Время отказаfэкс (t)1220,11 307 931 810,0010454522160,9 979 012 940,0008995684160,7 648 304 910,0006922205110,6 740 496 070,0005932556970,5 263 287 150,0005138778520,4 282 799 350,0003835179910,35 599 110 080,00034803210560,32 650 811 500,00028813611510,28 775 411 970,00027067612030,26 852 512 450,0002539365) По полученным значениям функций распределения построим графики: Fусеч (t), Fнорм (t) и Fэксп (t)Как видно из рисунка, наиболее близкой к графику, построенному по опытным значениям, является график плотности распределения для усеченного нормального закона, построенного по аппроксимирующим зависимостям.
6) Величина общей суммы квадрата отклонения между полученной функцией распределения и аппроксимирующими: Время отказа (FопытFэкс).
2(FопытFусеч).
2(FопытFнорм).
21 220,00238820,2 431 480,0024942181810,979 200,009821550,99 849 752 160,02220160,22 190 840,0224739932940,3 964 090,039451160,399 538 314 160,06211820,61 519 450,0624174804910,8 958 510,088611730,898 831 745 110,12202860,120 818 470,1223585516070,15 952 580,157796520,1 598 146 436 970,20202660,199 850 290,2022771427150,24 948 640,247036890,2 497 508 548 520,30202910,299 341 680,3022317689350,35 953 990,356839460,3 597 344 429 910,42203730,419 361 090,42223634210080,48 951 290,486722440,48 972 474 310 560,56201030,559 319 270,56223293911500,63 953 910,637339840,63 977 672 311 510,72201090,719 681 710,72226346411970,80 951 290,807413960,80 978 299 312 030,90198990,899 823 780,90227543812450,99 949 220,997566220,999 795 805.
Сумма 7,16 646 797,132937837,171 463 518.
Таким образом, Sнорм > Sэкс > Sусеч — 7,171 463 518 > 7,1 664 679 > 7,13 293 783, то есть нормальный закон распределения наилучшим образом описывает результаты испытаний, после идет экспоненциальный. Критерий Колмогорова λ = Д x (N)½, где Д — модуль максимального расхождения двух функций (теоретической (аппроксимирующей) и экспериментальной), Nчисло испытаний, в данном случае равен 20. Значения Д приведены в таблице. Время отказа-FопытFэкс—FопытFусеч—FопытFнорм-1220,4 886 920,049310040,49 942 141 810,09895450,99 103 730,099924842160,14 900 210,148965890,149 913 292 940,19910040,198 623 150,199884554160,24 923 520,248031150,249 834 914 910,29930780,297 677 230,299805235110,34 932 590,347589510,349 797 876 070,39940670,397 236 100,399768246970,44 947 370,447046180,449 752 317 150,49948610,497 028 060,499750798520,54 957 170,547121270,549 758 619 350,59961650,597 360 410,599778669910,64 966 440,647580960,6 497 971 610 080,69965190,697 654 900,6998033610560,74 967 350,747876510,7 498 219 411 500,79971190,798 335 670,7998604411510,84 971 220,848340560,8 498 608 511 970,89972930,898 562 160,8998794312030,68 147 500,948590420,9 498 818 012 450,99974610,998 782 370,99989789.
Максимальное расхождение0,9 974 610,998782370,99 989 789.
Как видно из таблицы минимальное расхождение характерно для экспоненциального закона. Найдем критерий Колмогорова, для этого подставим полученное значениемодуля максимального расхождения (см. таблицу) в выше приведенную формулу: λ(Fэкс)= -FопытFэкс- x (N)½ =0,997 461 x (20)½ = 4,46 078; λ(Fусеч)= -FопытFусеч- x (N)½=0,99 878 237 x (20)½ = 4,46 669; λ(Fнорм)= -FопытFнорм- x (N)½ =0,99 989 789 x (20)½ = 4,471 679. Р (λ)норм. = 0,23N (t+Δt) -N (t) 0 249 498 747 996 1245 t7) Следовательно, нормальный закон распределения наилучшим образом описывает результаты испытаний.
Заключение
Проверка на нормальность имеет особое значение. Не секрет, что ошибки измерений, связанные с приборами, построенными на конкретных физических принципах, далеко не всегда описываются нормальным законом [5]. Поэтому следует ожидать, что не всегда измерения контролируемого показателя будут подчиняться нормальному закону. И если так окажется, то применение классического аппарата, используемого при статистическом анализе результатов измерений или при статистическом управлении качеством, может оказаться некорректным. Реальные данные в приложениях (характеристики показателя процесса), как правило, фиксируются с ограниченной точностью, определяемой либо заданием технических условий, либо единицей шкалы измерительного прибора, либо условиями фиксации наблюдения, то есть данные оказываются поразрядно группированными. Это может оказывать серьезное влияние на оценки вычисляемых моментов и значения статистик, а, следовательно, приводить к неверным выводам даже при формировании оценок по выборкам достаточно большого объема. Относительно большинства критериев, регламентированных стандартом, однозначно можно утверждать, что они весьма чувствительны к наличию аномальных наблюдений в связи с использованием оценок вторых, третьих и четвертых центральных моментов: оценки центральных моментов не являются робастными. Это означает, что отклонение гипотезы о нормальности может быть связано с наличием в рассматриваемой выборке аномальных наблюдений. Отсюда следует, что ограничение проверки нормальности использованием только перечня критериев, указанных в стандарте, не всегда обеспечивает корректности выводов о принадлежности (или непринадлежности) выборки нормальному закону. Они не всегда оказываются наиболее мощными.
Недостатком критериев Шапиро-Уилка, Эппса-Палли и критерия со статистикой при малых объемах выборок является то, что они обладают пониженной мощностью по отношению к законам, более плосковершинным по отношению к нормальному (не могут различить). Для проверки нормальности целесообразно рекомендовать применение критерия со статистикой (целесообразно его включение в ГОСТ). Абсолютно не вредно из практических соображений в дополнение использованию рассмотренных критериев проверить принадлежность наблюдаемых данных к нормальному закону с использованием непараметрических критериев согласия и критериев согласия типа .
Список литературы
Большев Л.Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М.:Наука, 1983.
Боровков А. А. Математическая статистика / А. А. Боровков. -.
М.: Наука, 1984. — 472 с.
Боровков А. А. Теория вероятностей / А. А.
Боровков. — М.: Наука, 1976.
— 354 с. Воскобойников Ю. Е. Математическая статистика: учеб. пособие / Ю.
Е. Воскобойников, Е. И. Тимошенко. — Новосибирск: Наука, 1996. -.
99 с. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В. Е. Гмурман. — М.
: Высш. шк., 1979. — 400 с. Гмурман В. Е.
Теория вероятностей и математическая статистика / В. Е. Гмурман. — М.: Высш. шк.,.
1997. — 479 с. Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика: Учеб.
пособие для вузов.М.: Высш. школа, 1984.
Тимошенко Е. И. Теория вероятностей: учеб. пособие / Е. И. Тимошенко, Ю. Е.
Воскобойников. Новосибирск: НГАС, 1998. — 68 с.
