Логические и элементные базисы

Понятие базиса

Набор логических операций, позволяющий аналитически описать любую логическую функцию, называется функционально полным набором или логическим базисом. Такой набор составляют основные логические операции ИЛИ, И, НЕ, поэтому он является одним из логических базисов. Логический базис называется минимальным, если удаление из набора хотя бы одной операции превращает его в функционально неполный. Логический базис НЕ, ИЛИ, И не является минимальным, так как на основании законов двойственности можно исключить из логических выражений операцию ИЛИ либо И, следовательно, он является избыточным базисом. Минимальный базис составляют две операции НЕ, ИЛИ и НЕ, И. Практического внимания заслуживают минимальные базисы, представляющие собой только одну операцию. К ним относятся операции логического умножения с отрицанием (И-НЕ, штрих Шеффера) и логического сложения с отрицанием (ИЛИ-HE, стрелка Пирса), описание которых приведено в табл. 3.3, а условные графические обозначения логических элементов И-НЕ, ИЛИ-HE изображены на рис. 3.11, а. Для подтверждения.

Рис. 3.11. Условные графические обозначения элементов И-НЕ и ИЛИ-HE (а) и реализация с их помощью основных операций алгебры логики (б, в, г)

функциональной полноты каждой из операций И-НЕ, ИЛИ-HE на рис. 3.11, б, в, г показана реализация основных логических операций НЕ, И, ИЛИ с помощью логических элементов И-НЕ и ИЛИ-HE (нижний ряд обозначений в круглых скобках).

Набор логических элементов, обладающий функциональной полнотой, является элементным базисом. Логические элементы И-НЕ либо ИЛИ-HE составляют минимальный элементный базис и находят широкое применение при реализации различных комбинационных устройств.

Запись логических функций в реализуемых базисах

Рассмотрим правила записи логических функций в базисах И-НЕ и ИЛИ-НЕ.

Правила записи в базисе И-НЕ: минимизированная в базисе И, ИЛИ, НЕ логическая функция Y представляется в виде логической суммы произведений Рк входных переменных (МДНФ), после чего используется формула (3.15):

(3.19).

При записи могут оказаться полезными следующие соотношения:

Правила записи в базисе ИЛИ-HE: минимизированная в базисе И, ИЛИ, НЕ функция Y представляется в виде логического произведения сумм Sk входных переменных (МДНФ), затем используется формула (3.15):

При записи могут быть полезными следующие соотношения: