Стратегическое планирование машинных экспериментов с моделями систем

Применяя системный подход к проблеме планирования машинных экспериментов с моделями систем, можно выделить две составляющие планирования: стратегическое и тактическое планирование [46].

Стратегическое планирование ставит своей целью решение задачи получения необходимой информации о системе 5 с помощью модели М_м, реализованной на ЭВМ, с учетом ограничений на ресурсы, имеющиеся в распоряжении экспериментатора. По своей сути стратегическое планирование аналогично внешнему проектированию при создании системы 5, только здесь в качестве объекта выступает процесс моделирования системы.

Тактическое планирование представляет собой определение способа проведения каждой серии испытаний машинной модели А/_м, предусмотренных планом эксперимента. Для тактического планирования также имеется аналогия с внутренним проектированием системы 5, но опять в качестве объекта рассматривается процесс работы с моделью М_м.

Проблемы стратегического планирования.

При стратегическом планировании машинных экспериментов с моделями систем возникает целый ряд проблем, взаимно связанных как с особенностями функционирования моделируемого объекта (системы 5), так и с особенностями машинной реализации модели М_и и обработки результатов эксперимента. В первую очередь к таким относятся проблемы построения плана машинного эксперимента; наличия большого количества факторов; многокомпонентной функции реакции; стохастической сходимости результатов машинного эксперимента; ограниченности машинных ресурсов на проведение эксперимента.

Рассмотрим существо этих проблем, возникающих при стратегическом планировании машинных экспериментов, и возможные методы их решения. При построении плана эксперимента необходимо помнить, что целями проведения машинных экспериментов с моделью М_м системы 5 являются либо получение зависимости реакции от факторов для выявления особенностей изучаемого процесса функционирования системы 5, либо нахождение такой комбинации значений факторов, которая обеспечивает экстремальное значение реакции. Другими словами, экспериментатору на базе машинной модели М_и необходимо решить либо задачу анализа, либо задачу синтеза системы 5 [7, 17, 33, 46].

Очевидно, что при реализации полного факторного плана различия между машинными экспериментами для достижения той или иной цели стираются, так как оптимальный синтез сводится к выбору одного из вариантов, полученного при полном факторном анализе. Но полный факторный эксперимент эквивалентен в этом случае полному перебору вариантов, что нерационально с точки зрения затрат машинных ресурсов. Для более эффективного (с точки зрения затрат машинного времени и памяти на моделирование) нахождения оптимальной комбинации уровней факторов можно воспользоваться выборочным методом определения оптимума поверхности реакции (систематическая или случайная выборка), методы систематической выборки включают в себя факторный (метод равномерной сетки), одного фактора, предельного анализа, наискорейшего спуска. Выбор того или иного метода рационально проводить на основе априорной информации о моделируемой системе 5.

Другая специфическая проблема стратегического планирования машинных экспериментов — наличие большого количества факторов. Это одна из основных проблем реализации имитационных моделей на ЭВМ, так как известно, что в факторном анализе количество комбинаций факторов равно произведению числа значений всех факторов эксперимента. Например, если число факторов ?=10 и имеется два значения каждого фактора, т. е. q^=2_y то полный факторный анализ потребует моделирования 2* = 2¹⁰= 1024 комбинаций. Если факторы х_ь /=1, ?, являются количественными, а реакция у связана с факторами некоторой функцией ф, то в качестве метода обработки результатов эксперимента может быть выбран регрессионный анализ. Когда при моделировании требуется полный факторный анализ, то проблема большого количества факторов может не иметь решения. Достоинством полных факторных планов является то, что они дают возможность отобразить всю поверхность реакции системы, если количество факторов невелико. Эффективность этого метода существенно зависит от природы поверхности реакции.

Так как полные факторные планы изучения даже достаточно простых моделей приводят к большим затратам машинного времени, то приходится строить неполные факторные планы, требующие меньшего числа точек, приводя при этом к потере допустимого количества информации о характере функции реакции. В этом случае рациональный подход — построение плана эксперимента исходя из поверхности реакции (план поверхности реакции), что позволяет по сравнению с факторными планами уменьшить объем эксперимента без соответствующих потерь количества получаемой информации. Методы поверхности реакции позволяют сделать некоторые выводы из самых первых экспериментов с машинной моделью М_м. Если дальнейшее проведение машинного эксперимента оказывается неэкономичным, то его можно закончить в любой момент. Наконец, эти методы используются на начальном этапе постановки эксперимента для определения оптимальных условий моделирования исследуемой системы 5.

Следующей проблемой стратегического планирования машинных экспериментов является многокомпонентная функция реакции. В имитационном эксперименте с вариантами модели системы 5 на этапе ее проектирования часто возникает задача, связанная с необходимостью изучения большого числа переменных реакции. Эту трудность в ряде случаев можно обойти, рассматривая имитационный эксперимент с моделью по определению многих реакций как несколько имитационных экспериментов, в каждом из которых исследуется (наблюдается) только одна реакция. Кроме того, при исследовании системы 5 часто требуется иметь переменные реакции, связанные друг с другом, что практически приводит к усложнению планирования имитационного эксперимента. В этом случае рационально использовать интегральные оценки нескольких реакций, построенные с использованием весовых функций, функций полезности и т. д. [10, 18, 21, 46].

