Вейвлет-анализ электрокардиограмм

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВПО «КубГУ»)

Физико-технический факультет Кафедра теоретической физики и компьютерных технологий ДИПЛОМНАЯ РАБОТА Вейвлет-анализ электрокардиограмм Работу выполнил Полывьян Александр Андреевич Специальность — Информационные системы и технологии канд. физ.-мат. наук, доцент А. А. Мартынов Краснодар 2013

Реферат Полывьян А. А. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ЭЛЕКТРОКАРДИОГРАММ Дипломная работа: рис. 18, табл. 2, использованных источников 23.

ЭКГ, ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, PQRST-ПРИЗНАКИ, MATLAB, АНАЛИЗ БИОЛОГИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ, ПОМЕХИ ПРИ АНАЛИЗЕ ЭКГ, БОЛЕЗНИ СЕРДЦА Основным результатом работы является разработка алгоритма автоматизированного выделения PQRST-признаков в сигнале ЭКГ с помощью вейвлет-инструментария математического пакета Matlab. В ходе работы решены задачи изучения теоретических основ и практических применений вейвлет-преобразования, изучения характеристических особенностей сигнала ЭКГ, используемых при диагностировании заболеваний, а также изучения инструментария Matlab для работы с вейвлетами.

• Введение
• 1. Вейвлет-преобразование
• 1.1 Непрерывное вейвлет-преобразование
• 1.2 Дискретное вейвлет-преобразование
• 1.2.1 Один уровень преобразования
• 1.2.2 Каскадирование и банки фильтров
• 1.3 Достоинства и недостатки вейвлет-преобразований
• 1.4 Использование вейвлет-преобразования в алгоритме сжатия изображений
• 1.4.1 Базовый алгоритм сжатия изображений
• 1.4.2 Вейвлет-преобразование
• 1.4.3 Модифицированный алгоритм сжатия изображений JPEG с использованием вейвлет-преобразования
• 1.4.4 JPEG 2000
• 1.4.5 Выводы
• 1.5 Применение вейвлет-преобразования к обработке медицинских сигналов и изображений
• 1.5.1 Выявление коронарной болезни сердца
• 1.5.2 Турбулентный кровоток
• 1.5.3 Выявление нерегулярных сердечных сокращений
• 1.5.4 Вейвлеты в электроэнцефалографии (ЭЭГ)
• 1.5.5 Алкоголь и потомство
• 1.5.6 ЭЭГ в период приступа
• 1.5.7 Вейвлеты в цифровой маммографии
• 1.5.8 Сжатие медицинских изображений с помощью вейвлетов
• 2. Использование вейвлет — преобразования для анализа электрокардиограмм
• 2.1 Компоненты электрокардиограммы
• 2.2 Диагностика выделения признаков
• 2.3 Выделение признаков
• 2.4 Помехи при регистрации электрокардиограммы
• 2.5 Многоуровневая вейвлет-декомпозиция
• 2.6 Вейвлет-анализ с помощью Matlab
• 2.6.1 Перечень функций WaveletToolbox
• 2.6.2 Одномерное дискретное многоуровневое вейвлетпреобразование
• 2.7 Предлагаемый алгоритм выделения признаков PQRST
• Заключение
• Список используемой литературы

На сегодняшний день одним из самых распространенных методов диагностики и распознавания сердечнососудистых заболеваний является электрокардиография. Сигнал ЭКГ характеризуется набором зубцов на кардиограмме по временным и амплитудным параметрам которых ставится диагноз. До недавнего времени процедуру нахождения характеристик зубцов выполнял врач-кардиолог, используя при этом только чертежные принадлежности. Такая схема достаточно проста и надежна, но требует много времени, и она работала в течение долгого времени из-за отсутствия альтернативных подходов к решению данной задачи.

В настоящее время ни одна область экспериментальной, клинической или профилактической медицины не может успешно развиваться без широкого применения электронной медицинской аппаратуры. Инструментальные методы исследований и контроля используются в космической и подводной физиологии, спортивной и экстремальной медицине, сложных видах хирургического вмешательства. Задачи инженерно-психологической экспертизы при проектировании сложных управляющих комплексов, связанные с текущей диагностикой состояния организма человека-оператора, также не могут решаться без использования электронной диагностической аппаратуры.

Сравнение эффективности различных диагностических методов показывает, что наиболее полезная информация о функционировании внутренних органов и физиологических систем организма содержится в биоэлектрических сигналах, снимаемых с различных участков под кожным покровом или с поверхности тела. Прежде всего, это относится к электрической активности сердца, электрическому полю головного мозга, электрическим потенциалам мышц.

Обобщенно любое электрофизиологическое исследование представляется тремя последовательными этапами: съем, регистрация и обработка сигналов биоэлектрической активности. Специфические особенности, присущие конкретному методу реализации каждого из этапов, определяют комплекс требований и ограничений на возможную реализацию остальных. На протяжении нескольких десятилетий достоверность получаемых результатов ограничивалась техническими возможностями средств регистрации и отображения информации. Это сдерживало развитие методов автоматической обработки биоэлектрических сигналов. Последнее десятилетие, характеризующееся бурным развитием микроэлектроники и средств вычислительной техники, позволяет, с одной стороны, практически исключить инструментальные искажения, а с другой — применять методы цифровой обработки сигналов, реализация которых была ранее невозможна.

Особое место среди электрофизиологических методов диагностики занимает измерение и обработка электрокардиосигнала. Это связано с тем, что электрокардиограмма является основным показателем, который в настоящее время позволяет вести профилактический и лечебный контроль сердечнососудистых заболеваний. Эффективности электрокардиографических методов диагностики способствует развитая и устоявшаяся система отведений и широкое использование количественных показателей ЭКГ.

С развитием компьютеров стали появляться специализированные комплексы, позволяющие выявлять сердечные заболевания, на основе автоматизированного анализа временных параметров ЭКГ. На сегодняшний день известны разработки фирм MedIT, Innomed Medical Co. Ltd. и другие. Кардиографы этих компаний выполняют основные операции, необходимые для работы в реальных условиях. Программное обеспечение является одной из частей кардиографической системы. Оно обеспечивает фильтрацию сигналов, анализ данных и постановку диагноза на основе временных параметров ЭКГ.

Целью дипломной работы является разработка алгоритма для автоматизированного выделения PQRST-признаков в сигнале ЭКГ с помощью вейвлет-инструментария математического пакета Matlab.

В ходе дипломной работы решались следующие задачи:

1. Изучение теоретических основ и практических применений вейвлет-преобразования.

2.Изучение характеристических особенностей сигнала ЭКГ, используемых при диагностировании заболеваний.

3. Изучения инструментария Matlab для работы с вейвлетами.

4. Построение алгоритма для автоматизированного выделения PQRST-признаков в сигнале ЭКГ с помощью Matlab.

1. Вейвлет-преобразование

1.1 Непрерывное вейвлет-преобразование

Важнейшим средством анализа стационарных непрерывных сигналов является преобразование Фурье непрерывного времени (CTFT). При этом сигнал раскладывается в базис синусов и косинусов различных частот. Количество этих функций — бесконечно большое. Коэффициенты преобразования находятся путем вычисления скалярного произведения сигнала с комплексными экспонентами:

(1)

где f (x) означает сигнал, а -его преобразование Фурье. С практической точки зрения CTFT имеет ряд недостатков. Во-первых, для получения преобразования на одной частоте требуется вся временная информация. Это означает, что должно быть известно будущее поведение сигнала. Далее, на практике не все сигналы стационарны. Пик в сигнале во временной области распространится по всей частотной области его преобразования Фурье. Для преодоления этих недостатков CTFT вводится кратковременное, или оконное преобразование Фурье (STFT):

(2)

в котором применяется операция умножения сигнала на окно перед применением преобразования Фурье. Окном w (x-b) является локальная функция, которая сдвигается вдоль временной оси для вычисления преобразования в нескольких позициях b. Преобразование становится зависимым от времени, и в результате получается частотно-временное описание сигнала. В качестве окна часто выбирается функция Гаусса, и в этом случае обратное преобразование тоже будет выполняться с использованием оконной функции Гаусса. Используются также многочисленные другие окна, в зависимости от конкретного приложения.

Недостаток STFT состоит в том, что при его вычислении используется фиксированное окно, которое не может быть адаптировано к локальным свойствам сигнала.

Вейвлет-преобразование, рассматриваемое далее, решает эту и некоторые другие проблемы. Непрерывное вейвлет-преобразование (CTWT) есть скалярное произведение f (x) и базисных функций

(3)

так что

(4)

Базисные функцииявляются вещественными и колеблютсявокруг оси абсцисс. Они определены на некотором интервале. Данные функции называются вейвлетами (в переводе — короткие волны) и могут рассматриваться как масштабированные и сдвинутые версии функции-прототипа. Параметр bпоказывает расположение во времени, а а — параметр масштаба. Большие значения а соответствуют низким частотам, малыевысоким. Операция умножения на окно как бы содержится в самой базисной функции, которая позволяет сужать и расширять это окно. Отсюда появляется возможность адаптивного к сигналу выбора параметров окна.

На рисунке 1 показано разбиение частотно-временного плана для STFT и для CTWT. В соответствии с принципом неопределенности сужение окна анализа во временной области вызывает расширение его в частотной. Таким образом, площадь окна остается постоянной.

Рисунок 1 — Разбиение частотно-временного плана при STFT (a) и при CTFT (б) Для того чтобы было возможно обратное получение f (x) из результата CTWT, функция должна удовлетворять следующему условию:

(5)

где через обозначено преобразование Фурье. Если — локальная функция, то из (5) следует, что ее среднее значение равно нулю:

(6)

Тогда формула реконструкции имеет вид:

(7)

Как видно из (7), f (x) может быть выражена через сумму базисных функций с весами CTWT_f (a, b).

Параметры а и bменяются непрерывно, и поэтому множество базисных функций избыточно. Необходима дискретизация значений а и bпри сохранении возможности восстановления сигнала из его преобразования. Можно показать, что дискретизация должна осуществляться следующим образом:

(8)

Возможен произвольный выбор параметра b₀. Без потери общности выберем b₀ = 1. Из (8) видно, что параметр местоположения зависит от параметра масштаба. С увеличением масштаба увеличивается размер шага сдвига. Это интуитивно понятно, так как при анализе с большим масштабом детали не так важны.

Для дискретных значений а и bвейвлет-функции представляются в виде:

(9)

Иногда дискретизированное преобразование называется вейвлет-преобразованием. Однако нам кажется более правильным ввести по аналогии с терминологией преобразований Фурье название рядов вейвлетов непрерывного времени (CTWS), так как мы имеем дело с дискретным представлением непрерывного сигнала. CTWS определяется путем дискретизации CTWT:

(10)

Восстановление f (x) из последовательности возможно в том случае, если существуют числа A>0 и B , такие что

(11)

для всех f (x) в L² ®. Это означает, что хотя реконструкция f (x) из ее вейвлет-коэффициентов может не совпадать точно с f (x), она будет близка к ней в среднеквадратическом смысле. Если A=B=1 и а₀=2, то возможно полное восстановление, и семейство базисных функций образует ортогональный базис. Тогда

(12)

Если базисные функции нормализованы, то C_ш=1.

1.2 Дискретное вейвлет-преобразование

В численном и функциональном анализе дискретные вейвлет-преобразования (ДВП) относятся к вейвлет-преобразованиям, в которых вейвлеты представлены дискретными сигналами (выборками).

Первое ДВП было придумано венгерским математиком Альфредом Хааром. Для входного сигнала, представленного массивом 2ⁿ чисел, вейвлет-преобразование Хаара просто группирует элементы по 2 и образует от них суммы и разности. Группировка сумм проводится рекурсивно для образования следующего уровня разложения. В итоге получается 2ⁿ?1 разность и 1 общая сумма.

