношение Рт/Р достаточно велико [41] (см. также обзор [99]). Для слоя со свободными границами области монотонного и колебательного установления конвекции были вычислены на плоскости (д, <5) в [50] для нескольких значений числа Прандтля. Для слоя с жесткими границами критические значения чисел Рэлея для нескольких наборов величин других параметров были найдены Уиксом и Жангом [122]. В пределе малых значений вязкости и магнитной диффузии эта задача была рассмотрена Робертсом и Жангом [111].
Случай, когда есть и вращение, и магнитное поле, исследован значительно меньше. Неустойчивость состояния покоя для слоя со свободными границами рассмотрена в [41]. Асимптотическое поведение в пределе больших значений Та ж было изучено в [61, 62]. Результаты расчетов критических величин числа Рэлея для вращающегося слоя с магнитным полем в зависимости от Та при Р = 0.023 и Рт = 1.5 • 106 для четырех величин <5 приведены в [125].
При отсутствии и вращения, п магнптного поля, в слое с жесткими горизонтальными границами, как и в слое со свободными границами, бифуркация валов суперкритическая и при малой надкритичности валы устойчивы относительно возмущений такой же пространственной периодичности, а все трехмерные стационарные состояния неустойчивы (см. [7, 8, 115]). Изучению устойчивости валов в слое жидкости с жесткими горизонтальными границами без вращения и магнитного поля при различных значениях Р, Я и к посвящен ряд статей Буссе с соавторами [1,46,32−37,44−48,59] (см. также [7, 8] и приведенные там ссылки). В этих работах вычислением нейтральных мод оператора линеаризации найдены областп устойчивости валов в плоскости (к, К) — так называемый воздушный шар (Ьа1ооп) Буссе — при некоторых фиксированных величинах чисел Прандтля, а также исследованы различные типы мод неустойчивости, ограничивающих эту область. Область устойчивости валов уменьшается при уменьшении числа Прандтля. В случае свободных границ при Р? 0.782 устойчивые валы отсутствуют вблизи установления конвекции из-за так называемой неустойчивости малого угла [14, 89, 102,123]. При этой неустойчивости растущая мода представляет собой сумму валов, повернутых на пнфинитиземально малый угол относительно возмущаемых валов (откуда и берет начало название неустойчивости) и некоторой длинноволновой моды. Эта длинноволновая мода с малым декрементом затухания существует только в слое со свободными границами.
Вследствие неустойчивости этого типа устойчивые валы отсутствуют вблизи установления конвекции и во вращающемся слое со свободными границами (при всех числах Прандтля). Кокс и Мэтьюс [51] показали, что валы с критическим волновым числом неустойчивынеустойчивость валов с другими волновыми числамп была доказана автором диссертации в работах [14, 102].
Характер установления конвекции во вращающемся слое существенно зависит от соотношения между чисел Тейлора и Прандтля. Так, при достаточно больших числах Тейлора в небольшом интервале чисел Прандтля течения с квадратной ячейкой периодичности устойчивы относительно коротковолновых возмущений, а валы неустойчивы [73, 105]. В слое со свободными границами для течений с квадратной ячейкой периодичности имеет место неустойчивость малого угла [14]. Также существует интервал Та, для которых бифуркация валов субкритическая, и эта ветвь течений ответвляется в направлении Я < Яс, и, следовательно, валы вблизи точки бифуркации неустойчивы [78, 105]. В слое со свободными границами такая бифуркация возможна при Р ^ 0.6, в слое с жесткими границами — при Р ^ 0.33.
Исследованию последовательности бифуркаций валов при числе Рэлея, существенно большем критического значения, в частности, приводящих к хаосу и турбулентности, посвящены работы [53, 55, 56, 86], а также работы автора диссертации [4, 5, 24, 39, 42, 100, 106, 103]. В них показано, что переход к хаосу происходит посредством конечного числа бифуркации, в соответствии со сценарием Рюэля-Такенса [112]. Отметим, что при численном исследовании налагается определенная периодичность в горизонтальных направлениях, что ограничивает класс допустимых возмущений.
При колебательной неустойчивости состояния покоя во вращающейся жидкости возникают бегущие пли стоячие волны. В зависимости от соотношений между числами Тейлора и Прандтля течения одного из этих типов устойчивы, относительно коротковолновых возмущений [79]. Неустойчивость волн обоих типов относительно возмущений малого угла была доказана автором диссертации [102].
