Движение управляемого снаряда

Задание.

Движение управляемого снаряда (по продольному каналу) происходит под действием порохового ускорителя и описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка:

где X', V — дальность и скорость в продольном канале, м и м/с; F — сила тяги ускорителя, Н, полагается постоянной по времени на интервале [0, Т_уск] времени его работы; M — масса снаряда, кг, полагается постоянной по времени; P_a — сила аэродинамического сопротивления, Н, пропорциональная скорости движения P_a = A*V, где A — постоянный коэффициент, .

На старте, t₀ = 0, X₀ = 0 м, V₀ = 0 м/с.

Разработать алгоритмы расчета фазовой траектории управляемого процесса (изменения дальности и скорости объекта на разгоне).

1. Постановка задачи, расчетные формулы.

В начальный момент времени (t₀ = 0, X₀ = 0, V₀ = 0) масса снаряда M (t) постоянна, а изменение скорости — минимально. Следуя из этого, можем сказать, что при прохождение снарядом определенного расстояния, скорость движения будет увеличиваться до определенного момента, пока не достигнет максимальной скорости. Чтобы можно было проследить изменение дальности и скорости снаряда на разгоне, введем шаг замеров h, сек, на котором изменение скорости снаряда будет постоянным. Составим уравнения для расчета скорости и дальности движения в определенный промежуток времени.

1) t₀ = 0, X₀ = 0, V₀ = 0.

X₀' = V₀*h;

2) t₁ = h, X₁ = 0+X₀', V₁ = 0+V₁'.

X₁' = V₁*h;

3) t₂ = 2*h, X₂ = X₁+X₁', V₂ = V₁+V₁'.

X₂' = V₂*h;

…..

…..

n) t_n = n*h, X_n = X_n-1+X_n-1', V_n = V_n-1+V_n-1';

Из полученных уравнений выведем одно, с помощью которого мы сможем вычислить точку, в которой находится снаряд в определенный момент времени:

Разгон снаряда закончится в момент времени Т_уск, когда сила тяги ускорителя F станет равной нулю. Так как сила тяги ускорителя снаряда на всех промежутках времени постоянная (кроме конечного), а сила аэродинамического сопротивления будет расти с увеличением скорости, то в какой-то момент времени станет меньше или равно нулю. В этом случае изменение скорости приравняется к нулю:

Обозначим полученную скорость как V_{конечное}, и в момент времени, когда V_n станет равным V_{конечное}, изменение скорости станет равным нулю. Следуя из этого, можно сказать, что максимальная скорость снаряда при разгоне определяется его силой тяги ускорителя.

2. Качественный анализ решения.

X₀ = 0;

V₀ = 0 м/с;

h = 0,1 сек;

F = 100 Н;

A = 0,1 ;

T_уск = 10*h = 1 сек;

Пусть масса равна:

M = Const = 10 кг.

Рис. 1. График зависимости дальности разгона снаряда от шага по времени Рис. 2. График зависимости скорости снаряда от времени.

3. Блок - схема.

4. Моделирующая программа.

using System;

using System. Collections. Generic;

using System. Linq;

using System. Text;

namespace ConsoleApplication3.

{.

class Program.

{.

static void Main (string[] args).

{.

int i, x; //x и i вспомогатальные паременные i для цикла, x для массивов и цикла.

Double h, Tk, F, a, M; //Tk время процесса (конечное).

string s; // вспомогательная переменная чтения с консоли.

Console. Write («введите время процесса»); // ввод данных.

s = Console. ReadLine ();

Tk = double. Parse (s);

Console. Write («введите шаг замеров»); // ввод данных.

s = Console. ReadLine ();

h = double. Parse (s);

x = Convert. ToInt32 (Tk / h);

Double[] X = new Double [x + 1]; // массивы размерности х+1 (х-число возможных замеров за время Tk +1 необходимо для задания 0-го значения иначе мы бы потеряли последнее значение).

Double[] V = new Double [x + 1];

Console. Write («введите массу»);

s = Console. ReadLine ();

M = double. Parse (s);

Console. Write («введите силу тяги»);

s = Console. ReadLine ();

F = double. Parse (s);

Console. Write («введите коэффициент А»);

s = Console. ReadLine ();

a = double. Parse (s);

X[0] = 0;

V[0] = 0;

for (i = 1; x >= i; i++) // расчет значений.

{.

X[i] = X [i — 1] + V [i — 1] * h;

V[i] = V [i — 1] + (F — a * V [i — 1]) / M;

}.

for (i = 0; x >= i; i++).

{.

Console. WriteLine («В момент времени» + i * h + «скорость равна» + V[i] + «дальность равна» + X[i] +". «); // вывод.

}.

Console. ReadLine ();

}.

}.

}.

5. Скриншоты выполняемой программы.

Окно ввода данных:

Окно вывода данных:

Программа написана в приложении Visual Studio 2010 на языке программирования C#.

1. Павловская Т. А.; С#. Программирование на языке высокого уровня. Учебник для вузов. — СПб.: Питер, 2007. — 432 с.

снаряд уравнение управляемый программа.