Это простое ДВП иллюстрирует общие полезные свойства вейвлетов. Во-первых, преобразование можно выполнить заnlog₂(n) операций. Во-вторых, оно не только раскладывает сигнал на некоторое подобие частотных полос (путём анализа его в различных масштабах), но и представляет временную область, то есть моменты возникновения тех или иных частот в сигнале. Вместе эти свойства характеризуют быстрое вейвлет-преобразование — возможную альтернативу обычному быстрому преобразованию Фурье. При принятии условия случайности сигнала Х спектральную плотность его амплитуд Y вычисляют на основе алгоритма Ийетса: matrixY=matrix (±X), верно и обратное matrixX=matrix (±Y).

Самый распространенный набор дискретных вейвлет-преобразований был сформулирован бельгийским математиком Ингрид Добеши (Ingrid Daubechies) в 1988 году. Он основан на использовании рекуррентных соотношений для вычисления всё более точных выборок неявно заданной функции материнского вейвлета с удвоением разрешения при переходе к следующему уровню (масштабу). В своей основополагающей работе Добеши выводит семейство вейвлетов, первый из которых является вейвлетом Хаара. С тех пор интерес к этой области быстро возрос, что привело к созданию многочисленных потомков исходного семейства вейвлетов Добеши.

Другие формы дискретного вейвлет-преобразования включают непрореженное вейвлет-преобразование (где не выполняется прореживания сигналов), преобразование Ньюлэнда (где ортонормированный базис вейвлетов выводится из специальным образом построенных фильтров типа «top-hat» в частотной области). Пакетные вейвлет-преобразования также связаны с ДВП. Другая форма ДВП — комплексное вейвлет-преобразование.

У дискретного вейвлет-преобразования много приложений в естественных науках, инженерном деле, математике (включая прикладную). Наиболее широко ДВП используется в кодировании сигналов, где свойства преобразования используются для уменьшения избыточности в представлении дискретных сигналов, часто — как первый этап в компрессии данных.

1.2.1 Один уровень преобразования

ДВП сигнала x получают применением набора фильтров. Сначала сигнал пропускается через низкочастотный (low-pass) фильтр с импульсным откликом g, и получается свёртка:

(13)

Одновременно сигнал раскладывается с помощью высокочастотного (high-pass) фильтра h. В результате получаются детализирующие коэффициенты (после ВЧ-фильтра) и коэффициенты аппроксимации (после НЧ-фильтра). Эти два фильтра связаны между собой и называются квадратурными зеркальными фильтрами (QMF).

Так как половина частотного диапазона сигнала была отфильтрована, то, согласно теореме Котельникова, отсчёты сигналов можно проредить в 2 раза:

(14)

Такое разложение вдвое уменьшило разрешение по времени в силу прореживания сигнала. Однако каждый из получившихся сигналов представляет половину частотной полосы исходного сигнала, так что частотное разрешение удвоилось.

Рисунок 2 — Схема разложения сигнала в ДВП.

С помощью оператора прореживания вышеупомянутые суммы можно записать короче:

(15)

Вычисление полной свёртки x*g с последующим прореживанием — это излишняя трата вычислительных ресурсов.

Схема лифтинга является оптимизацией, основанной на чередовании этих двух вычислений.

1.2.2 Каскадирование и банки фильтров

Это разложение можно повторить несколько раз для дальнейшего увеличения частотного разрешения с дальнейшим прореживанием коэффициентов после НЧ и ВЧ-фильтрации. Это можно представить в виде двоичного дерева, где листья и узлы соответствуют пространствам с различной частотно-временной локализацией. Это дерево представляет структуру банка (гребёнки) фильтров.

Рисунок 3 — Трёхуровневый банк (гребёнка) фильтров На каждом уровне вышеприведённой диаграммы (рисунок) сигнал раскладывается на низкие и высокие частоты. В силу двукратного прореживания длина сигнала должна быть кратна 2ⁿ, где n — число уровней разложения.

Например, для сигнала из 32 отсчётов с частотным диапазоном от 0 до f_n трёхуровневое разложение даст 4 выходных сигнала в разных масштабах (таблица и рисунок):

Таблица 1 — Уровни разложения

Рисунок 4 — Представление ДВП в частотной области.

1.3 Достоинства и недостатки вейвлет-преобразований

* Вейвлетные преобразования обладают практически всеми достоинствами преобразований Фурье.

* Вейвлетные базисы могут быть хорошо локализованными как по частоте, так и по времени. При выделении в сигналах хорошо локализованных разномасштабных процессов можно рассматривать только те масштабные уровни разложения, которые представляют интерес.

* Вейвлетные базисы, в отличие от преобразования Фурье, имеют достаточно много разнообразных базовых функций, свойства которых ориентированы на решение различных задач. Базисные вейвлеты могут иметь и конечные, и бесконечные носители, реализуемые функциями различной гладкости.

* Недостатком вейвлетных преобразований является их относительная сложность, компенсируемая использованием компьютерных программных средств.

1.4 Использование вейвлет-преобразования в алгоритме сжатия изображений

Сжатие данных при записи или передаче изображений на основе вейвлет-преобразования относится к группе методов сжатия с потерей информации. Термин «Wavelet"переводится как маленькая или короткая волна. Метод обеспечивает более высокую степень сжатия данных, чем метод, применяемый в стандарте JPEG, благодаря тому, что в нем более полно учитываются свойства зрения и это позволяет устранять из изображения те его детали, которые зритель все равно не заметит. В отличие от JPEG, который использует преобразование Фурье на небольшом участке изображения, wavelet преобразует за несколько шагов все изображение как целое, в результате сжатое изображение имеет существенно меньше хорошо заметных артефактов, особенно при больших коэффициентах сжатия. Метод более сложен в реализации, но в настоящее время он уже используется для записи изображений в некоторых графических редакторах, например в CorelPhoto-Paint. В основе метода лежит принцип преобразования изображения, результат которого представляется в виде суперпозиции особого вида базисных функций — вейвлет пакетов. Особенностью этих пакетов является то, что они все получаются из одной прототипной волны путем ее растяжения (или сжатия) и смещения. Эту прототипную волну можно рассматривать как импульсную функцию базового фильтра. При таком подходе вейвлет преобразование можно рассматривать как совокупность процессов фильтрации и децимации.