В слое с жесткими границами при отсутствии вращения валы с критическим волновым числом устойчивы при установлении конвекции при всех числах Прандтля. В слое достаточно быстро вращающейся жидкости эти валы неустойчивы относительно возмущений, представляющих собой такое же течение, повернутое на некоторый конечный угол относительно вертикальной оси. Эту неустойчивость (ее называют неустойчивостью Кюпперса-Лортца) впервые исследовали Кюпперс и Лортц [80] при Р — оо (в указанной статье рассматривались свободные горизонтальные границы), для слоя с жесткими горизонтальными границами при произвольных значений числа Прандтля ее рассмотрели Клун и Кноблох [49]. В этой работе были вычислены критические числа Тейлора и соответствующие критические углы, и найдено, что обе величины растут с ростом Р.
Слабо нелинейная устойчивость валов в конвективном слое проводящей жидкости с жесткими горизонтальными границами, находящейся во внешнем магнптном поле, была впервые исследована автором диссертации в работе [105]. Было найдено, что при отсутствии вращения валы неустойчивы, если <5? Р и отношение Рт/Р достаточно велики. На плоскостях (Р, О) и (Рт/Р, О) на границе области устойчивости валов либо имеет место колебательная неустойчивость тривиального состояния, либо валы ответвляются от него субкритически.
При наличии магнитного поля и вращения в зависимости от величины отношения Рщ/Р возможен качественно различный характер установления конвекции. Если Рт < Р (этот случай наиболее интересен с точки зрения геофизики, поскольку это соотношение выполнено для параметров во внешнем земном ядре), то при малых величинах Та при установлении конвекции возникают устойчивые валы, а при больших значениях числа Тейлора имеет место неустойчивость возникающих валов, аналогичная неустойчивости Кюпперса-Лортца (т.е. неустойчивость относительно возмущений, представляющих собой такое же течение, повернутое на некоторый угол относительно вертикальной оси). При Рт > Р возможно качественно иное поведение.
Цель диссертационной работы состояла в аналитическом и численном изучении устойчивости течений вблизи установления конвекции в плоском горизонтальном слое с учетом факторов, важных для геофизических приложений. Предполагалось понять основные закономерности и качественную зависимость от параметров, что важно для изучения reoи астрофизических процессов. Цель работы определила постановку задач:
— доказательство неустойчивости конвективных валов и течений с квадратной ячейкой периодичности во вращающемся слое жидкости со свободными границами вблизи установления конвекции посредством вычисления старших членов асимптотического разложения мод неустойчивости и их инкрементов роста по корню из надкритичностп и другим малым параметрам задачи;
— доказательство неустойчивости бегущих и стоячих волн, возникающих при колебательной неустойчивости во вращающемся слое жидкости со свободными границами, посредством вычисления старших членов асимптотического разложения мод неустойчивости и их инкрементов роста;
— аналитическое и численное исследование устойчивости валов в слое жидкости со свободными границами при отсутствии вращения вблизи установления конвекции прп различных числах Прандтля;
— аналитическое ичисленное исследование устойчивости валов во вращающемся слое проводящей жидкости с жесткими непроводящими границами, находящейся во внешнем магнитном поле;
— исследование асимптотической зависимости особенностей установления конвекции от кинематического и магнитного чисел Прандтля для случая, когда величины этих параметров близки к их значениям во внешнем ядре Земли.
Актуальность темы
Задача об устойчивости течений вблизи ' установления тепловой конвекции — классическая задача теории тепловой конвекции и магнитоконвекции. В приложении к различным типам конвекции, происходящей на Земле и в ее недрах, она позволяет понять природу протекающих процессов, и, в частности, зависимость от параметров, часто принимающих экстремально малые или экстремально большие значения. Рассмотрение задачи достаточно простого вида, позволяет понять общие закономерности конвективных процессов.
Научная новизна. В данной работе впервые:
— доказано, что вблизи установления конвекции валы с волновым числом, отличным от критического, и течения с квадратной ячейкой периодичности во вращающемся слое жидкости со свободными границами неустойчивы;
— доказана неустойчивость бегущих и стоячих волн во вращающемся слое жидкости со свободными границами вблизи установления конвекции;
— выведено неравенство, описывающее границу области устойчивости валов на плоскости параметров (к, В) при Р ^ 0.782 в слое со свободными границами при отсутствии вращения;
— исследована устойчивость течений вблизи установления конвекдни в слое проводящей жидкости с жесткими горизонтальными границами во внешнем магнитном поле в отсутствие и при наличии вращения;
— на примере конвективного слоя во внешнем магнитном поле показан асимптотический характер поведения системы (т.е. слабая зависимость от чисел Прандтля в случае их малостп, которая характерна для внешнего ядра Земли);
— разработаны асимптотические методы, носящие общий характер п применимые к задачам для объема жидкости рассмотренной геометрии (бесконечный плоский слой).