Существенное место при планировании экспериментов с имитационными моделями, реализуемыми методом статистического моделирования на ЭВМ, занимает проблема стохастической сходимости результатов машинного эксперимента. Эта проблема возникает вследствие того, что целью проведения конкретного машинного эксперимента при исследовании и проектировании системы 5 является получение на ЭВМ количественных характеристик процесса функционирования системы 5 с помощью машинной модели М_м. В качестве таких характеристик наиболее часто выступают средние некоторых распределений, для оценки которых применяют выборочные средние, найденные путем многократных прогонов модели на ЭВМ, причем чем больше выборка, тем больше вероятность того, что выборочные средние приближаются к средним распределений. Сходимость выборочных средних с ростом объема выборки называется стохастической сходимостью.

Основной трудностью при определении интересующих характеристик процесса функционирования системы 5 является медленная стохастическая сходимость. Известно, что мерой флуктуаций случайной величины служит се нестандартное отклонение. Если о — стандартное отклонение одного наблюдения, то стандартное отклонение среднего N наблюдений будет равно оД/#. Таким образом, для уменьшения случайной ошибки в К раз требуется увеличить объем выборки в К? раз, т. е. для получения заданной точности оценки может оказаться, что объем необходимой выборки нельзя получить на ЭВМ из-за ограничения ресурса времени и памяти.

Медленная стохастическая сходимость в машинных имитационных экспериментах с заданной моделью М_м требует разработки специальных методов решения этой проблемы. Необходимо учитывать, что в машинном эксперименте после того, как модель сформулирована, включение дополнительных факторов для повышения точности невозможно, так как это потребует изменения конструкции модели М_и. Основная идея ускорения сходимости в машинных экспериментах со стохастическими моделями состоит в использовании априорной информации о структуре и поведении системы 5, свойствах распределения входных переменных и наблюдаемых случайных воздействий внешней среды Е. К методам ускорения сходимости относятся методы регрессионной выборки, дополняющей переменной, расслоенной выборки, значимой выборки [10, 18, 21, 46].

Переходя к рассмотрению проблемы ограниченности машинных ресурсов на проведение экспериментов с моделью системы 5, необходимо помнить о том, что построение плана эксперимента с использованием различных подходов, рассмотренных в § 6.1, позволяет решить проблему стратегического планирования только с теоретической точки зрения. Но при планировании машинных экспериментов на практическую реализуемость плана существенное влияние оказывают имеющиеся в распоряжении экспериментатора ресурсы. Поэтому планирование машинного эксперимента представляет собой итерационный процесс, когда выбранная модель плана эксперимента проверяется на реализуемость, а затем, если это необходимо, вносятся соответствующие коррективы в исходную модель [46].

Этапы стратегического планирования. Применяя системный подход к проблеме стратегического планирования машинных экспериментов, можно выделить следующие этапы: 1) построение структурной модели; 2) построение функциональной модели. При этом структурная модель выбирается исходя из того, что должно быть сделано, а функциональная — из того, что может быть сделано.

Структурная модель плана эксперимента характеризуется числом факторов и числом уровней для каждого фактора. Число элементов эксперимента.

где к — число факторов эксперимента; q_i — число уровней /-го фактора, 1=1, к. При этом под элементом понимается структурный блок эксперимента, определяемый как простейший эксперимент в случае одного фактора и одного уровня, т. е. к= 1, 1, Л^_с= 1.

Вопрос о виде и числе необходимых факторов следует рассматривать с различных точек зрения, причем основной является цель проводимого машинного эксперимента, т. е. в первую очередь решается вопрос о тех реакциях, которые надо оценить в результате эксперимента с машинной моделью М_м системы 5. При этом надо найти наиболее существенные факторы, так как из опыта известно, что для большинства систем 20% факторов определяют 80% свойств системы Я, а остальные 80% факторов определяют лишь 20% ее свойств [46].

Следующий шаг в конструировании структурной модели плана состоит в определении уровней, на которых следует устанавливать и измерять каждый фактор, причем минимальное число уровней фактора, не являющегося постоянным, равно двум. Число уровней следует выбирать минимальным, но достаточным для достижения цели машинного эксперимента. При этом надо помнить, что каждый дополнительный уровень увеличивает затраты ресурсов на реализацию эксперимента на ЭВМ.

Анализ результатов существенно упрощается, если уровни равно отстоят друг от друга, т. е. ортогональное разбиение упрощает определение коэффициентов аппроксимации. Можно получить значительные аналитические упрощения, если принять число уровней всех факторов одинаковым. Тогда структурная модель будет симметричной и примет вид где q=qb /= 1, к.

