Проектирование электронного курса по методам решения задач математической физики в среде Maple

Теорема 2: Предположим, что f непрерывна в замкнутом и ограниченном прямоугольнике D. Пусть u будет непрерывной на D иu = f внутри D. Если, тогда максимальное значение u предполагается на bdry (D).Доказательство: предположим 0 < f. Любая функция, непрерывная в замкнутом и ограниченном множестве в имеет максимум в этом множестве. Поскольку u непрерывна на замкнутом и ограниченном множестве D, она имеет максимум в этом множестве. Предположим, что {} находится внутри D и максимум u приходится на этот участок. Мы надеемся установить противоречие. Мы предполагаем, что max (u) = u (). Это следует из того, что первые составляющие u в {, } нулевые и вторые составляющие не позитивные. Это противоречие по отношению к u = f > 0.

Должно быть, точка достижения максимума не находится внутри D. Единственный возможный вариант это нахождение максимума на границе D. Теперь предположим, что. Мы продемонстрируем правильность утверждения, что u имеет максимальное значение на bdry (D).Пусть (x, y) = u (x, y) + (). Тогда = u + 4 = f + 4. &.

gt; 0 внутри D. Согласно предыдущим результатам, имеет максимум в bdry (D). Пусть этот максимум будет {} и пусть u () = maxu. Тогдаu () < u () + () = = u () + ().Также, так как D ограничено, = 0.

Тогда, u (,) = (u).Вывод в том, что u (lim[ ]) = max (u) и, так как bdry (D) замкнуто, lim[ ] на границе D. КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. На самом деле, этот принцип максимума справедлив для любого обоснованно правильного, ограниченного множества с границами. Концепции могут быть сделаны точными для более общих множеств. Это представляет интерес с научной точки зрения, но мы здесь остановимся. Тем не менее, запомните этот пример, где D является единичным диском. Пример 1. Пусть u удовлетворяет u = 0 на единичном диске с u (1,) = sin (). Тогда u () =. Очевидно, что это u принимает свое максимальное значение на границе единичного диска — на единичной окружности.

Дождитесь следующего модуля, чтобы увидеть, как выразить u в полярной системе координат. Понятие ограниченности важно в результате. Примите во внимание данный пример. Пример 2. Пусть D будет разделять пополам бесконечную полосу с x в [0, ], y > 0, и g (x, y) = sin (x) на границе. Тогдаu (x, y) =. Обратите внимание, что uнеограниченна. Принцип максимума влечет за собой следующее. Этот результат важен для инженеров. Теорема 3: (Продолжительная Зависимость от данных) Пусть D и u будут такие же, как и в Теореме 2. Пусть g будет u на границе D и f будет u внутри D. Существует множество k, такое, которое — u — maxg — + kmax — f -.Доказательство: 0f + maxf- = u + maxf- = (u + () maxf-/4) (и) 0- f + maxf- = - u + maxf- = (- u + () maxf-/4)Согласно Теореме 2, оба u + () maxf-/4 иu + () maxf-/4 предполагают свое максимальное значение на D.

Поскольку D ограничена, пусть k будет выбрано таким, чтобы () 4 k на bdry (D). Тогдаu (x, y) — max (-u- + () maxf-/4) max (-g-) + kmaxf-.КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВАМы обсудим в классе, почему этот предыдущий результат важен для инженеров. Теорема 4: Предположим, что D такое же, как и в Теореме 2, а u и v удовлетворяют тем же УМФ и граничным условиям. Тогда u = v. Свидетельство доказательства: используйте Теорему 3. Пример 3. Мы имеет задачу: = 0. Подтвердите данные решения.> with (linalg):> laplacian (u (x, y),[x, y]);> laplacian (sin (2*x)*sinh (2*y),[x, y]);> laplacian (sin (3*x)*sinh (3*(7-y)),[x, y]);> Модуль 7. Уравнение Лапласа на диске Форма уравнения Лапласа u = 0 естественным образом зависит от того, какая система координат используется.