Практическая значимость работы. Приведенные в диссертации результаты существенно расширяют понимание характера поведения конвективных систем и влияние вращения, внешнего магнитного поля и величины чисел Прандтля на тип п устойчивость конвективных течений при установлении конвекции. Идентифицированные в данной работе новые типы неустойчивостей конвективных валов могут служить объяснением явлений, наблюдаемых в экспериментах. Найденные неустойчивости валов носят общий характер: в произвольной физической системе, бесконечной в двух направлениях, неустойчивости такого же тппа могут встречаться у стационарных структур, периодичных по одному из направлений и независимых от координаты вдоль другого. Проведенные исследования указывают на асимптотический характер зависимостей при стремлении чисел Прандтля к нулю следующих величин: критического числа Рэлея установления конвекции в колебательной неустойчивости, критического числа Тейлора для границы областей монотонной и колебательной неустойчивости, и критического угла и числа Тейлора для неустойчивости Кюпперса-Лортца. Эти результаты указывают на возможность построения асимптотических моделей систем, где значения чисел Прандтля малы, например, процессов, протекающих во внешнем ядре Землп.
Для оценкп устойчивости течений использован новый метод, согласно которому исследование устойчивости стационарных структур сводится к вычислению матрицы, состоящей из главных членов асимптотического разложения по нескольким параметрам (надкрптичности, малого угла, разности между волновым числом исследуемых на устойчивость структур п критическим волновым числом), и исследованию собственных значений этой матрицы. Этот метод дает возможность оценивать погрешности, возникающие из-за отбрасывания асимптотически малых членов разложений, поскольку одновременно оцениваются остаточные члены. Важным достоинством этого метода, по сравнению со всеми применяемыми ранее, является возможность оценки собственных значений для любых асимптотических соотношений между, малыми (параметрами задачи. Предложенный в диссертации подход применим к исследованию устойчивости в любых системах, где присутствуют несколько малых параметров.
Личный вклад автора. Метод решения задач, рассмотренных в главах 1−3 принадлежит автору диссертации. Математический анализ, изложенный в главах 1−4, также как разработка алгоритмов численного решения и программного обеспечения для численного решения задач, рассмотренных в главах 3−5, выполнены автором единолично. Основные результаты работы изложены в статьях [14, 15, 16, 102, 104, 105], единственным автором которых является автор диссертации.
Структура работы. Диссертация объемом 212 стр. состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы (127 работ). В диссертации 1 таблица и 22 рисунка.
5.4 Выводы.
Результаты приведенных выше расчетов показывают, что в рассмотренных диапазонах параметров (0.001 < Р < 1, Ю-8 < Рто < 1, Pm < Р) зависимость критических параметров (числа Рэлея и частоты при колебательной неустойчивости состояния покоя, числа Тейлора и угла для неустойчивости Кюпперса-Лортца) от магнитного числа Прандтля крайне мала. Как правило, при изменении Рт на 5−7 порядков изменение критических значений менее чем на 1%. Для достаточно малых Р су.
0.001.
60 50 40 | 30 | 20 10.
0Ё 0.001.
0.010 0.100 1.000 р а) б).
Рисунок 5.4: Зависимость критического числа Тейлора Тас (а) и угла ас (б) от числа Прандтля для = 500, Рт = 0.1 (сплошная линия), Рт = Ю-2 (пунктир) и Рт — Ю-8 (штриховая линия). зависимость от этого параметра незначительна: так, при уменьшении Р от 0.01 до 0.001 критические значенпя меняются несущественно.
Эти результаты указывают на существование асимптотических режимов при Р —"• 0 и Рт —* 0, малость коэффициентов асимптотических рядов и ненулевой радиус их сходимости. (Построение асимптотических разложении выходит за рамки настоящей диссертации.).
Отметим, что уравнения, геометрия, величины чисел Рэлея, Тейлора и Чандрасекара рассмотренной задачи отличны от условий Земли, и, таким образом, изученные в данной работе магнитогидродина-мпческие конвективные режимы отличны от реализующихся в геофизических конвективных системах. Однако наблюдаемые зависимости от чисел Прандтля имеют достаточно общий характер, поскольку выполнены во всех рассмотренных нами случаяхэта универсальность дает основания полагать, что нечувствительность магнитогидродина-мических конвективных режимов может сохраниться и при величинах параметров и режимах, характеризующих условия Земли.
