Теоретико-множественный подход к описанию систем

Для получения математической модели процесса функционирования системы, чтобы она охватывала широкий класс реальных объектов, в общей теории систем исходят из общих предположений о характере функционирования системы:

• — система функционирует во времени; в каждый момент времени система может находиться в одном из возможных состояний;
• — на вход системы могут поступать входные сигналы;
• — система способна выдавать выходные сигналы;
• — состояние системы в данный момент времени определяется предыдущими состояниями и входными сигналами, поступившими в данный момент времени и ранее;
• — выходной сигнал в данный момент времени определяется состояниями системы, относящимися к данному и предшествующим моментам времени.

Первое предположение отражает динамический характер процесса функционирования в пространстве и времени. При этом процесс функционирования протекает как последовательная смена состояний системы под действием внешних и внутренних причин. Второе и третье предположения отражают взаимодействие системы с внешней средой. В четвертом и пятом предложениях отражается реакция системы на внутренние факторы и воздействия внешней среды: последействие и принцип физической реализуемости.

Последействие — это тенденции, определяющие поведение системы в будущем, которые зависят не только от того, в каком состоянии находится система в настоящий момент времени, но и в той или иной степени от ее поведения в предыдущие моменты времени.

Принцип физической реализуемости: система не реагирует в данный момент времени на «будущие» факторы и воздействия внешней среды.

Для описания систем ее подсистемы (или элементы) перечисляются с помощью некоторых множеств V, и устанавливается характер связей между ними.

где V_{ — i-я компонента декартова произведения ® V_if называемая объектом системы S; I— множество индексов. Или иначе:

Абстрактно-алгебраические модели описывают связи как семейство отношений (унарных, бинарных, …, л-арных).

Под отношением, введенным на множестве А, понимается подмножество декартового произведения конечной степени А^п = А х А х … х А данного множества А, т. е. подмножество кортежей (a_v о₂, а_п) из п элементов множества Л.

Подмножество R с А^п называется п-местным или л-арным отношением на множестве А. Число л называется рангом или типом отношения R. Множество всех л-арных отношений на множестве А относительно операций и и п является булевой алгеброй.

Примеры отношений на множестве V «Люди»:

— унарное отношение М «мужчины»:

— бинарное отношение О «старше»: трехместное отношение Р «являются родителями»: где — отец, v₂ — мать, v₃ — ребенок}.

Функциональные модели определяют связи как множество отображений.

Если множество индексов I конечно, то разобьем его на два подмножества 1_и и 1_у. В общем случае пересечение этих подмножеств может быть не пусто. I_u с I и I_y с I. Множество U = ®{V, | i с 1_и} назовем причинами, а множество Y = ®{У_; |.

| i с 1_у} назовем следствиями. Тогда система S с U х Y. Система S называется функциональной, если она представляется в виде отображения S: U —> Y.

Временные модели в качестве одного из объектов системы S вводят множество моментов времени Т.

Если элементы одного из объектов системы есть функции, например v: T_v —> V_v> ^{то этот} объект называют функциональным. В случае, когда области определения всех функций для данного объекта V одинаковы, т. е. каждая функция отображает Т в V, v: Т —> V, то Т называется индексирующим множеством для v. Если индексирующее множество линейно упорядочено, то его называют множеством моментов времени. Функции, определенные на множестве моментов времени, принято называть функциями времени. Объект, элементами которого являются временные функции, называют временным объектом, а системы, определенные на временных объектах, — временными системами.