До сих пор, с декартовой системой координат, оператор Лапласа двумя производными относительно x и y: u = + .Не станет неожиданностью способ того, как записать это в трехмерной системе, вместо двухмерной. Если точка начала координат в рассматриваемой задаче лежит на диске, или кольце, или цилиндре, нередко лучше будет рассматривать задачу в системе полярных координат. При работе с подобным преобразованием стоит помнить, что для того, чтобы перейти от декартовой системы координат к полярной, можно использовать следующее тождественное равенство: x = r cos () and (и) y = r sin (). В этом случае, r = и = arctan (y/x).Для примера возьмите следующие примеры. Мы берем r = 2 и используем пять различных .> r:=2; theta:=[-3*Pi/4,-Pi/2,0,Pi/4,3*Pi/4]; Мы вычисляем последовательность или точки [ rcos (t), rsin (t) ] где t является одним из вышеупомянутых .> map (t->[r*cos (t), r*sin (t)], theta);> Теперь сделаем это иным способом. Мы выберем точки и сделаем r и .(Одной из проблем здесь является то, что arctan (-1/1) и arctan (1/(-1)) не отличаются для функции арктангенса. Тем не менее, точки [-1, 1] и [1, -1] находятся в разных квадрантах. Таким образом, нам либо следует быть внимательными при программировании, либо надеяться, что в «Maple» внесены подходящие процедуры.

Действительно, внесены. Программа вычисляет угол, связанный с комплексным числом a + bI. Таким образом, мы меняем точку [ x, y] на комплексное число x + yI и используем встроенную программу «Maple». Для собственного удовольствия Вы можете создать программу, не использующую встроенные алгоритмы «Maple». Здесь мы назначаем точки и вычисляем r и тета.> pts:=[[-1,-1],[0,-1],[1,-1],[1,1],[-1,1]]; > r:=(x, y)->sqrt (x²+y²);theta:=(x, y)->argument (x+I*y);> seq (r (pts[i][1], pts[i][2]), i=1.5);seq (theta (pts[j][1], pts[j][2]), j=1.5);> > Уравнение Лапласа в системе полярных координат.

Мы хотим доказать уравнение Лапласа в системе полярных координат. Для того, чтобы это сделать предположим, что u (x, y) удовлетворяет уравнению Лапласа. Задайте v (r,) как u (rcos (), rsin ()). Мы используем тот факт, что u = 0 чтобы показать это = 0> restart;> v:=(r, theta)->u (r*cos (theta), r*sin (theta));> diff (r*diff (v (r, theta), r), r)/r+diff (v (r, theta), theta, theta)/r²:> simplify (%);> Мы видим, что эта последняя часть u (rcos (), rsin ()). Предполагаем, что она равна нулю.

Таким образом, мы знаем форму для оператора Лапласа в системе полярных координат. Вотнесколькопримеров.> restart;> LO:=v->diff (r*diff (v (r, theta), r), r)/r+diff (v (r, theta), theta, theta)/r²;> v:=(r, theta)->r*sin (theta);LO (v);> v:=(r, theta)->r^n*cos (n*theta);LO (v);> Какие типичные задачи мы можем решить с помощью данной реализации оператора Лапласа? Как вы могли подумать, это типичная проблема. Вы даже можете попытаться найти решение. Предположим, что мы имеет диск с радиусом 1. Мы ищем поверхность u, которая удовлетворяетu=0 (для) 0< r < 1, — < <. © u (1,) = cos ()(для) — < < .Каково Ваше предположение?> u:=(r, theta)->r*cos (theta);> LO (u);> u (1,theta);Вот изображение поверхности.> with (plots):> cylinderplot ([r, theta, u (r, theta)], r=0.1,theta=0.2*Pi, axes=NORMAL, orientation=[-125,75]);> Мы можем удачно угадать решение, но это маловероятно. Поэтому нам нужно разработать технику для решения задач на диске с радиусом c.

Мы ищем ограниченные решения для уравненийu = 0 with © u (c,) = f (), < .Обратите внимание, что луч не является границей в том значении, в котором ей является круг r = c. Для того, чтобы быть уверенными, что мы не имеем проблем с ложными границами, мы требуем чтобыu (r,) = u (r,) and (и) (r,) = (r, —). Это естественные граничные проблемы той задачи, которую мы описали. Модуль 8. Уравнение теплопроводности на прямоугольнике Мы рассматриваем диффузию тепла в форме длинного луча с прямоугольным поперечным сечением. Предположение, что луч «длинный» для того, чтобы представить математическую концепцию того, что диффузия тепла до точки происходит только от сторон, а концы луча настолько далеки, что тепло, поступающее сверху или снизу, может быть проигнорировано.