Отметим практическую важность существования асимптотических режимом в пределе Р —* 0 и Рт —> 0, на которое указывает данное исследование. При численном моделировании изменение параметров на несколько порядков может привести к незначительным изменениям результатов вычислений, или же качественно не менять характер полученных режимов. Расчеты, например, течений во внешнем ядре Земли с геофизическими величинами чисел Прандтля слишком громоздки для современных компьютеров, и останутся таковыми достаточно продолжительное время. Из наших результатов следует, что вычисления даже с «неправильными» параметрами могут не привести к существенным ошибкам.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
В диссертации рассмотрена задача об устойчивости течений вблизи установления конвекции (т.е. для случая, когда надкритичность мала, а волновое число возмущаемых конвективных режимов близко ко критическому) в плоском слое для различных конвективных систем (при разных краевых условиях, при наличии и отсутствии вращения и/или магнитного поля) при разных значениях управляюгцпх параметров.
В главах 1 и 2 была изучена устойчивость течений во вращающемся слое со свободными горизонтальными границами. В главе 1 были рассмотрены стационарные конвективные течения, валы и квадратные ячейки, а в главе 2 — периодические по времени течения, бегущие и стоячие волны. Было показано, что при малой надкритпчности рассмотренные течения всегда неустойчивы, а доминирующая мода неустойчивости принадлежит одному из двух типов — малого угла или Экхауса. Для этих мод были выведены асимптотические оценки инкремента роста.
В главе 3 исследована устойчивость конвективных валов в слое со свободными границами при отсутствии вращения. Доказано, что в некоторой области значений параметров валы устойчивы относительно любых возмущений, периодических в горизонтальных направлениях. В диссертации выведены неравенства, ограничивающие область устойчивых валов в пространстве параметров, даны асимптотические оценки для ошибки вычисления границ этой области и получена асимптотика инкремента роста наиболее неустойчивых мод.
В главах 4 и 5 рассмотрена устойчивость валов с критическим волновым числом во вращающемся плоском слое проводящей жидкости с жесткими диэлектрическими границами, находящемся во внешнем магнитном поле. В главе 4 найдены, в виде неравенств, необходимые и достаточные условия устойчивости валов. Численным решением этих неравенств для определенных наборов величин параметров системы установлено, при каких параметрах валы вблизи установления конвекции устойчивы.
Результаты главы 5, где изучена зависимость от чисел Прандтля в пределе малых величин этих параметров, указывают на асимптотический характер конвективных магнитогидродинамических режимов в пределах Р —> 0 к Рт 0.
Полученные в диссертационной работе результаты позволяет сделать выводы о влиянии различных факторов на типы возможных течений и их устойчивость при возбуждении конвекции в горизонтальном слое.
Прежде всего отметим роль граничных условий. Если обе горизонтальные границы свободные (случай, рассмотренный в главах 13), то оператор линеаризации уравнений конвекции вблизи тривиального состояния имеет длинноволновую слабозатухающую моду. Если же обе границы жесткие (случай, рассмотренный в главах 4 и 5), то такая мода отсутствует. Вследствие этого различия моды неустойчивости режимов, возникающих при установлении конвекции, например, конвективных валов, имеют разный вид. Для жестких границ достаточно исследовать устойчивость валов относительно течений, имеющих вид валов. При этом собственное значение оператора линеаризации в окрестности режима, исследуемого на устойчивость, зависит от угла между осями возмущаемых и возмущающих валов, а также от их периодов (или волновых чисел) в горизонтальных направлениях. Оно положительно только, если указанный угол ненулевой (и не стремится к нулю при малых надкритичностях) — в диссертации такая неустойчивость названа коротковолновой неустойчивостью. В слое со свободными границами в дополнение к коротковолновой неустойчивости возможна также длинноволновая неустойчивость, при которой растущее возмущение представляет собой сумму длинноволновой моды оператора линеаризации вблизи тривиального состояния и валов, и угол между возмущаемыми и возмущающими валами асимптотически мал. Из-за наличия дополнительной длинноволновой моды неустойчивости конвективные режимы в слое со свободными границами менее устойчивы, чем в слое с жесткими границами.
