Геометрические векторы

Дисциплина: Высшая математика Тема: Геометрические векторы

1. Геометрические векторы. Основные определения

В математике, физике, теоретической механике приходится иметь дело с величинами двух типов: одни имеют чисто числовой характер; другие же имеют не только числовую характеристику, но и связаны с понятием о направлении в пространстве. Рассмотрим, например, температуру, массу, энергию, скорость, ускорение, силу. Отличие последних трех величин от первых трех состоит в том, что с ними должно быть связано понятие о направлении. Первые три величины, не связанные с понятием о направлении, называются скалярами. Остальные три величины, имеющие определенное направление, называются векторами.

Так, при измерении температуры, мы получим положительное или отрицательное число, характеризующее ее величину в градусах. Точно так же можно измерить массу, энергию.

Определение 1. Скаляром называется величина, характеризующаяся только числом.

Следовательно, скаляры — это обычные числа, и различие между двумя одинаковыми числами может заключаться лишь в их размерности (м и см, м и кг).

Если необходимо измерить такую величину, как скорость точки, то для этого знать два числа (путь и время) недостаточно. Необходимо еще знать, куда двигается точка, то есть ее направление движения.

Определение 2. Вектором называется величина, характеризующаяся не только численным значением, но и направлением в пространстве.

Следовательно, утверждать, что если обе точки движутся со скоростью 2, то их скорости равны, нет никакого основания. Необходимо знать в какие стороны они двигаются.

Из сказанного следует, что для описания скаляра достаточно написать число и указать его размерность. Для описания векторной величины используют направленные отрезки, длина которых при выбранном масштабе соответствует величине вектора, а направление — совпадает с направлением векторной величины. В дальнейшем эти отрезки и будем называть геометрическими векторами.

При изображении вектора одна точка, ограничивающая вектор, называется началом, а вторая — концом вектора. В конце вектора ставится стрелка. Для краткой записи вектор можно обозначить с помощью двух букв (первая соответствует началу, вторая — концу) или же одной буквы (здесь начало и конец не обозначены).

Определение 3. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем и обозначается или .

Определение 4. Вектор, у которого конец совпадает с началом, называется ноль вектором и обозначается .

Определение 5. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или параллельных прямых. Векторы называются коллинеарными, если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Определение 6. Два вектора и называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и равны по длине.

Записывается это так .

Из определения 6 следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства. При этом каждый новый вектор будет равен исходному.

Однако следует отметить, что все сказанное выше связано с так называемыми свободными векторами. Кроме них существуют еще передвижные и определенные векторы. У свободных векторов точку приложения можно выбирать где угодно. У передвижных — точку приложения можно перемещать вдоль самого вектора (например, сила, приложенная к твердому телу). У определенных векторов точка приложения должна быть зафиксирована (например, сила, действующая на жидкость). Но изучение всех векторов можно, в конечном счете, свести к изучению свободных векторов, поэтому в дальнейшем мы будем заниматься только ими.

2. Простейшие операции над векторами

К простейшим операциям над векторами относится сложение и вычитание векторов и умножение вектора на скаляр. Все эти операции называются линейными.

1) Сложение векторов.

Определение 1. Чтобы найти сумму двух векторов и, необходимо конец вектора совместить с началом. Вектор, соединяющий точки и, будет их суммой.

Обозначается сума следующим образом:. Величину ее можно найти и другим способом. Начала векторов и совмещаются и на них как на сторонах строится параллелограмм. Диагональ параллелограмма и будет суммой векторов.

Из правила параллелограмма видно, что сумма векторов обладает переместительным свойством

.

Если слагаемых больше, например, три:, поступают следующим образом. Строят вначале сумму, а затем, прибавляя, получают вектор .

Из рисунка видно, что тот же результат будет, если сложить вначале, а затем прибавить, то есть сумма векторов обладает сочетательным свойством:

.

Если при сложении нескольких векторов конец последнего совпадает с началом первого, то сумма равна ноль вектору. Очевидно, .

2) Разность векторов.

Определение 2. Разностью двух векторов и называется такой вектор, сумма которого с вычитаемым дает вектор .

Значит, если, то .

Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения разности. Откладываем из общей точки векторы и. Вектор соединяет концы векторов и и направлен от вычитаемого к уменьшаемому.

Видно, что если на векторах и построить параллелограмм, то одна его диагональ соответствует их сумме, а вторая — разности.

3) Умножение вектора на число.

Определение 3. Произведением вектора на число называется вектор, определенный следующими условиями:

1) ;

2) вектор коллинеарен вектору ;

3) векторы и направлены одинаково, если, и противоположно, если .

Очевидно, что операция умножения вектора на число приводит к его растяжению или сжатию. Противоположный вектор можно рассматривать как результат умножения вектора на. Отсюда,

.

Из определения 3 следует, что если, то векторы и коллинеарны. Отсюда вытекает определение коллинеарности векторов.

Определение 4. Любые два вектора и коллинеарны, если связаны соотношением, где — некоторое число.

Величину можно определить из отношения. Оно положительно, если векторы направлены в одну сторону, и наоборот отрицательно, если направление векторов противоположно.

Из построения параллелограмма легко убедиться, что умножение вектора на число обладает распределительным свойством:

;

и сочетательным свойством

.

Определение 5. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.

Обозначаются единичные векторы символами или .

Используя понятие единичного вектора, любой вектор можно представить следующим образом: .

3. Проекция вектора на ось

В процессе выполнения простейших операций иногда приходится сталкиваться с таким понятием, как проекция вектора на какую-либо ось. Введем вначале понятие угла между векторами.

Определение 1. Углом между векторами и называется наименьший угол, на который надо повернуть один из векторов до совмещения со вторым.

Положительным считается отсчет угла против часовой стрелки.

Пусть необходимо найти проекцию вектора на ось. Выберем на оси начало отсчета 0 и масштаб. Совместим с началом отсчета единичный вектор. Тогда угол между и осью будет равен углу между и. Спроецируем начало и конец вектора на ось. Тогда длина отрезка, а. Длина же проекции вектора :

.

Рис. 1

Определение 2. Проекцией вектора на ось называется разность между координатами проекций конца и начала вектора на ось .

Очевидно, что если — острый угол, проекция положительна; если — тупой угол, то отрицательна; если, то проекция равна нулю.

Теорема 1. Проекция вектора на ось равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между ними:

.

Доказательство теоремы вытекает из Рис. 1.

Теорема 2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Доказательство. Пусть. Обозначим проекцию точки через, точки — через, точки — через .

Тогда

;; .

Но

.

Теорема 3. Если вектор умножить на число, то его проекция на ось умножится на то же число.

Докажем для случая :

.

Если, то

.

Артамонов Вячеслав Введение в высшую алгебру и аналитическую геометрию. Изд-во: Факториал, Факториал Пресс, 2007. — 128с.

Ефимов Н. В. Высшая геометрия. Издательство: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. — 584c.

Клейн Ф. Высшая геометрия. изд. — 2. Издательство: Едиториал УРСС, 2004. — 400c.

Клейн Ф., Феликс Христиан Клейн Высшая геометрия: Пер. с нем. Изд.3. ЛИБРОКОМ, 2009. — 400c.