При построении беспроводных систем видеонаблюдения, использующих низкоскоростные каналы связи, возникает необходимость передачи больших объемов данных (изображений) за ограниченное время. Для этого обычно используется алгоритм сжатия изображений JPEG, обеспечивающий степень сжатия от 2 до 200 раз. Однако, в ряде случаев, например, в беспроводных охранных системах видеонаблюдения нет необходимости передавать по каналу связи данные о каждом полном изображении. Можно использовать режим предварительного просмотра изображений. При реализации такого режима объем передаваемых данных существенно уменьшается.

1.4.1 Базовый алгоритм сжатия изображений

В качестве базового алгоритма рассмотрим применение алгоритма JPEG. Характеристики алгоритма: степень сжатия варьируется от 2 до 200, алгоритм ориентирован на сжатие полноцветных (с глубиной цвета 24 бита, по 8 бит на каждую из 3-х компонент) изображений или изображений в градациях серого без резких переходов цветов. Алгоритм оперирует областями 8×8 точек, на которых яркость и цвет меняются сравнительно плавно. Вследствие этого при применении к матрице такой области дискретного косинусного преобразования (ДКП) значимыми оказываются только первые коэффициенты. Таким образом, сжатие в JPEG осуществляется за счет плавности изменения цветов в изображении. Структурная схема алгоритма JPEG представлена на рисунке 5.

Рисунок 5 — Структурная схема алгоритма JPEG

На этом рисунке в блоке «интерполяция RAW в RGB» происходит преобразование формата RAW, который поддерживает большинство видеокамер, в формат RGB, соответствующий алгоритму JPEG. Формат RAW предусматривает хранение информации только об одной цветовой компоненте для каждой точки изображения, поэтому недостающие компоненты получаются путем интерполяции значений ближайших соседних компонент.

В блоке «RGB в YCbCr» происходит преобразование цветовых пространств. YCbCr представляет собой аппаратно-ориентированную модель, используемую в телевидении и служащую для сокращения передаваемой полосы частот за счет использования психофизиологических особенностей зрения. В этой модели Y — интенсивность цвета, а Cb и Сr — синяя и красная цветоразностные компоненты. Кодирование изображений в этой палитре существенно уменьшает количество информации, требуемой для воспроизведения изображения без существенной потери его качества. Для преобразования палитры RGB в YCbCr пользуются следующими соотношениями:

вейвлет преобразование электрокардиограмма

(16)

В блоке «Дискретизация» происходит разделение исходного изображения на матрицы 8×8 точек и формирование из них рабочих матриц ДКП по 8 бит отдельно для каждой компоненты.

Блок «ДКП» является ключевым компонентом работы алгоритма. ДКП представляет собой разновидность преобразования Фурье и также имеет обратное преобразование. Графическое изображение можно рассматривать как совокупность пространственных волн, причем оси X и Y совпадают с шириной и высотой картинки, а по оси Z откладывается значение цвета соответствующего пикселя изображения. ДКП позволяет переходить от пространственного представления картинки к ее спектральному представлению и обратно. Воздействуя на спектральное представление картинки, состоящее из «гармоник», то есть, отбрасывая наименее значимые из них, можно балансировать между качеством воспроизведения и степенью сжатия. Формула дискретного косинусного преобразования представлена ниже:

(17)

где (18)

Применяя ДКП к каждой рабочей матрице получим расположение коэффициентов низкочастотных компонент ближе к левому верхнему углу, а высокочастотных — справа и внизу. Это важно потому, что большинство графических образов состоит из низкочастотной информации. Высокочастотные компоненты не так важны для передачи изображения. Таким образом, ДКП позволяет определить, какую часть информации можно выбросить, не внося серьезных искажений в изображение.

Время, необходимое для вычисления каждого элемента матрицы дискретного косинусного преобразования, зависит от ее размера. Одной из особенностей является то, что практически невозможно выполнить дискретное косинусное преобразование для всего изображения сразу. В качестве решения этой задачи необходимо разбивать изображение на блоки размером 8×8 точек.

В блоке «Квантование» происходит деление рабочей матрицы на матрицу квантования поэлементно с округлением элементов до целого значения. Для каждой компоненты (Y, Cr и Cb) в общем случае задается своя матрица квантования q[x, y]:

(19)

На этом шаге осуществляется управление степенью сжатия. Задавая матрицу квантования с большими коэффициентами, можно получить больше нулей и, следовательно, большую степень сжатия. В стандарт JPEG включены рекомендованные матрицы квантования, построенные опытным путем:

q = {16, 11, 10, 16, 24, 40, 51, 61,

12, 12, 14, 19, 26, 59, 60, 55,

14, 13, 16, 24, 40, 57, 69, 56,

14, 17, 22, 29, 51, 87, 80, 62, (20)

18, 22, 37, 56, 68, 109, 103, 77,

24, 35, 55, 64, 81, 104, 113, 92,

49, 64, 78, 87, 103, 121, 120, 101,

72, 92, 95, 98, 112, 100, 103, 99}

Матрицы для других степеней сжатия получают путем умножения исходной матрицы на выбранное число gamma.

В блоке «Зигзаг» — сканирование" происходит перевод матрицы размером 8×8 точек в 64-элементный вектор при помощи «зигзаг"-сканирования. Таким образом, начальными элементами вектора являются коэффициенты матрицы, соответствующие низким частотам, а конечными — высоким частотам.

В блоке «RLE» происходит операция свертывания полученного вектора с помощью алгоритма группового кодирования RLE. В результате получаются пары типа <�пропустить, число>, где «пропустить» является количеством пропускаемых нулей, а «число» — значение, которое необходимо поставить в следующую ячейку.

В блоке «сжатие по Хаффману» происходит свертывание получившихся пар кодированием по Хаффману с фиксированной таблицей.

Процесс восстановления изображения в этом алгоритме полностью симметричен.

