Дискретное преобразование Фурье

Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники Кафедра Электронных вычислительных средств Отчет по лабораторной работе

" Дискретное преобразование Фурье"

Выполнила:

Студентка гр. 610 701

Лыпка Ю.А.

Проверил: Родионов М. М.

Минск 2009

1. Цель работы Программирование дискретного преобразования Фурье в пакете Matlab. Изучение свойств ДПФ.

2 Выполнение заданий.

Задание 1−2

Разработайте функцию DFT, вычисляющую ДПФ от входного вектора, не используя функцию Matlab FFT, и рисующую графики действительной и мнимой частей входного вектора и результата преобразования, а также амплитудный спектр.

clear all;

close all;

clc;

n = 0:99;

k=(2*pi/length (n)).*n

s = (n >= 0) & (n <= 9);

figure (1);

subplot (221);

stem (n, real (s),'x');

title ('Re (s (n))');

subplot (222);

stem (n, imag ((s)),'x');

title ('Im (s (n))');

subplot (223);

stem (k, abs (dft (s)),'x');

xlabel ('omega');

title ('|S (k)|');

subplot (224);

stem (k, abs (dft (s)),'x');

title ('|S (k)| cherez fft');

xlabel ('omega');

Рисунок 1 — Реальная и мнимая часть входного вектора, амплитудный спектр.

Задание 3

Исследуйте свойства симметрии ДПФ при следующих входных сигналах: действительном; мнимом; действительном четном; мнимом четном; действительном нечетном; действительном симметричном четном. Длину входного вектора выберите в соответствии с вариантом 2: N=35.

clear all;

%% 3 zadanie

N = 35;

n = 0:2*pi/N:2*pi;

figure;

subplot (311);

x = sin (n) + cos (n); % действительный входной сигнал

plot (n, x,'x');

title ('real signal');

xlabel ('n');

ylabel ('Re (x)');

subplot (312);

plot (n, real (fft (x)));

title ('real part of real signal');

xlabel ('n');

ylabel ('Re (x)');

subplot (313);

plot (n, imag (fft (x)));

title ('image part of real signal')

xlabel ('n');

ylabel ('Im (x)');

Рисунок 2 — Real, image часть действительного входного сигнала

figure;

subplot (311);

x = j*(sin (n) + cos (n)); % мнимый входной сигнал

plot (n, imag (x),'x');

title ('image signal')

xlabel ('n');

ylabel ('Im (x)');

subplot (312);

plot (n, real (fft (x)));

title ('real part of image signal');

xlabel ('n');

ylabel ('re of Im (x)');

subplot (313);

plot (n, imag (fft (x)));

title ('image part of image signal');

xlabel ('n');

ylabel ('Im of Im (x)');

Рисунок 3 — Real, image часть мнимого входного сигнала

figure;

subplot (311);

x = cos (n); % действительный чётный сигнал

plot (n, x,'x');

title ('real even signal');

xlabel ('n');

ylabel ('Re (s)');

subplot (312);

plot (n, real (fft (x)));

title ('real part of real even signal');

xlabel ('n');

ylabel ('Re of Re (x)');

subplot (313);

plot (n, imag (fft (x)));

title ('Image part of real even signal');

xlabel ('n');

ylabel ('Im of Re (s)');

Рисунок 4 — Real, image часть действительного четного входного сигнала

figure;

subplot (311);

x = j*cos (n); % мнимый чётный сигнал

plot (n, imag (x),'x')

title ('image even signal');

xlabel ('n');

ylabel (' Even Im (x)');

subplot (312);

plot (n, real (fft (x)));

title ('real part of image even signal');

xlabel ('n');

ylabel ('Re of Even Im (x)');

subplot (313);

plot (n, imag (fft (x)));

title ('Image part of image even signal');

xlabel ('n');

ylabel (' Im of Even Im (x)');

Рисунок 5 — Real, image часть мнимого четного входного сигнала

figure;

subplot (311);

x = sin (n); % действительный нечётный сигнал

plot (n, x,'x');

title ('real odd signal')

xlabel ('n');

ylabel ('Re odd (x)');

subplot (312);

plot (n, real (fft (x)));

title ('real part of real odd signal');

xlabel ('n');

ylabel ('Re of Re (x)');

subplot (313);

plot (n, imag (fft (x)));

title ('image part of real odd signal')

xlabel ('n');

ylabel ('Im of Re (s)');

Рисунок 6 — Real, image часть мнимого нечетного входного сигнала

figure;

subplot (311);

n = -N/2:N/2;

x = n.^2; % действительный симметричный сигнал

plot (n, x,'x');

title ('real symmetrical signal');

xlabel ('n');

ylabel ('Re (x)');

subplot (312);

plot (n, real (fft (x)));

title ('real part of real symmetrical signal');

xlabel ('n');

ylabel ('Re of Re (x)');

subplot (313);

plot (n, imag (fft (x)));

title ('Image part of real symmetrical signal');

xlabel ('n');

ylabel ('Im Of Re (x)');

Рисунок 7 — Real, image часть действительного симметричного входного сигнала

Задание 4

Разработайте функцию, позволяющую с помощью ДПФ формировать вектор, содержащий целое число периодов заданной функции. Длину выходного вектора, число периодов и функцию выберите в соответствии с вариантом 2: функция = - cos (x), длинна 90, число периодов 4.

function [x] = cosinus (leng, period);

%генерация функцииcos (x) длиной leng и числом периодов period

X = zeros (1,leng);%инициализируем нулями наш Фурье образ

X (period+1) = (leng-1)/2;%

X (leng-period + 1)= (leng-1)/2;

x = ifft (X);

figure;

Period = 4;

LengV = 90;

stem (cosinus (LengV, Period));

title ('Functioncos (x)');

Рисунок 8 — Преобразование Фурье функцииcos (x)

Задание 5

Разработайте функцию, вычисляющую ДПФ для двух действительных векторов одной длины с помощью однократного вызова функции Matlab FFT. Продемонстрируйте ее работу.

%% 5 zadanie

N = 40;

n = 0: N-1;

k=(2*pi/length (n)).*n

x1 = cos (k);

x2 = sin (k);

x = real (x1) + j*real (x2);

y = fft (x);

y (N + 1) = y (1);

for k = 1: N+1

re1(k) = 0.5*(real (y (k)) + real (y (N — k + 2)));

im1(k) = 0.5*(imag (y (k)) — imag (y (N — k + 2)));

re2(k) = 0.5*(imag (y (k)) + imag (y (N — k + 2)));

im2(k) = 0.5*(real (y (N — k + 2)) — real (y (k)));

end;

y1 = re1 + j*im1;

y2 = re2 + j*im2;

subplot (221);

stem (0:N, real (y1));

title ('real y1');

subplot (222);

stem (0:N, imag (y1));

title ('imag y1');

subplot (223);

stem (0:N, real (y2));

title ('real y2');

subplot (224);

stem (0:N, imag (y2));

title ('imag y2');

Рисунок 9 — ДПФ для двух действительных векторов х1 и х2

Вывод по работе При выполнении лабораторной работы мы ознакомились с дискретным преобразованием Фурье, его свойствами и реализацией. В ходе работы были исследованы свойства ДПФ при различных входных сигналах, применено обратное преобразование Фурье при генерации периодической функции косинуса, а также показана возможность вычисления ДПФ двух действительных векторов одинаковой длинны, с помощью однократного вызова функции ДПФ.