Об «арифметических возможностях» компьютера и «компьютерных возможностях» арифметики

Об «арифметических возможностях» компьютера и «компьютерных возможностях» арифметики

При изучении математики и информатики необходимо акцентировать внимание обучаемых на основные различия действий с числами в обычной, неограниченной («человеческой») и ограниченной («машинной») разрядной сетке, арифметике, которые часто остаются «за кадром». Игнорирование этого может приводить к нежелательным последствиям — вплоть до абсолютизации возможностей компьютера и игнорированию адекватных описаний структур данных и операций с ними (например, проверки чётности числа x условием вида int (x/2)=x/2 и т. д.).

Множество чисел ограниченной разрядности является моделью расширенной числовой прямой, т. е. числовой прямой с тремя абстракциями (потенциальной осуществимости): нуль, положительная бесконечность, отрицательная бесконечность.

Целые числа (в математике) и их аналоги в n — разрядных арифметиках тождественны (по отражаемым им количествам) в рамках их представления в этой разрядности. При этом можно отметить основные отличия представления чисел в поле памяти человека и в поле памяти n — разрядной арифметики (компьютера):

бесконечное и счётное (нумеруемое) множество целых чисел Z представляется отрезком [—N;+N], где N — максимальное число, представимое в этой арифметике (многоточие — общее число единиц равное n): N=(111. .. 1)2;

бесконечное и несчётное множество действительных чисел (—¥ ;+¥), располагающееся на числовой оси равномерно и плотно, представляется в n-разрядной арифметике множеством с неравномерной плотностью (сгущение у нуля и сжатость со стороны меньших чисел);

нуль во множестве действительных чисел R в любой своей окрестности имеет множество чисел, а нуль в n-разрядной арифметике представлен изолированно: в окрестности с радиусом равным наименьшему представимо в этой арифметике числу нет других чисел.

С точки зрения обычной арифметики, например, в интервале (—1;1) имеется бесконечное множество «плотно» расположенных точек, причем в любой окрестности каждой такой точки имеется хотя бы одна точка из этого множества. Такую арифметику называют часто регулярной арифметикой.

Машинная же арифметика нерегулярна — точки интервала сгущаются около нуля. Кроме того, в этом интервале точка х «изолирована» — если взять её любую окрестность (х—а; х+а), где, а — число, которое не превосходит машинного нуля (наименьшего представимого в машине числа), то в этом интервале нет других точек (отличных от х). Говоря языком теории вероятностей, плотности распределения чисел в регулярной и нерегулярной арифметике — различны, как, впрочем, плотности распределения целых и вещественных чисел в одной и той же арифметике. Множество вещественных чисел в машинной арифметике представляется как подмножество множества рациональных чисел, определяемое разрядностью арифметики.

Есть и другие особенности этих множеств (связанные, например, с выполнением операций), но указанные выше особенности — основные.

Различия в представлении чисел в обычной и в машинной (n-разрядной) арифметике ограничивают как «арифметические возможности» компьютера, так и «компьютерные возможности» арифметики, математики, использование математических методов, алгоритмов в компьютерах.

Нужно всегда иметь в виду, что точность в теоретической математике — понятие абстрактное и в практической математике может возникать иллюзия точности там, где её на самом деле нет, — если не произведена достаточно корректная интерпретация научно-практической точности т. е. нет корректной договорённости о пределах возможных значений неизбежных погрешностей в рамках рассматриваемых вычислительных ресурсов, например, трудоёмкости и времени, а также не оговорена стратегия и тактика управления этой погрешностью.

Так как диапазон n-разрядных чисел системы счисления с основанием p находится в пределах |(x)p|£ pn—1, то для представления дробных чисел этот диапазон ещё уменьшается, так как часть разрядов необходимо отвести под изображение мантиссы. Таким образом, имеются так называемые «зоны нечувствительности» форм представления чисел в n-разрядных арифметиках.

В 1937 году немецким учёным Конрадом Цузе (разработавшим, кстати говоря, не только ряд положений арифметических основ цифровых машин, но и прототипы ЦВМ — машины «Ц-1», «Ц-2») для увеличения диапазона чисел, представимых в арифметике двоичных чисел, а также для повышения точности этого представления чисел было предложено представление чисел в плавающей, нормализованной форме.

Число x представляется в нормализованном виде: x=m´ pk, где m — мантисса числа, k — целый порядок числа, p—1£ |m|l). Тогда можно проверить, что результаты выполнения операций будут равны:

x+y=(m+n´ pl—k)´ pk ,.

x—y=(m—n´ pl—k)´ pk ,.

x´ y=(m´ n)´ pk+l ,.

x/y=(m/n)´ pk—l ,.

Если из n разрядов, отводимых под изображение чисел, m двоичных разрядов отвести под мантиссу, k — под порядок, один разряд — под знак числа и один разряд — под знак порядка (например, 0 — плюс, 1 — минус), то диапазон представимых в форме с плавающей запятой чисел резко увеличивается (m+k+2=n):

—(0.111. .. 1)2´ (10)2+(111. .. 1)2£ x£ +(0.111. .. 1)2´ (10)2+(111. .. 1)2.

(многоточие соответствует k единицам).

Числа, меньшие нижней границы положительных чисел и большие верхней границы отрицательных чисел, считаются равными нулю, не различаются между собой. Числа, большие верхней границы положительных чисел полагаются равными положительной бесконечности, а меньшие нижней границы отрицательных — отрицательной бесконечности. Сравнение двух разных по величине чисел в арифметике с ограниченной разрядностью может приводить, поэтому, к неверному результату, как и сравнение двух равных в таких системах чисел с точки зрения математической.

Такое представление очень удобно для хранения в ЭВМ, так как на самом деле необходимо хранить не само число, а его знак, мантиссу, порядок и знак порядка и все операции с числами сводятся к операциям с этими, более «компактными», объектами. Операции с этими объектами достаточно просты: сравнение знаков, увеличение, уменьшение порядка, сложение мантисс, нормализация, т. е. в конечном итоге сводятся к достаточно просто реализуемым операциям сдвига, выравнивания, сравнения разрядов. Это упрощает аппаратную их реализацию и является основой для различных архитектур — микропрограммных, RISC и др.

Пример. В 16-разрядной арифметике двоичных чисел можно представить диапазон целых чисел х: 1—215.