1.4.2 Вейвлет-преобразование

Вейвлеты представляют собой математические функции, позволяющие анализировать различные частотные компоненты данных. Вейвлеты обладают существенными преимуществами по сравнению с преобразованием Фурье, потому что вейвлет-преобразование позволяет судить не только о частотном спектре сигнала, но также о том, в какой момент времени появилась та или иная гармоника. С их помощью можно легко анализировать прерывистые сигналы, либо сигналы с острыми всплесками. Кроме того, вейвлеты позволяют анализировать данные согласно масштабу, на одном из заданных уровней. Уникальные свойства вейвлетов позволяют сконструировать базис, в котором представление данных будет выражаться всего несколькими ненулевыми коэффициентами. Это свойство делает вейвлеты очень привлекательными для упаковки данных, в том числе видеои аудио-информации. Вейвлеты нашли широкое применение в цифровой обработке изображения, обработке сигналов и анализе данных. Существует два класса вейвлет-преобразований: непрерывные и дискретные. Непрерывное вейвлет-преобразование (CTWT) есть скалярное произведение f (x) и базисных функций

(21)

так что,

(22)

Базисные функции являются вещественными и колеблются вокруг оси абсцисс. Они определены на некотором интервале. Данные функции называются вейвлетами и могут рассматриваться как масштабированные и сдвинутые версии функции-прототипа. Параметр b показывает расположение во времени, а а— параметр масштаба. Большие значения а соответствуют низким частотам, малые — высоким.

Алгоритм вейвлет-преобразования может быть представлен, как передача сигнала через пару фильтров: низкочастотный и высокочастотный. Низкочастотный фильтр выдает грубую форму исходного сигнала. Высокочастотный фильтр выдает сигнал разности или дополнительной детализации.

На практике вейвлет-преобразование должно применяться к сигналам конечной длины. Таким образом, его необходимо модифицировать, чтобы из сигнала конечной длины получать последовательность коэффициентов той же длины.

Алгоритм дискретного вейвлет-преобразования можно представить как субполосное преобразование с фильтрацией и последующим прореживанием в два раза. Так как в данном случае имеется два фильтра Hи G, то банк фильтров — двухполосный и может быть изображен, как показано на рисунке 6.

Рисунок 6 — Схема двухполосного банка фильтров В нижней ветви схемы выполняется низкочастотная фильтрация. В результате получается некоторая аппроксимация сигнала, лишенная деталей — низкочастотная (НЧ) субполоса. В верхней части схемы выделяется высокочастотная (ВЧ) субполоса. Отметим, что при обработке сигналов константа 2^½ всегда выносится из банка фильтров и сигнал домножается на 2. Схема делит сигнал уровня j=0 на два сигнала уровня j=1. Далее, вейвлет-преобразование получается путем рекурсивного применения данной схемы к НЧ части.

В обработке изображений используется двумерное дискретное вейвлет-преобразование, которое представляет собой одномерное вейвлет-преобразование по очереди применяемое к столбцам, а затем к строкам. Можно представить вейвлет-преобразование изображения следующей структурой на основе банков фильтров представленной на рисунке 7.

Рисунок 7 — Вейвлет декомпозиция изображения на основе банков фильтров На этом рисунке НЧНЧ — это низкочастотные составляющая для столбцов и строк, НЧВЧ — низкочастотные составляющие для строк и высокочастотные для столбцов, ВЧНЧ — высокочастотные составляющие для строк и низкочастотные для столбцов, ВЧВЧ — высокочастотные составляющие для строк и столбцов. Можно применить данное преобразование еще раз к низкочастотной составляющей. Таким образом, уровень декомпозиции будет равен 2. Примеры изображений после применения вейвлет-преобразования представлены ниже на рисунке 8(а, б, в).

(а) (б) (в) Рисунок 8а — оригинальное изображение Рисунок 8б — результат декомпозиции первого уровня Рисунок 8в — результат декомпозиции второго уровня.

Сравнение с другими алгоритмами сжатия изображений. Преимущество применения вейвлет-преобразования вместо ДКП (шаг 3 в алгоритме JPEG) состоит в том, что вейвлет-преобразованию подвергается изображение целиком, а не его отдельные фрагменты. Также применение вейвлет-преобразования позволяет реализовать функции предварительного просмотра и масштабирования изображения. В левом верхнем углу преобразованного изображения хранится уменьшенная копия исходного изображения (см. рисунок5). Для реализации режима предварительного просмотра изображения достаточно передать лишь эти данные.

Алгоритм JPEG2000 также использует wavelet-преобразование в качестве базового, но по сравнению с JPEG является более трудоемким в реализации и требует значительно большей вычислительной мощности системы. Производительность предлагаемого алгоритма не отличается от JPEG.

1.4.3 Модифицированный алгоритм сжатия изображений JPEG с использованием вейвлет-преобразования

В модифицированном алгоритме JPEG вместо ДКП использовано дискретное вейвлет-преобразование. В качестве элементной базы рассматривался цифровой сигнальный процессор TMS320VC5510 компании TexasInstruments. Данный микропроцессор обладает высокой производительностью при низком энергопотреблении. Библиотека обработки изображений состоит из более чем 20 подпрограмм, оптимизированных для ядра C55x. Библиотека включает в себя стандартные функции обработки изображений, такие, как сжатие, обработка видеосигнала, машинное зрение и медицинские задачи обработки изображений. В частности, библиотека включает в себя функции, реализующие вейвлет-преобразование, квантование и процедуру сжатия по Хаффману, которые используются в разработанной модификации алгоритма.

Блок-схема программы, реализующей модифицированный алгоритм JPEG, в котором вместо ДКП использовано вейвлет-преобразование, представлена на рисунке 9.

Рисунок 9 — Блок-схема программы После инициализации микропроцессора начинается ожидание команды «старт». После получения команды происходит прием несжатого изображения с камеры в формате RAW размером 640×480 точек. Далее происходят интерполяция RAW в RGB и преобразование цветовых пространств из RGB в YCbCr. К каждой компоненте применяется вейвлет-преобразование. Полученные коэффициенты разбиваются на блоки 8×8 точек, которые квантуются и сжимаются процедурами группового кодирования и кодирования по Хаффману, применяемыми в JPEG. После завершения обработки всех блоков происходит посылка сжатого изображения конечному адресату.

