Встроенные функции ППП MatLab

/

Министерство образования Российской Федерации Благовещенский государственный педагогический университет Тема: Встроенные функции ППП MatLab

Благовещенск 2004 г.

План

• Введение
• Практикум на языке Matlab
• Заключение
• Литература

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПАКЕТ MATLAB.

Выполнение всех заданий курсового практикума связано с использованием MatLab — высокоэффективного программного обеспечения для научных и инженерных расчетов. Выполняя математические расчеты в программной среде MatLab, пользователь имеет весьма комфортные возможности для решения различных вычислительных задач в областях линейной алгебры общей теории систем, теории информации и обработки сигналов, теорий автоматического и автоматизированного управления и ряда иных дисциплин.

Возможности среды MatLab достаточно гибкие и могут быть значительно расширены за счет использования дополнительного инструментария, так для MATLAB® for Windows (версия 4.0), кроме базового тулбокса Matlab, предусматривается возможность применения и следующих специализированных тулбоксов:

· Signal Processing Toolbox «обработка сигналов» ,

· Optimization Toolbox «оптимизация» ,

· Neural Network Yoolbox «нейронные сети» ,

· Control System Yoolbox" системы управления" ;

· SplineToolbox «сплайны» ;

· SIMULINK (Dynamic System Simulation Software) «программное обеспечение моделирования динамических систем»

Привлекательной чертой среды MatLab является простота и легкость ее адаптации к прикладным задачам конкретного пользователя, который всегда может ввести в программную среду любую свою команду, оператор, функцию или создать собственный toolbox (ящик инструментов). В частности, для выполнения курсовой работы используются как типовые m-файлы, так и оригинальные. Основная цель введения — характеристика программной среды MatLab и ознакомление пользователя с возможностями стандартного интерфейса MATLAB® for Windows (версии 4.0), поскольку выполнение курсовой работы осуществляется с использованием возможностей типовых тулбоксов — Matlab, Signal.

Задачей данной курсовой работы было приобретение начальных навыков работы с системой MatLab и решение поставленных задач.

программный математический matlab интерфейс

Практикум на языке Matlab

При работе в Matlab и при практическом решении задач использовались разнообразные функции и операторы. Среди них: ACOT, PLOT, EIG, CEIL, CUMSUM, BALANCE, MAX, SORT, SUM, MIN, RATS.

Примеры применения этих функций и операторов:

Задание № 1: Построить график функции F (x) при следующих значениях аргумента с шагом.

Шаг заданный при построении графика был 0,01.

ABS — Функция ABS (Х) возвращает абсолютную величину Х. если Х-матрица, то ABS (Х) создаёт матрицу того же размера, элементы которой равны абсолютным значениям соответствующих элементов исходной матрицы.

PLOT — Оператор построения графиков по данным вектора или матрицы. PLOT (X, Y) рисует вектор X против вектора У (Х — аргумент, Уфункция). Если X и Y матрицы, то также вычерчиваются графики, где вектор отображается относительно столбца или строки матрицы.

При этом записывалось это так:

x = -10:0.01:10;

y=acot (x)+2*(x-2).^2-abs (4*x-3);

Warning: Divide by zero.

(Type «warning off MATLAB: divideByZero» to suppress this warning.)

> In C: MATLAB6p5toolboxmatlabelfunacot. m at line 8

plot (x, y);

EIG

Функция EIG (A, B) формирует вектор, содержащий обобщённые собственные значения квадратных матриц A и В.

Выражение [V, D]=E1G (A, B) задает диагональную матрицу D, содержащую обобщенные собственные значения, и матрицу V, столбцы которой содержат соответствующие собственные векторы, причём A*V=B*V*D.

Задание № 2: Найти собственные значения и собственные векторы матриц.

a =

1.0000 1.2000 2.0000

1.2000 1.0000 0.4000

2.0000 0.4000 2.0000

b =

1 -1 2

1 2 1

2 0 3

eig (a, b)

ans =

0.6693

2.0000

2.3307

>>a=[1 1.2 2;1.2 1 0.4;2 0.4 2];

>> [v, d]=eig (a);

>> eig (a)

ans =

— 0.8649

0.9128

3.9521

>> [v, d]=eig (a)

v =

— 0.7780 -0.1099 0.6186

0.3960 -0.8502 0.3470

0.4878 0.5149 0.7049

d =

— 0.8649 0 0

0 0.9128 0

0 0 3.9521

ROUND

Функция ROUND (А). Она возвращает матрицу того же размера, значения элементов которой есть значения элементов исходной матрицы А, округлённые до ближайшего целого.

CEIL (A)

Функция ceil (А). Она возвращает матрицу того же размера, но при этом округляет элементы, А к ближайшему целому числу, но обязательно в сторон плюс бесконечности.

Задание № 3: Округлить элементы к ближайшему целому числу.