Это та же проблема, что и в рассмотрении диффузии тепла в тонкой прямоугольной плите, которая изолирована сверху и снизу. Эти две проблемы приводят к уравнению, подобному следующему:

с граничными условиямиu (t, x, 0) =, u (t, x, b) = u (t, 0, y) =, u (t, a, y) = и начальными условиямиu (0, x, y) = h (x, y).Задача разбивается на две части: стабильная v (x, y) и неустойчивая, w (t, x, y).Задачей стабильного состояния является 0 = с граничными условиями v (t, x, 0) =, v (t, x, b) = v (t, 0, y) =, v (t, a, y) = Ранее мы уже обсудили, как разбить эту задачу на две. Это будут 0 =, с граничными условиямиv1(x, 0) =, v1(x, b) = v1(0, y) =, v1(a, y) = (и) 0 =, с граничными условиямиv2(x, 0) = 0, v2(x, b) = 0, v2(0, y) =, v2(a, y) = .Решение этих двух задач добавлено для того, чтобы получить решение задачи стабильного состоянияv (x, y) = v1(x, y) + v2(x, y).Мы не будем рассматривать подробно вычисление решения задачи стабильного состояния, поскольку ранее мы уже рассмотрели процесс решения уравнения Лапласа на прямоугольнике. Задачей неустойчивого состояния является = с граничными условиями w (t, x, 0) = 0, w (t, x, b) = 0w (t, 0, y) = 0, w (t, a, y) = 0с начальными условиямиw (0, x, y) = h (x, y) — v (x, y).Подумайте о том, почему u (t, x, y) = w (t, x, y) + v (x, y) является решением изначальной задачи. Мы разбиваем последнее УМФ на три обыкновенных дифференциальных уравнения (ОДУ), два из которых имеют граничные условияX '' = - X, Y '' = - Y T ' = - () TX (0) = X (a) = 0 Y (0) = Y (b) = 0. Результатом будет общее решение для неустойчивого состояния в формеw (t, x, y) = Коэффициенты получаются.

ПроверкаМы проверяем то, что предполагается решением УМФ.> u:=(t, x, y)->sum (sum (A[n, m]*sin (n*Pi*x/a)*sin (m*Pi*y/b)*exp (-(n²/a²+m²/b²)*Pi²*t), n=1.3), m=1.3);Вот граничные условия> u (t, 0, y); u (t, a, y);u (t, x,0); u (t, x, b);Вот начальные условия> u (0,x, y);Авот.

УМФ> simplify (diff (u (t, x, y), t)-diff (u (t, x, y), x, x)-diff (u (t, x, y), y, y));Пример

Мы продемонстрируем, как работает анимация подобного реультата. Возьмите следующие граничные условия: u (t, x, 0) = sin (x), u (t, x, 1) = 0u (t, 0, y) = 0, u (t, 1, y) = 0Возьмите следующие начальные условия: u (0, x, y) = sin (x).Сейчас, мы, вероятно, можем сделать стабильное состояние без вычисления интегралов. Ниже приведена формула для стабильного состояния и проверки:> restart;> v:=(x, y)->(sinh (Pi*(1-y)))*sin (Pi*x)/sinh (Pi);> diff (v (x, y), y, y)+diff (v (x, y), x, x);> v (0,y);v (1,y);v (x, 0);v (x, 1);Функция w будет решением неустойчивого состояния. Начальным условием для w является k, приведенная ниже.> k:=(x, y)->sin (Pi*x)-v (x, y);k (0,y);k (1,y);k (x, 0);k (x, 1);Теперь мы вычисляем коэффициенты, как указано выше. Я установил это на выполнение 100 двойных интегралов. Вы можете сделать больше или меньше, в зависимости от мощности вашего компьютера. Суть в том, что k (x, y) не является непрерывной на замкнутом прямоугольнике, составляющим пространство для u. Следовательно, мы не получим высокой точности для u (0, x, y).> for n from 1 to 10 dofor m from 1 to 10 do int (int (k (x, y)*sin (n*Pi*x)*sin (m*Pi*y), x=0.1), y=0.1)/ (int (sin (n*Pi*x)^2,x=0.1)*int (sin (m*Pi*y)^2,y=0.1)):A[n, m]: =evalf (%):od:od:> n:='n'; m:='m';Мы составляем решение для неустойчивого состояния w.> sum (sum (A[n, m]*sin (n*Pi*x)*sin (m*Pi*y)*exp (-(n²+m²)*Pi²*t), n=1.10), m=1.10):> w:=unapply (%,(t, x, y)):Исходя из w и v, готово решение для изначальной задачи.> u:=(t, x, y)->w (t, x, y)+v (x, y);В качестве проверки точности всего этого, u (0, x, y) должна быть равна 1 в данной задаче.> plot3d (u (1/50,x, y), x=0.1,y=0.1,axes=NORMAL);Модуль 9. Двумерная диффузия с граничными условиями Неймана.