С помощью разработанной программы были сжаты тестовые изображения. Степень сжатия составила 5−10 раз, т. е. меньше, чем при использовании дискретного косинусного преобразования. При замене дискретного косинусного преобразования на вейвлет-преобразование применение группового кодирования перед сжатием по Хаффману не обеспечивает должного сжатия. Это объясняется тем, что при разложении дискретным косинусным преобразованием большинство высокочастотных коэффициентов в матрице 8×8 после квантования равны нулю, что при групповом кодировании дает большой коэффициент сжатия. При использовании вейвлет-преобразования такого эффекта не наблюдается. Матрицы коэффициентов после квантования имеют примерно одинаковые значения, что при групповом кодировании не даёт уменьшения в размере. Степень сжатия можно увеличить путем замены группового кодирования на иной алгоритм сжатия.

В процессе работы алгоритма необходимо хранить в памяти матрицу исходного изображения и матрицу цветовой компоненты, которая обрабатывается в данный момент. Также необходимо зарезервировать область памяти для хранения сжатого изображения. Таким образом, для работы алгоритма необходимо около 800 Кбайт памяти. В микропроцессоре TMS320VC5510 доступно около 300 Кбайт внутренней памяти, поэтому была использована внешняя память SDRAM. Производительность алгоритма составляет 2 кадра в секунду.

1.4.4 JPEG 2000

Вейвлет преобразование нашло применение в методе JPEG 2000.

Метод разработан той же группой экспертов в области фотографии, что и JPEG. К 1997 г. стало ясно, что необходим новый, более мощный стандарт, который и был доработан к 2000 г.

Основные отличия от JPEG:

- лучшее качество изображения при высоких степенях сжатия, заметное уменьшение размеров графики Webкачества, используемой большинством сайтов;

— поддержка кодирования отдельных областей с лучшим качеством: отдельные области изображения критичны для восприятия человеком (глаза на фото) реализуется возможность задать качество в критических областях, сжав остальные области (задний план) сильнее;

— основной алгоритм сжатия заменен на Wavelet: это позволило избавиться от 8 — пиксельной блочности и предложить функцию плавного проявления изображения, активно применяемую в Internet;

для повышения степени сжатия в методе используется алгоритм арифметического сжатия;

— поддержка сжатия без потерь (важно при использовании в медицине и полиграфии);

— поддержка сжатия 1- битовых (двуцветных) изображений (ДКП весьма неэффективен при обработке графики);

— на уровне формата поддерживает прозрачность: не только 1 бит прозрачности, но отдельный канал, что позволяет задавать плавный переход от непрозрачного изображения к прозрачному;

— управление качеством областей изображения.

Конвейер операций, используемый в методе JPEG 2000:

— сдвиг по яркости каждой компоненты перед преобразованием в цветовое пространство YUV для выравнивания динамического диапазона обрабатываемых сигналов;

— преобразование цветового пространства RGBс компонентами, отвечающими за красную R, зеленую G и синюю B составляющие цвета точки, в цветовое пространство YUVс потерей и без потери информации;

— дискретное вейвлет преобразование (DWT) также выполняется двояко — с потерей и без потери информации;

— квантование — коэффициенты квадрантов делятся на число, определяемое потребителем информации, т. е. метод предоставляет возможность гибкого управления степенью потерь — рассчитанные в компрессоре оптимальные коэффициенты квантования передаются в декомпрессор для распаковки;

— сжатие массивов данных производится алгоритмом арифметического сжатия;

— выделение области повышенного качества.

Работы по созданию методов выделения областей повышенного качества ведутся интенсивно. В частности, созданы алгоритмы автоматического выделения лиц на изображении. Проблема качества сжатого изображения важна в средствах мультимедиа (СD — ROM — один раз записано — многократно считывается), в WWW-серверах (10% изображений запрашиваются в 90% случаях — скорость передачи).

В JPEG 2000 используется 1 — битовое изображение — маска, задающее повышение качества в данной области изображения. Поскольку за качество областей отвечают коэффициенты DWTпреобразования во втором, третьем и четвертом квадрантах, маска преобразуется таким образом, чтобы указывать на все коэффициенты, соответствующие областям повышенного качества.

1.4.5 Выводы

Вейвлет-преобразование легло в основу международного стандарта MPEG-4,стандарта на сжатие отпечатков пальцев ФБР, видеокодеков фирмы AnalogDevices, стандарт JPEG-2000.

Между тем, во многих областях можно ожидать существенно лучших результатов за счет использования вейвлетов. Перечислим некоторые из них. Задачи, связанные с предсказанием. Это предсказание курса ценных бумаг на рынке, предсказание землетрясений, прогноз погоды. Вейвлеты успешно применяются в квантовой физике, при изучении строения атома, в лазерной технике. Задачи анализа нестационарных сигналов. Такого рода задачи возникают в медицине (томография, электрокардиография), гидроакустике и других областях. Очистка от шума зашумленных сигналов. Так, ученые Стэнфорда с успехом применили вейвлеты для улучшения звучания старых грампластинок. Задачи, связанные с обнаружением сигнала на фоне помехи, его распознаванием, классификации. Сотрудниками Исследовательской лаборатории ВМС США вейвлеты применялись для обнаружения подводных лодок, для оценки разрушений, произведенных бомбардировками, и для многих других важных военно-прикладных задач.

Наверное, наиболее существенным, особенно с коммерческой стороны, будет применение вейвлетов в цифровой связи. В частности, известны многообещающие результаты по применению вейвлетов в трансмультиплексорах, в системах с широкополосными сигналами. Перспективным является использование вейвлет-пакетов для скрытой связи, а также в системах с многостанционным доступом.

Список возможных и уже состоявшихся успешных применений вейвлетовможно было бы продолжить и дальше. Однако при этом ни в коем случае нельзя полагать, что вейвлеты являются универсальным средством, с помощью которого можно решить любую задачу.