Указанное различие имеет место в идеализированной постановке задачи — в слое, не ограниченном в горизонтальных направлениях. Однако ни в экспериментах, ни в расчетах неограниченность в горизонтальных направлениях не реализуется. В расчетах обычно рассматривают течения заданной периодичностикак правило, выбираемый период невелик (в несколько раз больше критического), и поэтому длинноволновая мода в численных решениях не проявляется. Вследствие этого последовательности бифуркаций при варьировании параметров задачи, найденные в расчетах для свободных и жестких горизонтальных границ обычно имеют качественное сходство.
В диссертации не обсуждена важная характеристика системы, от которой существенно зависит, какие возникают режимы и устойчивы ли они, — ее группа симметрии. Во всех рассмотренных в диссертации конвективных системах присутствует симметрия отражения относительно срединной горизонтальной плоскости слоя — так называемая «симметрия Буссинеска». Если же одна граница жесткая, а другая свободная, или если вязкость зависит от температуры, или если жидкость сжимаема (в диссертации эти случаи не рассмотрены), то этой симметрии нет, и, как следствие, характер установления конвекции тогда качественно иной. В отсутствие симметрии отражения относительно срединной плоскости бифуркация шестиугольных ячеек транскритическая (из-за наличия квадратичных слагаемых в соответствующих амплитудных уравнениях), т. е. эта ветвь течений ответвляется как в сторону убывания, так и в сторону возрастания числа Рэлея, и вблизи точки бифуркации течения неустойчивы. Ветвь, уходящая в сторону меньших чисел Рэлея, при некотором Л < Ес поворачивает назад, при этом составляющие ее конвективные стационарные состояния могут обрести устойчивость. Валы вблизи точки бифуркации потери устойчивости тривиального состояния в отсутствие симметрии отражения относительно срединной плоскости всегда неустойчивы, при суперкрптической бифуркации они могут стать устойчивыми при относительно небольшой надкрптичности.
Обсудим теперь влияние вращения жидкости (вращающийся слой рассмотрен в главах 1 и 2 и разделах 4.2.1 и 4.5.4 главы 4). Если жидкость вращается, то оказываются потеряны симметрии отражения относительно вертикальных плоскостей, вследствие чего возможна неустойчивость Кюпперса-Лортца. Из-за наличия дополнительного слагаемого в уравнении Навье-Стокса, отвечающего силе Кориолиса, оператор линеаризации в окрестности тривиального стационарного состояния перестает быть самосопряженным, и, следовательно, может иметь комплексные собственные значения. Соответственно, оказывается возможна колебательная неустойчивость состояния покоя, при которой возникают периодические течения или течения, более сложным образом зависящие от времени. Кроме того, при вращении жпдкости в некоторой области величин параметров происходит субкритическая бифуркация валов. В системе со свободными горизонтальными границами и вращением устойчивые валы или периодические по времени течения при установлении конвекции отсутствуют (без вращения устойчивые валы существуют при Р ^ 0.782). Таким образом, течения, возникающие при установлении конвекции во вращающейся жидкости менее устойчивы, чем в системе без вращения. Однако с увеличением скорости вращения состояние покоя становится более устойчивым (критическое число Рэлея растет с ростом Та).
Влияние внешнего магнитного поля в определенной степени аналогично влиянию вращения, как следует из сравнения результатов разделов 4.2.2 и 4.5.5 с результатами разделов 4.2.1, 4.5.4 главы 4. При наличии внешнего наложенного магнитного поля оператор линеаризации также несамосопряженный, и тем самым становится возможной колебательная неустойчивость состояния покоя. (Задача об устойчивости течений в слое проводящей жидкости, находящейся в магнитном поле, рассмотрена в диссертации только для валов с критическим волновым числом в слое с жесткими границами.) В присутствии внешнего магнитного поля, как и вращения, валы оказываются менее устойчивыми из-за возможности колебательной неустойчивости и субкритической бифуркации валов. Критическое число Рэлея с увеличением внешнего магнитного поля растет, как и при увеличении скорости вращения. Однако в магнитоконвекции сохраняется симметрия отражения относительно вертикальной плоскости, поэтому неустойчивость Кюпперса-Лортца невозможна.