Функциональная модель плана эксперимента определяет количество элементов структурной модели #ф, т. е. необходимое число различных информационных точек. При этом функциональная модель может быть полной и неполной. Функциональная модель называется полной, если в оценке реакции участвуют все элементы, т. е. Аф=#_с, и неполной, если число реакций меньше числа элементов, т. е. < ЛГ_С. Основная цель построения функциональной модели — нахождение компромисса между необходимыми действиями при машинном эксперименте (исходя из структурной модели) и ограниченными ресурсами на решение задачи методом моделирования.

Для более быстрого нахождения компромиссного решения можно при предварительном планировании машинного эксперимента использовать номограмму, построенную при варьировании числа факторов к, числа уровней факторов q, повторений эксперимента р, а также затрат времени на прогон модели т и стоимости машинного времени с. Вид такой номограммы показан на рис. 6.4, причем при ее построении предполагалось, что полное число прогонов, необходимых при симметрично повторяемом эксперименте,.

Рассмотрим особенности пользования такой номограммой на примерю.

Пример 6.5. Пусть необходимо спланировать машинный эксперимент при наличии трех факторов к=* 3, каждый из которых имеет три уровня —3, причем требуется р= 15 повторений с затратами т= 120 с машинного времени на один прогон при стоимости 1 ч машинного времени с = 100 руб. Кроме того, предполагается, что в день на моделирование данной системы 5 выделяется 60 мин машинного времени, т. е. на моделирование требуется т/3600 дней. Такой машинный эксперимент потребует около 400 протонов, затрат примерно те" 13 ч машинного времени, около 7*" ="13 дней на получение результатов моделирования и 1304 руб. для оплаты машинного времени.

Сравним случай, рассмотренный в примере, при условии, что число уровней факторов уменьшено до двух, т. е. ^=*2.

Такой машинный эксперимент потребует только 135 прогонов;

4,5 ч машинного времени; 4,5 дня на получение результатов и всего 450 руб. затрат для оплаты машинного времени, т. е. имеет место сокращение затрат на 265%.

Такая номограмма (рис. 6.4) может быть использована и для других входов, например, при фиксированной величине денежных средств, отводимых на машинный эксперимент.

Рис. 6.4. Номограмма предварительного планирования машинного эксперимента.

Для более детального анализа имеющихся у экспериментатора возможностей при планировании эксперимента рассмотрим попарно относительное влияние числа факторов к, числа уровней д и числа повторений р на количество необходимых машинных прогонов модели N. Предполагая эти величины непрерывными, проанализируем, какая из трех величин дает наибольшее сокращение полного количества прогонов. Для этого продифференцируем уравнение (6.4):

Из этих уравнений видно, что: 1) если кр>д и к>д 1п д, то доминирует (оказывает наибольшее влияние на число машинных прогонов Л9 изменение числа уровней д 2) если кр>д и к>д 1п д, то доминирует число факторов к 3) если р<�д и р 1пф<1, то доминирует число повторений р.

Такой анализ позволяет дать наглядную графическую интерпретацию определения доминирующей для данного машинного эксперимента с моделью системы 5 переменной: к, д или р. Графически изобразим уравнения (6.5). На рис. 6.5, а приведен график отношения (д 1п д)/к как функции числа уровней д при изменении числа факторов к от 1 до 5. Если отношение (д 1п д)/к> 1 при данных к и д, то доминирует число факторов к. Если это отношение меньше 1, то доминирует число уровней д.

Рис. 6.5. Графическое изображение зависимостей: а — g g|k; б — g|{kp); в — 1/(р1п *) в функции На рис. 6.5, 6 приведен график зависимости отношения q|(kp) от числа уровней q для величин произведений кр в пределах от 1 до 5. Если в данном случае q|(кp)> 1, то доминирует число повторений р, а если &(кр) то доминирует число уровней q.

На рис. 6.5, в показан график зависимости отношений 1/(р1пд) от числа уровней q для числа повторений р, изменяющихся в пределах от 1 до 10. Если 1/(р1п ф)> 1, то доминирует число повторений р, а если |(p q)<_y то доминирует число факторов к.

Пример 6.6. Пусть при составлении плана машинного эксперимента требуется оценить, какая переменная играет доминирующую роль в сокращении полного числа машинных прогонов модели N при ?" *4, $" 3, /?*" 3. Воспользуемся рис. 6.5, а: для <7=3 и к «4 отношение (91п?) к< 1, т. е. число уровней ч доминирует над числом факторов к. Исходя из рис. 6.5, 6, для $="3, Агр = 8 имеем ч/(кр)< 1, т. е. число уровней q доминирует над числом повторений р. И наконец, воспользовавшись рис. 6.5, в, видим, что для ч «3 и р=2 отношение 1 /(р 1п 4) < 1, т. е. число факторов к доминирует над числом повторений р.

Таким образом, использование при стратегическом планировании машинных экспериментов с М_м структурных и функциональных моделей плана позволяет решить вопрос о практической реализуемости модели на ЭВМ исходя из допустимых затрат ресурсов на моделирование системы 5.