Для этого можно использовать функцию round (А). Запись будет иметь вид:

a=[1 1.2 2;1.2 1 0.4;2 0.4 2]; y=round (a)

y =

1 1 2

1 1 0

2 0 2

Для этого можно также использовать и функцию ceil (А).

a =

1.0000 1.2000 2.0000

1.2000 1.0000 0.4000

2.0000 0.4000 2.0000

ceil (a)

ans =

1 2 2

2 1 1

2 1 2

RATS

Функция rats (A) используется для преобразования элементов матрицы, А из вещественной формы записи в форму записи вида рациональной дроби.

Задание № 4: Преобразовать элементы матрицы, А из вещественной формы записи в форму записи вида рациональной дроби. Т. е необходимо преобразовать в форму записи вида рациональной дроби (отношение 2 целых чисел).

Дана матрица:

a=[1 1.2 2;1.2 1 0.4;2 0.4 2]

a =

1.0000 1.2000 2.0000

1.2000 1.0000 0.4000

2.0000 0.4000 2.0000

>> c=rats (a)

c =

1 6/5 2

6/5 1 2/5

2 2/5 2

Задание № 5: Выполнить действия с матрицами (сложение, деление, умножение). Даны матрицы:

a =

3 1 1

1 2 3

— 2 5 -2

b =

1 -1 2

1 2 1

2 0 3

1) Сложение матриц: c=a+b

c =

4 0 3

2 4 4

0 5 1

2) Умножение матриц: c=a*b

c =

6 -1 10

9 3 13

— 1 12 -5

3) Деление матриц:

3.1) правое c=a/b

c =

— 13.0000 -6.0000 11.0000

8.0000 5.0000 -6.0000

9.0000 7.0000 -9.0000

c=b/a

c =

— 0.0577 0.4423 -0.3654

0.3462 0.3462 0.1923

0.2115 0.7115 -0.3269

3.2) левое c=ab

c =

0.1923 -0.6346 0.5385

0.4615 0.0769 0.6923

— 0.0385 0.8269 -0.3077

c=ba

c =

— 31 13 -25

6 -2 6

20 -7 16

CUMSUM — Функция CUMSUM (X) вычисляет кумулятивные суммы компонент X. Если Хвектор, то функция CUMSUM (X) даёт вектор того же размера, n-ый элемент которого является суммой первых n элементов исходного вектора X. Для матрицы X функция CUMSUM (X) даёт матрицу, содержащую кумулятивные суммы для каждого столбца.

Задание № 6: Вычислить кумулятивные суммы для каждого столбца матрицы. Дана матрица вида:

a =

3 1 1

1 2 3

— 2 5 -2

Для вычисления кумулятивной суммы для каждого столбца матрицы используем функцию cumsum (a), которая даёт матрицу, содержащую кумулятивные суммы для каждого столбца. Запись будет иметь вид:

a=[3 1 1;1 2 3;-2 5 -2]; cumsum (a)

ans =

3 1 1

4 3 4

2 8 2

BALANCE.

Оператор BALANCE уравновешивает строки и столбцы матрицы таким образом, чтобы нормы строк и столбцов оказались бы примерно одинаковыми, т. е. была бы улучшена обусловленность исходной матрицы.

[T, Ab]=BALANCE (A) вычисляет линейное преобразование подобия T, такое, что Ab= TA*T. Оператор BALANCE (A) вычисляет сбалансированную матрицуAb.

Задание № 7: Уравновесить строки и столбцы матриц т.о., чтобы нормы строк и столбцов оказались примерно одинаковыми.

a =

3 1 1

1 2 3

— 2 5 -2

>>balance (a)

ans =

3 1 1

1 2 3

— 2 5 -2

MAX — Функция MAX (X) для векторов возвращает максимальный элемент вектора X Для матриц МАХ (Х) — это вектор-строка, содержащий максимальные элементы каждого из столбцов. [Y, I] = МАХ (А) содержит в Y максимальные элементы столбцов матрицы А, а в векторе I содержит индексы этих элементов.

MIN — Функция MIN предназначена для выбора минимального элемента вектора или минимальных элементов в столбцах матрицы.

Задание № 8: Найти максимальный и минимальный элемент матрицы.

a =

3 1 1

1 2 3

— 2 5 -2

Для этого используем функцию max (А) и min (А), функция возвращает максимальный и минимальный элемент матрицы А.

[y, i]=max (a)

y =

3 5 3

i =

1 3 2

[y, i]=min (a)

y =

— 2 1 -2

i =

3 1 3

SORT

Функция SORT (X) сортирует каждый столбец X в возрастающем порядке элементов. [Y, I] = SORT (X) также дает матрицу I, содержащую индексы элементов в исходной матрице (по ним можно определить, где в) находился соответствующий элемент Y). Если X вектор, то Y=Х (I). Когда X комплексная матрица, то элементы сортируются по абсолютной величине.

