Динамика вращения твердого тела на примере диска и шара радиусом R

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ,

МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Курсова робота

з дисципліни фізика

на тему: «Динаміка обертання твердого тіла на прикладі диска та шара радіусом R»

Вступление Глава 1. Динамика вращения твёрдого тела

1.1 Теорема Гюгенса-Штейнера

1.2 Момент инерции диска

1.3 Момент инерции шара Глава 2. Определим момент инерции шара и диска

2.1 Момент инерции шара радиусом R

2.2 Момент инерции диска радиусом R

Вывод Список использованной литературы

Вступление

Теорема Гюйгенса — Штейнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса).

Якоб Штейнер — швейцарский математик, основатель синтетической геометрии кривых линий и поверхностей 2-го и высших порядков. Получил образование в Инфертене у Песталоцци, в 1818 г. Поступил в Гейдельбергский университет. Окончив там образование, в 1821 г., поступил в Берлине учителем в частный институт Пламанна.

С 1825 по 1835-й годы был учителем математики в берлинском городском промышленном училище. С 1835 г. начал преподавание в Берлинском университете в качестве экстраординарного профессора математики. В 1834 г. был избран членом берлинской академии наук.

Умирая в 1863 г. в Берне, он завещал 8000 талеров берлинской академии наук для премии за сочинения по синтетической геометрии. Его собственные работы по геометрии, частью помещенные в различных научных журналах, частью оставшиеся в рукописях, а также его лекции в берлинском университете послужили основанием для издания в 1867 г. книги под заглавием: «Jacob Steiner’s Vorlesungen ьber Syntetische Geometrie, bearbeitet von Geiser und Schrцter» .

Все его сочинения («Gesammelte Werke von Jacob Steiner») изданы Вейерштрассом в Берлине в 1881/2 г.

Гюйгенс родился в Гааге. Отец его Константин Гюйгенс (Хёйгенс), тайный советник принцев Оранских, был замечательным литератором, получившим также хорошее научное образование. Молодой Гюйгенс изучал право и математику в Лейденском университете, затем решил посвятить себя науке.

Вместе с братом он усовершенствовал телескоп, доведя его до 92-кратного увеличения, и занялся изучением неба. Первая известность пришла к Гюйгенсу, когда он открыл кольца Сатурна (Галилей их тоже видел, но не смог понять, что это такое) и спутник этой планеты, Титан.

В 1657 году Гюйгенс получил голландский патент на конструкцию маятниковых часов. В последние годы жизни этот механизм пытался создать Галилей, но ему помешала прогрессирующая слепота. Часы Гюйгенса реально работали и обеспечивали превосходную для того времени точность хода. Центральным элементом конструкции был придуманный Гюйгенсом якорь, который периодически подталкивал маятник и поддерживал незатухающие колебания. Сконструированные Гюйгенсом точные и недорогие часы с маятником быстро получили широчайшее распространение по всему миру.

В 1665 году по приглашению Кольбера поселился в Париже и был принят в число членов Академии наук. В 1666 году по предложению того же Кольбера становится её первым президентом. Гюйгенс руководил Академией 15 лет.

В 1673 году под названием «Маятниковые часы» выходит исключительно содержательный труд по кинематике ускоренного движения. Эта книга была настольной у Ньютона, который завершил начатое Галилеем и продолженное Гюйгенсом построение фундамента механики.

1681 год: в связи с намеченной отменой Нантского эдикта Гюйгенс, не желая переходить в католицизм, вернулся в Голландию, где продолжил свои научные исследования.

динамика вращение инерция шар диск

Глава 1. Динамика вращения твёрдого тела

Рассмотрим вращательное движение твердого тела относительно неподвижной и проходящей через него оси. Разобьем это тело на множество элементарных частей, масса каждой из которых равна Дmi и радиус вращения равен ri. Кинетическая энергия i-ой частицы равна:

(1.1)

Кинетические энергии различных частиц различны, так как различны их линейные скорости. Чтобы рассчитать полную энергию вращательного движения твердого тела, необходимо просуммировать энергии всех его элементов:

(1.2)

или

(1.3)

Поскольку угловая скорость щ одинакова для всех элементов тела, ее можно вынести за знак суммы:

(1.4)

Величина I называется моментом инерции твердого тела. Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции частиц, составляющих это тело. Тогда формула для кинетической энергии вращательного движения твердого тела примет вид:

1.1 Теорема Гюйгенса-Штейнера

(1.5)

Согласно теореме Штейнера, момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:

; (1.6)

Где

dрасстояние между осями;

— момент инерции тела относительно оси, проходящий через центр масс, который определяется:

; (1.7)

Так как б=R, то момент инерции относительно оси проходящей через т. А определяется:

(1.8)

1.2 Момент инерции диска

Дифференциал массы равен моменту инерции этого кольца:

(1.9)

Рис. 1.1

Тогда масса кольца определяется:

(1.10)

Дифференциал момента инерции равен моменту инерции этого кольца:

(1.11)

Отсюда следует:

(1.12)

Момент инерции диска равен:

(1.13)

1.3 Момент инерции шара

Разобьём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

(1.14)

Рис. 1.2

Масса и момент инерции такого диска составят

(1.15)

(1.16)

Момент инерции сферы найдём интегрированием:

(1.17)

Глава 2. Определение момента инерции шара и диска

2.1 Момент инерции шара

Дан шар, радиусом R. Найти момент инерции шара, произвольной массой.

Дано:

Произведём подстановку числовых значений и получили таблицу (2.1) :

Зависимость момента инерции шара от массы и радиуса

Таб. (2.1.)

Вывод: из формулы (2.1.) видно, что момент инерции шара пропорционален произведению массы шара на квадрат его радиуса.

2.2 Момент инерции диска

Дан диск произвольной массой и радиусом. Найти момент инерции диска.

Дано:

Произведём подстановку числовых значений и получили таблицу (2.2) :

Зависимость момента инерции диска от массы и радиуса

Таб.(2.2.)

Вывод: из формулы (2.2.) видно, что момент инерции шара пропорционален произведению массы шара на квадрат его радиуса, деленному пополам.

Вывод

Из проведённой работы стало видно, что момент инерции всегда зависит от массы тела и его геометрических характеристик, в частности радиуса. По полученным результатам (таблица 2.1 и таблица 2.2) построим графическую зависимость :

Рис. 2.1.

На основании рис. 3.1. можно сделать вывод, что момент инерции диска больше чем шара при одинаковых характеристиках .

Cписок использованной литературы

1. Савельев И. В. «Курс общей физики»

2. Трофимова Т. И. «Курс физики»

3. Яворский Б. М., Пинтов А. А. «Основы физики»

4. Волькенштейн «Сборник задач по общему курсу физики»

5. Чертов А. Г. «Задачник по физике»

6. А. А. Пинский «Задачи по физике»

7. http://www.physics.ru

8. http://ru.wikipedia.org