1.5 Применение вейвлет-преобразования к обработке медицинских сигналов и изображений

Некоторые идеи теории вейвлетов появились очень давно. Например, уже в 1910 году А. Хаар опубликовал полную ортонормальную систему базисных функций с локальной областью определения (теперь они называются вейвлетами Хаара). Первое упоминание о вейвлетах появилось в литературе по цифровой обработке и анализу сейсмических сигналов (работы А. Гроссмана и Ж. Морле). В последнее время возникло и оформилось целое научное направление, связанное с вейвлет-анализом и теорией вейвлет-преобразования. Вейвлеты широко применяются для фильтрации и предварительной обработки данных, анализа состояния и прогнозирования ситуации на фондовых рынках, распознавания образов, при обработке и синтезе различных сигналов, например речевых, медицинских, для решения задач сжатия и обработки изображений, при обучении нейросетей и во многих других случаях.

Несмотря на то, что теория вейвлет-преобразования уже в основном разработана, точного определения, что же такое «вейвлет», какие функции можно назвать вейвлетами, насколько мне известно, не существует. Вейвлеты могут быть ортогональными, полуортогональными, биортогональными. Эти функции могут быть симметричными, асимметричными и несимметричными. Различают вейвлеты с компактной областью определения и не имеющие таковой. Некоторые функции имеют аналитическое выражение, другие — быстрый алгоритм вычисления связанного с ними вейвлет-преобразования. Попробуем дать вначале неформальное определение вейвлет-преобразования, а затем — его точное математическое обоснование.

Что это нам дает? Во-первых, мы можем, путем последовательного огрубления (или уточнения) сигнала выявлять его локальные особенности (ударение в речи или характерные детали изображения) и подразделять их по интенсивности. Во-вторых, таким образом обнаруживается динамика изменения сигнала в зависимости от масштаба. Если резкие скачки (например, аварийное отклонение показаний датчика) во многих случаях видны «невооруженным глазом», то взаимодействия событий на мелких масштабах, перерастающие в крупномасштабные явления (так, мощный транспортный поток состоит из движения многих отдельных автомобилей), увидеть очень сложно. И наоборот, сосредоточившись только на мелких деталях, можно не заметить явлений, происходящих на глобальном уровне.

Идея применения вейвлетов для многомасштабного анализа заключается в том, что разложение сигнала производится по базису, образованному сдвигами и разномасштабными копиями функции-прототипа (то есть вейвлет-преобразование по своей сути является фрактальным). Такие базисные функции называются вейвлетами (wavelet), если они определены на пространстве L2® (пространство комплекснозначных функций f (t) на прямой с ограниченной энергией), колеблются вокруг оси абсцисс и быстро сходятся к нулю по мере увеличения абсолютного значения аргумента (рис.10). Оговоримся сразу, что это определение не претендует на полноту и точность, а дает лишь некий «словесный портрет» вейвлета. Таким образом, свертка сигнала с одним из вейвлетов позволяет выделить характерные особенности сигнала в области локализации этого вейвлета, причем чем больший масштаб имеет вейвлет, тем более широкая область сигнала будет оказывать влияние на результат свертки.

Рисунок 10 — Вейвлет «Сомбреро»

Согласно принципу неопределенности, чем лучше функция сконцентрирована во времени, тем больше она размазана в частотной области. При перемасштабировании функции произведение временного и частотного диапазонов остается постоянным и представляет собой площадь ячейки в частотно-временной (фазовой) плоскости. Преимущество вейвлет-преобразования перед, например, преобразованием Габора заключается в том, что оно покрывает фазовую плоскость ячейками одинаковой площади, но разной формы (рисунок 11). Это позволяет хорошо локализовать низкочастотные детали сигнала в частотной области (преобладающие гармоники), а высокочастотные — во временной (резкие скачки, пики и т. п.). Более того, вейвлет-анализ позволяет исследовать поведение фрактальных функций — то есть не имеющих производных ни в одной своей точке.

Рисунок 11 — Фазовая плоскость вейвлет-преобразования Вейвлет-преобразование стремительно завоевывает популярность в столь разных областях, как телекоммуникации, компьютерная графика и биология. Благодаря хорошей приспособленности к анализу нестационарных сигналов (то есть таких, чьи статистические характеристики изменяются во времени) оно стало мощной альтернативой преобразованию Фурье в ряде медицинских приложений. Так как многие медицинские сигналы нестационарны, вейвлетные методы используются для распознавания и обнаружения ключевых диагностических признаков, а также для сжатия изображений с минимальными потерями диагностической информации.

Преобразование Фурье представляет сигнал, заданный во временной области, в виде разложения по ортогональным базисным функциям (синусам и косинусам), выделяя таким образом частотные компоненты. Недостаток преобразования Фурье заключается в том, что частотные компоненты не могут быть локализованы во времени. Это и обуславливает его применимость только к анализу стационарных сигналов.

Большинство медицинских сигналов имеет сложные частотно-временные характеристики. Как правило, такие сигналы состоят из близких по времени, короткоживущих высокочастотных компонентов и долговременных, близких по частоте низкочастотных компонентов.

Для анализа таких сигналов нужен метод, способный обеспечить хорошее разрешение и по частоте, и по времени. Первое требуется для локализации низкочастотных составляющих, второе — для разрешения компонентов высокой частоты.

Есть два подхода к анализу нестационарных сигналов такого типа. Первый — локальное преобразование Фурье (short-time Fourier transform). Следуя по этому пути, мы работаем с нестационарным сигналом, как со стационарным, разбив его предварительно на сегменты (фреймы), статистика которых не меняется со временем. Второй подход — вейвлет-преобразование. В этом случае нестационарный сигнал анализируется путем разложения по базисным функциям, полученным из некоторого прототипа путем сжатий, растяжений и сдвигов. Функция-прототип называется анализирующим, или материнским, вейвлетом (mother-wavelet), выбранным для исследования данного сигнала. Как говорит М. Веттерли, «вейвлеты дают хорошее разрешение по времени и частоте, благодаря чему можно увидеть и лес, и деревья» .