В ходе лекции 32 мы рассмотрели граничные условия, называемые Граничными условиями Дирихле. Здесь мы разберем задачу с условиями Неймана, относящиеся к изолированной поверхности в диффузии тепла. Мы проиллюстрируем данную типичную задачу простым примером. Рассматривается задача теплопроводности на прямоугольнике с изоляцией на всех границах и следующими начальными условиями,(t, x,0) = (t, x,1)= 0, (t, 0, y) = (t, 1, y)= 0. Изолированные границы:(t, x,0) = (t, x,1)= 0, (t, 0, y) = (t, 1, y)= 0. u (0, x, y) = x (1-x) y (1-y).Начальные условия u (0, x, y) = x (1-x) y (1-y).Мы выполним следующие задачи: (A) Составим три ОДУ, вместе с граничными условиями, чьи решения приведут к решению данной задачи.(B) Найдем решение для трех ОДУ.© Найдем общее решение для УМФ.(D) Приблизительно рассчитаем частное решение, которое удовлетворит начальным условиям.(E) Сделаем анимированный график решения.(F) Вычислим общее количество тепла в системе за все время. (A.) Вот три ОДУ и граничные условия: X '' + X = 0, X '(0) = X '(1) = 0. Y &# 39;' + Y = 0, Y '(0) = Y '(1) = 0. T &#.

39; + () T = 0. (B.) Решениями этих уравнений являютсяX (x) = cos (n x), Y (y) = cos (m y), T (t) = exp (- () t)(C.) Общим решением УМФ являетсяu (t, x, y) = .Это настолько важный момент, что я проверю приближенное значение суммы.> restart;Здесьопределяется u.> u:=(t, x, y)->sum (sum (A[m, n]*cos (n*Pi*x)*cos (m*Pi*y)*exp (-(n²+m²)*Pi²*t), n=0.4), m=0.4);Здесь проверяются граничные условия.> D[3](u)(t, x,0);D[3](u)(t, x,1);D[2](u)(t, 0, y);D[2](u)(t, 1, y);Здесь проверяется УМФ.> D[1](u)(t, x, y)-D[2,2](u)(t, x, y)-D[3,3](u)(t, x, y); (D.) Мы вычислим некоторые условия частного решения. Значения получаются из двойного интеграла: = .Здесь, h (x, y) = x (1-x) y (1-y). В данном конкретном случае мы можем разбить двойной интеграл на произведение двух интегралов.> x*(1-x)*y*(1-y)=u (0,x, y);> for n from 0 to 4 dofor m from 0 to 4 do A[n, m]: =int (x*(1-x)*cos (n*Pi*x), x=0.1)/int (cos (n*Pi*x)^2,x=0.1)*int (y*(1-y)*cos (m*Pi*y), y=0.1)/int (cos (m*Pi*y)^2,y=0.1);od: od: n:='n'; m:='m';> Для того, чтобы проверить мое решение, я сравниваю изображение начального значения с начальной функцией.> plot3d (u (0,x, y), x=0.1,y=0.1,axes=normal);> plot3d (x*(1-x)*y*(1-y), x=0.1,y=0.1,axes=normal);Обратите внимание на небольшую ошибку вдоль границ.> plot ([u (0,x, 0)], x=0.1,y=0.1); (E.) Вот анимация решения.> with (plots): > animate3d (u (t, x, y), x=0.1,y=0.1,t=0.1/8,axes=normal); (F.) Мы вычисляем общее количество тепла и определяем, что оно равно изначальному общему количеству тепла.> int (int (u (t, x, y), x=0.1), y=0.1);int (int (x*(1-x)*y*(1-y), x=0.1), y=0.1);> Наконец, мы вспоминаем, как сделать преобразование в том случае, если граничные условия не являются однородными. Быстрый обзор решения подобной задачи не будет лишним. Модуль 10. Разогретые сферы Еще одной важной системой координат является сфера.