Совместное влияние вращения и магнитного поля гораздо более сложно и существенно зависит от величин параметров (эта задача рассмотрена в главах 4 и 5). Так, обычно критическое число Рэлея монотонно увеличивается с ростом <5, однако при некоторых значениях Та монотонному росту критического числа Рэлея предшествует интервал <2, на котором критическое число Рэлея убывает. При малых Р пли д с увеличением внешнего магнитного поля граница неустойчивости Кюпперса-Лортца на плоскости (Р, Та) сдвигается вверх, в сторону больших Та, тем самым валы становятся более устойчивыми. В противоположность этому, при больших Р или д, при увеличении <2 возникает магнитная колебательная неустойчивость состояния покоя, и, следовательно, при установлении конвекции устойчивых валов нет. В некоторой области величин Р, д и <2 валы неустойчивы при малых и больших Та, но при этом устойчивы в некотором среднем диапазоне Та.
Рассмотрим теперь зависимость характера установления конвекции от числа Прандтля при отсутствии магнитного поля. Как показано в главах 1 и 3, в слое жидкости со свободными границами при небольших числах Прандтля устойчивые валы отсутствуют, а в слое вращающейся жидкости с жесткими границами при небольших числах Прандтля также возможны колебательная* неустойчивость и субкритическая бифуркация валов. Критическая величина Та для установления неустойчивости Кюпперса-Лортца растет с ростом Р. Таким образом, с ростом числа Прандтля валы становятся более устойчивыми. В соответствии с результатами главы 2 и раздела 4.2.1 главы 4, для колебательной неустойчивости критическое число Рэ лея убывает с уменьшением Р, т. е. и тривиальное стационарное состояние становится более устойчивым при увеличении Р.
Согласно результатам глав 4 и 5,. при наличии магнитного поля можно выделить два интервала д < 1 и д > 1 (напомним, что число Ро-бертса определено как д = Рт/Р), в которых качественная зависимость характера установления конвекции от других параметров существенно разная.
Без вращения, при д < 1 колебательная неустойчивость состояния покоя невозможна, а при монотонной неустойчивости бифуркация валов всегда суперкритическая, и валы всегда устойчивы вблизи установления конвекции. При д > 1 колебательная неустойчивость тривиального стационарного состояния и субкритическая бифуркация валов имеют место при достаточно больших ф, при этом критические значения ф убывают с ростом д. Критические значения числа Рэ лея для колебательной неустойчивости состояния покоя также убывают с ростом д. Тем самым, с ростом д течения становятся менее устойчивыми. С ростом числа Прандтля валы также становятся менее устойчивыми (это проявляется, например, в уменьшении критических величин ф для субкритической бифуркации валов и границы между монотонной и колебательной неустойчивостью состояния иокоя — напомним, что валы возникают только в монотонной неустойчивости). Отметим, что для слоя вращающейся жидкости имеет место обратная зависимость, от этого параметра.
В присутствии внешнего магнитного поля, при фиксированных ф и q < 1 зависимость от чисел Тейлора и Прандтля качественно такая же, как и при отсутствии магнитного поля: колебательная неустойчивость состояния покоя и субкритическая бифуркация валов возможны только при достаточно малых значениях числа Прандтля. Изменение значений q (при том же условии q < 1) меняет систему незначительно, например, бифуркационные диаграммы на плоскости (Р, Та) для разных значений q зрительно неразличимы. При изменении Q бифуркационная диаграмма качественно не изменяется, с ростом Q границы на диаграмме сдвигаются в сторону больших Та.
При фиксированных q > 1 и Q зависимость от чисел Тейлора и Прандтля существенно зависит от величин всех параметров системы. При малых Р продолжает сохраняться сходство с системой без магнитного поля. При средних и больших Р зависимость сильно неоднозначна.
С точки зрения геофизики интерес представляют малые значения Р и Рт, соответствующие величинам параметров во внутреннем ядре Земли. Эти параметры также малы для многих астрофизических объектов. (Как уже указано, приведенные в литературе оценки кинематического и магнитного чисел Прандтля для Земли имеют точность до нескольких порядков, однако эти оценки, как правило, удовлетворяют неравенствам Р < 1, Рт < 1 и Рт/Р < 1.) Результаты, полученные в главе 5 диссертации, указывают, что для малых Р и Рт изменение параметров изменяет поведение системы только несущественно, и представляется вероятным асимптотический характер зависимости от этих параметров. Это указывает на возможность оценки ошибок, возникающих при исследовании магнитоконвекцпи в пределе Р —> 0 п Рт. 0, представляющем интерес для reoи астрофизики, в численных решениях из-за погрешностей в принятых в расчетах величинах параметров. Это особенно важно при проведенпи численных экспериментов, так как некоторое увеличение Р и Рт существенно упрощает вычисления.