1.5.1 Выявление коронарной болезни сердца

Коронарная болезнь сердца (coronary artery disease, CAD) является основной причиной смерти в индустриально развитых странах. Поэтому раннее выявление CAD считается одним из важнейших направлений кардиологических исследований. Разработано несколько диагностических методов, которые делятся на инвазивные (invasive) и неинвазивные (non-invasive). К инвазивным относятся:

— таллиевый тест, при котором пациенту вводится таллий-201 и делается серия снимков в гамма-лучах;

— катетеризация, при которой через большую артерию к сердцу подводится катетер, из него выпускается краска, поглощающая рентгеновские лучи, после чего проводится рентгеноскопия коронарных артерий.

К неинвазивным методам относятся традиционный осмотр со снятием анамнеза, электрокардиография и эхокардиография (ультразвуковое обследование). В этой статье мы сосредоточимся на двух последних методах.

1.5.2 Турбулентный кровоток

Известно, что турбулентность кровотока является причиной звуков, анализ которых может оказаться очень полезным для раннего выявления сердечных аномалий. Важную информацию содержит и изменчивость частоты сердечных сокращений (Heart Rate Variability, HRV). Перечислим основные особенности этого сигнала. Во временной области сигнал не является ни периодическим, ни полностью случайным. В частотной области он состоит в основном из трех спектральных пиков: высокочастотного (HF) пика вблизи 0,20 Гц, низкочастотного (LF) — около 0,1 Гц, и сверхнизкочастотного (VLF) пика, называемого 1/f-компонентом, поскольку его спектральная амплитуда растет с убыванием частоты.

Предварительные результаты применения вейвлет-анализа к этим сигналам внушают оптимизм. В случае HRV оцифрованный сигнал раскладывается по вейвлет-функциям на нескольких уровнях разрешения. На каждом уровне коэффициенты представляют собой детали, возникающие при переходе из одного масштаба в другой. Регрессионный анализ лог-лог-графиков вариации вейвлетных коэффициентов в зависимости от масштаба указывает на то, что наклон графиков этих сигналов различен у здоровых людей и у людей с множественными коронарными окклюзиями. Аналогичные наблюдения указывают на то, что сигналы диастолического сердечного тона в норме более гладкие, чем у больных. Кроме того, некоторые высокочастотные компоненты диастолического сердечного тона можно, по-видимому, ассоциировать с наличием коронарной болезни сердца.

Недавно F. Yang и W. Liao сообщили о создании теоретической модели сигнала HRV на основе вейвлет-преобразования. Хотя предложенные ими модель и разложение используются для прогнозирования действия гравитации на организм летчика, они легко адаптируются для медицинских целей.

1.5.3 Выявление нерегулярных сердечных сокращений

Многие люди, особенно в пожилом возрасте, иногда ощущают аномальные, или эктопические, желудочковые сокращения, не вызывающие никаких других симптомов. Однако значительное число преждевременных желудочковых сокращений (premature ventricular contractions, PVC’s) может указывать на сердечную ишемию и вести к желудочковой фибрилляции, вызывая иногда острый сердечный приступ. Недавно для выявления эктопических сердечных сокращений и очистки сигнала ЭКГ от шумов были использованы вейвлеты. Эта техника, как и описанная выше, основана на разложении ЭКГ в ряд по вейвлетам на разных масштабах. Аномальные сокращения обычно располагаются на крупных (низкочастотных) масштабах, а нормальные структуры — на более мелких (высокочастотных) масштабах.

Еще одно успешное применение вейвлетной техники относится к вариациям частоты сердечных сокращений. Известно, что временные ряды интервалов между сердечными сокращениями нестационарны и демонстрируют сложное поведение. Типичная особенность такого рода нестационарных сигналов — присутствие «рваных» структур, меняющихся со временем. Вид этих структур на ЭКГ изменяется при наличии сердечных аномалий. P. C. Ivanov и др. сообщают о разработке вейвлетной техники, способной выявлять аномальные структуры на кардиограммах.

1.5.4 Вейвлеты в электроэнцефалографии (ЭЭГ)

Электроэнцефалография — это техника исследования, использующая измерения электрической активности мозга при помощи электродов, помещенных в определенные точки между кожей и черепом. ЭЭГ представляет собой сложный сигнал, статистические свойства которого зависят и от времени, и от места измерения. В этом смысле сигнал ЭЭГ нестационарен, а с динамической точки зрения он обладает хаотическим поведением.

1.5.5 Алкоголь и потомство

Много написано о том, что злоупотребление алкоголем во время беременности может тяжело отразиться на новорожденном, вызывая умственную отсталость и нарушение работы некоторых лицевых нервов. Даже умеренные дозы алкоголя оказывают сильное воздействие: исследования показали, что прием матерью всего одного глотка водки (менее 15 мл алкоголя) может подавить дыхание эмбриона почти на час.

Вейвлет-преобразование уже используется для характеризации изменений в ЭЭГ плода, связанных со степенью развития, возрастом и приемом лекарств. В частности, изучалось влияние морфия на дыхание плода. Применяемая здесь техника вейвлет-анализа называется «поиск совпадения» (matching pursuit). Она предполагает разложение сигнала по вейвлет-функциям с частотно-временными характеристиками, имитирующими соответствующие характеристики сигнала. Согласно предварительным результатам, эта техника работает лучше, чем обычное вейвлет-преобразование или локальное преобразование Фурье. Недавно было предложено применять поиск совпадения для исследования влияния алкоголя на частоту зародышевого дыхания, как во временной, так и в Фурье-области.

1.5.6 ЭЭГ в период приступа

Точное определение анатомического источника электрических разрядов, являющихся следствием апоплексического удара или эпилептического припадка (или же вызывающего эти явления), необходимо для принятия решения о границах хирургического вмешательства у пациентов с тяжелыми формами лекарственно-резистентной частичной эпилепсии. S. Blanco и соавторы продемонстрировали возможности систематического частотно-временного анализа ЭЭГ. Их метод дает точное описание временной эволюции ритма, возникающего при эпилептической активности. Предложенная ими техника в сочетании с анамнезом и визуальным анализом ЭЭГ позволяет определить источник эпилептической активности и отследить ее распространение в мозгу.