Задание № 9:Отсортироватькаждый столбец матрицы в возрастающем порядке элементов. Дана матрица вида: a=[3 1 1;1 2 3;-2 5 -2];

Для этого используем функцию sort (А), которая сортирует каждый столбец, А в возрастающем порядке элементов.

sort (a)

ans =

— 2 1 -2

1 2 1

3 5 3

SUM

Функция SUM (X) дня вектора X вычисляет сумму всех его элементов. Для матрицы X функция SUM (X) вычисляет вектор-строку с суммами элементов каждого столбца матрицы X. Выражение SUM (D/AG (X)) вычисляет след матрицы X.

Задание № 10. Вычислить вектор — строку с суммами элементов каждого столбца матрицы.

Дана матрица:

a =

— 13 -8 -3 2 7

0 -1 7 -3 -13

— 13 -8 3 4 -1

— 13 -9 4 -1 -6

— 26 -17 7 3 -7

Для вычисления вектора — строки с суммами элементов каждого столбца матрицы используется функция sum (А), которая для вектора, А вычисляет сумму всех его элементов. Для матрицы, А функция sum (А) вычисляет вектор — строку с суммами элементов каждого столбца матрицы А. Запись будет иметь следующий вид:

a=[-13 -8 -3 2 7;0 -1 7 -3 -13;-13 -8 3 4 -1;-13 -9 4 -1 -6;-26 -17 7 3 -7];

y=sum (a)

y =

— 65 -43 18 5 -20

Задание № 11. Вывести новую матрицу. Даны вектора:

b₁=[-2.8;-26.3;-16.8;-29.1;-45.9]

b₁ =

— 2.8000

— 26.3000

— 16.8000

— 29.1000

— 45.9000

b₂=[-1.8;-26.1;-15.8;-29.77;-46.9]

b₂ =

— 1.8000

— 26.1000

— 15.8000

— 29.7700

— 46.9000

Дана матрица:

a =

— 13 -8 -3 2 7

0 -1 7 -3 -13

— 13 -8 3 4 -1

— 13 -9 4 -1 -6

— 26 -17 7 3 -7

Для добавления вектора b₁ к матрице, А как строки используется запись вида: А₁=[A, b₁]. Для этого нам необходимо транспонировать вектор b₁, т.к. он задан как вектор-столбец.

A₁=[a;b₁']

A₁ =

— 13.0000 -8.0000 -3.0000 2.0000 7.0000

0 -1.0000 7.0000 -3.0000 -13.0000

— 13.0000 -8.0000 3.0000 4.0000 -1.0000

— 13.0000 -9.0000 4.0000 -1.0000 -6.0000

— 26.0000 -17.0000 7.0000 3.0000 -7.0000

— 2.8000 -26.3000 -16.8000 -29.1000 -45.9000

Для добавления вектора b₂ к матрице, А в качестве столбца, используется следующая форма записи:

A₂=[a, b₂]

A₂ =

— 13.0000 -8.0000 -3.0000 2.0000 7.0000 -1.8000

0 -1.0000 7.0000 -3.0000 -13.0000 -26.1000

— 13.0000 -8.0000 3.0000 4.0000 -1.0000 -15.8000

— 13.0000 -9.0000 4.0000 -1.0000 -6.0000 -29.7700

— 26.0000 -17.0000 7.0000 3.0000 -7.0000 -46.9000

SOLVE

При решении этого задания использовалась функция solve, которая производит решение системы нелинейных алгебраических уравнений.

Задание № 12 Решить систему нелинейных алгебраических уравнений.

Дана система уравнений:

В MatLab данная система записывается следующим образом:

[x, y]=solve ('acot (x)+2*(y-2)^2=5','y-abs (4*x-3)=3')

x =

0.64 631 476 499 002 086 763 976 714 092 544

y =

3.4 147 409 400 399 165 778 358 068 838 400

Заключение

Целью данной курсовой работы являлось ознакомление с языком MatLab. Важной особенностью MatLab является то, что предлагается встроенная в язык стандартная поддержка комплексных чисел и матриц. MatLab предлагает также реализацию всех основных численных алгоритмов.

Мы познакомились со многими операторами и функциями данного языка. Среди них ACOT, PLOT, EIG, CEIL, CUMSUM, BALANCE, MAX, SORT, SUM, MIN. Этот язык очень доступен для понимания, он многофункционален и это его преимущество.

Привлекательной чертой среды MatLab является простота и легкость ее адаптации к прикладным задачам конкретного пользователя, который всегда может ввести в программную среду любую свою команду, оператор, функцию или создать собственный toolbox (ящик инструментов).

Он применяется для решения практических задач по математическому и имитационному моделированию динамических систем.

1. Еремин Е. Л. Компьютерное моделирование процессов и систем. Учебное пособие.- Благовещенск: Издательство БГПУ, 2003 г.-128с.

2. Еремин Е. Л. Лабораторно-курсовой практикум по ТОАУ с применением MATLAB for Windows .-Благовещенск: Издательство АмГУ, 2001 г.-142с.

3. Основы математического моделирования. Построение и анализ моделей с примерами на языке MATLAB / Под ред. А. Л. Фрадкова.- С.-Петербург: Издательство БГТУ, 1994 г.