Представление чисел. 
Информатика

О двух формах представления чисел

В компьютерной технике для представления чисел широко используются две формы: естественная и нормальная.

При естественной форме представления число имеет единственный вид записи.

(2.7).

где q — основание системы счисления (обычно q = 2); точкой (вместо запятой) число разделено на две части, одна из которых отражает целую часть числа, другая — дробную часть (правильную дробь), например: +195 — целое положительное число; -195 — целое отрицательное число; +0.025 — правильная положительная дробь; -195.025 — неправильная отрицательная дробь. Естественная форма используется для представления целых чисел и чисел с фиксированной точкой (запятой).

При нормальной форме представления число записывается в виде.

(2.8)

где М, Р - мантисса и порядок числа.

Для нормальной формы представления характерна неоднозначная запись числа, например: +195,025 = +195 025 • 1(Е3 = +19,5025 • 10' = +0,195 025 • 103. Нормальной форме соответствует представление чисел с плавающей точкой.

Числовая (как и любая другая) информация, подлежащая компьютерной обработке, представляется в виде я-разрядных двоичных кодов, для хранения которых используются ячейки памяти. Двоичные коды чисел имеют различные форматы. Формат числа представляет собой совокупность разрядов (разрядную сетку), разделенную на отдельные поля: поле знака числа, поле модуля числа или мантиссы, поле модуля порядка. В поле знака символом 0 обозначается знак «+» положительного числа, символом 1 — знак «-» отрицательного числа. Рассмотрим особенности представления целых чисел, чисел с фиксированной и плавающей точкой.

Целые числа. На рис. 2.1, а приведен формат компьютерного представления целых (и — 1)-разрядных чисел. Старший из разрядов и-разрядной сетки отводится под знак числа, в остальных разрядах размещается модуль числа. При этом свободные старшие разряды заполняются нулями. В качестве примера на рис. 2.1, 6 приведен формат 5-разрядного двоичного числа -101 012 (-2110) при использовании 8-разрядной сетки. Свободные 5-й и 6-й разряды заполнены нулями.

Если количество значащих разрядов модуля числа превышает п — 1, происходит переполнение разрядной сетки.

Рис. 2.1. Общая форма (а) и пример (б) представления целых чисел.

приводящее к ошибке в представлении числа из-за потери старших разрядов модуля.

Диапазон модулей чисел, которые могут быть представлены в «-разрядной сетке, — от 0 (при 0 во всех разрядах модуля) до 2я'1 — 1 (при 1 во всех разрядах модуля). Используется два формата целых чисел: короткий с числом разрядов п и длинный с числом разрядов 2п. В процессе расчетов используется длинный формат, результаты выводятся в коротком формате.

Числа с фиксированной точкой. Для этой формы представления чисел положение разрядов числа в разрядной сетке строго фиксировано и не зависит от его значения. Следовательно, точка (запятая), отделяющая целую часть числа от его дробной части, должна занимать постоянное положение. Фиксация точки справа от самого младшего значащего разряда (2.7) соответствует форме представления целых чисел. Если точка фиксируется перед старшим разрядом модуля числа (2.7), то компьютерное представление числа Дф с фиксированной точкой имеет вид правильной дроби, что соответствует условию.

(2.9).

где п - 1 — число значащих разрядов числа.

Условие (2.9) должно выполняться для исходных данных задачи и всех промежуточных результатов вычислений, что обеспечивается путем выбора масштабного коэффициента К. При нарушении условия (2.9) число А. имеет целую часть, которая теряется, так как не попадает в разрядную сетку из-за переполнения. Поэтому при определении масштабного коэффициента К следует исходить из максимального значения модуля задействованных при решении задачи чисел, приняв К > Итах. Тогда условие (2.9) для Аф = A/К будет выполняться. На рис. 2.2, а приведен формат компьютерного представления чисел с фиксированной точкой. При занесении числа Лф в ячейку памяти свободные младшие разряды разрядной сетки заполняются нулями. Если число значащих разрядов модуля |Лф| больше п — 1, то младшие разряды модуля, которые не поместились в разрядной сетке, теряются. Это приводит к погрешности, абсолютное значение которой меньше единицы младшего разряда разрядной сетки, т. е. еабс < 2″ '. При п = 32 абсолютная погрешность еабс < 2 ~31 «2 • 10~9.

Рис. 2.2. Общая форма (а) и примеры (б, в) представления чисел в форме с фиксированной точкой.

Пример 2.8. Пусть заданы два числа А = -1010,1012 и В = +10,101 012, для которых |А| > |В|. Поэтому масштабный коэффициент К > |А| = 24 = 10 0002. Степень 4 свидетельствует о необходимости сдвига на 4 разряда вправо исходных чисел А и В. Действительно.

Форматы компьютерного представления чисел Аф и Вф показаны на рис. 2.2, б, в. Для сохранения точности компьютерного представления числа Вф необходимо расширить разрядную сетку до 10 разрядов.

К достоинству представления чисел в форме с фиксированной точкой следует отнести простоту выполнения арифметических операций. Недостатки проявляются в том, что необходимо производить выбор масштабных коэффициентов; нули в старших разрядах модуля приводят к уменьшению количества разрядов, занимаемых значащей частью модуля числа, в результате этого снижается точность представления чисел с малыми значениями модуля.

Числа с плавающей точкой. Для научно-технических расчетов необходимо представлять числа с высокой точностью в широком диапазоне значений. Указанным требованиям отвечает форма чисел с плавающей точкой, которая имеет вид.

где S — знак числа; Р — порядок; Е — смещение порядка; |М| - модуль мантиссы. Общее количество разрядов для представления чисел с плавающей точкой составляет 1 + т + + р, один разряд отводится под знак числа; т, р — количество разрядов для представления модуля мантиссы и порядка соответственно.

Для однозначного представления чисел вводится ограничение вида.

(2.10).

где q — основание системы счисления (обычно q = 2);

Форма представления чисел, для которой справедливо условие (2.10), называется нормализованной формой представления чисел.

Со стандартными форматами компьютерного преставления чисел можно ознакомится в учебном пособии [18].