Задачи синтеза оптимальных систем управления

Предмет: Теория Автоматического Управления Тема:

ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Задачи синтеза оптимальных систем управления

Статистический синтез заключается в отыскании и реализации оптимальных в определенном смысле свойств (структуры и параметров) системы по заданным статистическим характеристикам входных воздействий.

Существуют различные методы статистической оптимизации. Рассмотрим задачу, сформулированную Винером-Колмогоровым.

Постановка задачи Винера-Колмогорова.

Дано: x (t) — полезный сигнал; z (t) — помеха; K_и (p) — оператор преобразования.

Рис. 1

Определить: оптимальную передаточную функцию — K₀ (p).

Передаточная функция K₀ (p) должна быть устойчивой и физически реализуемой. Если полезный сигнал — x (t) и помеха — z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем, в противном случае решение находится в классе нелинейных систем.

В зависимости от оператора К_и (р) рассматриваются следующие задачи:

К_и (р) = 1 — воспроизведения;

К_и (р) = 1/р — статистического интегрирования;

К_и (р) = р — статистического дифференцирования;

К_и (р) = - статистического упреждения, экстраполяции, прогнозирования.

Таким образом, задача Винера-Колмогорова решается при следующих предположениях:

Сигнал и помеха представляют собой Гауссовские процессы.

Искомая система должна принадлежать к классу линейных систем.

Критерий оптимальности — минимум средней квадратичной ошибки.

Решение: Определим выражение для средней квадратичной ошибки

Средняя квадратичная ошибка равна

Мы получили некоторый функционал, в котором неизвестно к (). Необходимо найти такое к (), при котором ошибка будет минимальной.

Это задача минимизации функционала: она решается с использованием вариационного анализа.

Пусть

;

где: — оптимальная функция веса;

— приращение.

Подставим это в исходное уравнение для ошибки и получим:

;

где, А — функция, которая не зависит от а; В — функция, которая зависит от а; С — функция, которая зависит от а².

Найдем экстремум по параметру а

к () -оптимально если а = 0 т. е. В = 0.

Откуда можно получить следующее выражение

(1)

Это интегральное уравнение Винера-Хопфа, оптимальная передаточная функция должна удовлетворять этому уравнению.

Решение уравнение Винера-Хопфа.

Строгое решение этого уравнения сложно, решим это уравнение простым путем предложенным Шенноном. Уравнению Винера-Хопфа в частотной области соответствует следующее выражение:

(2)

Откуда

(3)

Но это уравнение физически нереализуемо так как к₀ () = 0 при < 0 т. е. K₀ (j) содержит физически реализуемую и нереализуемую часть.

Для выделения физически реализуемой части воспользуемся свойством формирующего фильтра.

Используя операцию факторизации суммарную спектральную плотность сигнала и помехи можно представить в виде:

(4)

Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части

(5)

где [] ₊ — реализуемая часть; [] - нереализуемая часть.

Определим

Отбросив нереализуемую часть, можно записать следующее выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости:

(6)

Это формула Винера-Колмогорова.

Примеры решений задач

Пример 1. Рассмотрим задачу фильтрации с воспроизведением. Определить оптимальную передаточную функцию — K₀ (p) устойчивой и физически реализуемой системы рис.2).

Дано: Полезный сигнал — X (t) и помеха — Z (t), представляющие собой Гауссовские случайные процессы.

K_и (p) = 1;

Рис. 2

Решение: Так как полезный сигнал — X (t) и помеха — Z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем.

Выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости имеет вид:

Так как сигнал и помеха некоррелированы и K_и (p) = 1, то выражение имеет вид:

Определим К_ф (j)

Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части

При этом

Значения, А и В найдем методом неопределенных коэффициентов

С учетом полученных выражений

При этом передаточная функция представляет аппериодическое звено

Где

Пример 2. Рассмотрим задачу фильтрации с дифференцированием. Определить оптимальную передаточную функцию — K₀ (p) устойчивой и физически реализуемой системы рис. 3.

Дано: Полезный сигнал — X (t) и помеха — Z (t), представляющие собой Гауссовские случайные процессы.

K_и (p) = р;

Рис. 3

Решение: Так как полезный сигнал — X (t) и помеха — Z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем.

Выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости имеет вид:

Так как сигнал и помеха некоррелированны то выражение имеет вид:

Определим К_ф (j)

где

Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части

Где

Значения, А и В найдем методом неопределенных коэффициентов

С учетом полученных выражений

При этом передаточная функция представляет апериодическое звено

где

Гуляев В.И., Баженов В. А., Попов С. Л. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем, 1989.

Меркин Д.Р.

Введение

в теорию устойчивости движения, 1985.

Светлицкий В.А., Стасенко И. В. Сборник задач по теории колебаний, 1973.