Она имеет следующие параметры: расстояние от начала координат, угол в плоскости x — y; он измеряет долготу. угол сверху; измеряет широту. Таким образом, = 1, 0 < < 2, 0 < < для сферы с радиусом 1. Соотношения с системой координат следующиеx = sin () cos () y = sin () sin () z = cos ()> restart;> plot3d (1,theta=0.2*Pi, phi=0.Pi, coords=spherical, style=wireframe, axes=NORMAL);Также, = 1, =, 0 < < - это полуокружность от северного до южного полюса сферы. Я обвел жирным, чтобы вы могли увидеть ее. Вы можете поэкспериментировать и установить r равным 1, чтобы увидеть, чего я избежал.> plot3d ([r, Pi/4,phi], r = 1.

1.2,phi=0.Pi, coords=spherical, axes=NORMAL, orientation=[15,75]);> Наконец, = 1, = 49 градусов, определяет часть границ между Западной Канадой и Западными Соединенными Штатами. > В этой системе координат, оператор Лапласа составитu = { + + }Мы решаем 0 = u, u (1, phi) = f (), где u независимо от. Предположение о том, что u (,) = R (), приводит нас к разделению переменных: (R '()) ' / R + (sin () ') '/ sin () = 0. Это позволяет получить обычные дифференциальные уравнения (R '()) ' - R () = 0, 0 < < 1,(sin () ') ' + sin () = 0, 0 < < .Никакое из уравнений не имеет ограничительных условий. У нас есть условие связанности. Во втором уравнении берем x = cos () и видоизменяем уравнение:> restart;> x:=phi->cos (phi);> Phi:=phi->y (x (phi));> diff (sin (phi)*diff (Phi (phi), phi), phi);Отсюда, (sin () ') ' = y ''(x) — 2 sin () cos () y '(x).Второе дифференциальное уравнение примет видy ''(x) — 2 cos () y '(x) + y (x) = 0. При существующих ограничениях x, (1 —) y ''(x) — 2 xy '(x) + y (x) = 0, -1 < x < 1. Проанализируем решения этих дифференциальных уравнений.> restart;> dsolve ((1-x²)*diff (y (x), x, x) — 2*x*diff (y (x), x)+mu²*y (x)=0,y (x));> Заключение.

Современные ЭВМ дали в руки исследователей эффективное средство для математического моделирования сложных задач науки и техники. Именно поэтому количественные методы исследования в настоящее время проникают практически во все сферы человеческой деятельности, а математические модели становятся средством познания. С необходимостью решения крупных научно-технических проблем и распространением ЭВМ связано бурное развитие численных методов и становление новой науки — вычислительной математики. Численными методами решаются многие задачи математической физики, описанные, в частности, интегральными уравнениями, которые применяются практически во всех областях жизни человека. В результате проделанной работы был реализован электронный курс по методикам решения уравнений в частных производных различных типов. Данный электронный курс будет размещен на образовательном портале ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова. В перспективе курс может быть расширен, путем добавления в него новых модулей по недостающим темам. Использовать этот проект смогут как студенты непосредственно для изучения интересующих их тем, так и преподаватели.

Для преподавателей это может быть демонстрационный материал на внутриаудиторных занятиях, материал для дополнительного изучения студентами, источник домашних заданий по решению интегральных уравнений. В рамках дипломной работы использовался пакет Maple, как наиболее распространенный и понятный большинству студентов инструмент. Цель курса — научить решать интегральные уравнения самостоятельно, даже без помощи технических средств, а потому в работе используется Maple, исключительно как вспомогательный инструмент для решения простых, но громоздких операций, тем самым он экономит время и не отвлекает от основной цели курса. По итогу изучения курса студент получит навыки решения интегральных уравнений, которые он проверит решив проверочные задания. Задача, поставленная в дипломной работе достигнута. Библиографический список Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.

«Наука».

Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.

1959.Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М. «Наука».

Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М. «Гостехиздат».

Смирнов В. И. Курс высшей математики, Т.

2., Т.

4.М. «Физматгиз». 1958.

Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.

1985. Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. М. «Мир». 1965.

Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М. Из-во МГУ.

Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М. «Наука».

Годунов С. К. Уравнения математической физики. М. «Наука».

Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М. «ИЛ».

Алексеев Е.Р., Чеснокова О. Р. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9. — М.:НТ Пресс, 2006, 496 с. Васильева А. Б., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. — 2-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. -.

160 с. Голоскоков Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов — СПб.:Питер, 2004, — 539 с. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие. — Киев: Наукова Думка, 1986, 544 с. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Интегральные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями: Учебное пособие. Изд.

3-е, испр. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 192 с. Положение об образовательном портале ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова, 2014.

Канторович Л.В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. 3-е изд. — М., СПб: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950, 696 с.