Течение жидкости по наклонной плоскости

Рассмотрим бесконечную плоскость, наклоненную к горизонту под углом, а (рис. 10). По плоскости под действием силы тяжести течет слой жидкости толщиной И, над которой находится атмосферный газ с давлением р_г Найти скорость течения жидкости.

Рис. 10.

Введем декартову систему координат, как показано па рис. 10. С учетом соображений симметрии и несжимаемости жидкости, использованных в предыдущих параграфах, получаем v_z = v = 0 и из уравнения Навье — Стокса (59) приходим к двум уравнениям:

Проинтегрировав второе уравнение (72) по z, получаем р = -рgz + С (лг), где С (х) — некоторая функция, зависящая только от х. Воспользуемся граничным условием -р + ст" = —р_а при z = Л, а также тем, что a_:z = r|<3v_ / 8z = 0. Отсюда следует, что при z = h выполняется равенство р = р_а, значит, С = р_а + рgh, и p = pg (h — z) + р_а. Используя этот результат в первом уравнении (72), после интегрирования получаем.

Из граничного условия v_v = 0 при z = О находим В = 0. Параметр А определяется из условия a_xz = r|Sv_t / 8z = 0 при z = h. Окончательно.

Течение Пуазейля в цилиндрической трубе

В предыдущих параграфах мы рассмотрели несколько примеров решения уравнений Навье — Стокса в системах с плоской симметрией, когда эти уравнения удобнее всего решать в декартовой системе координат. Во многих случаях уравнения гидродинамики проще решать, используя другие системы координат. В этом и следующем параграфе даны примеры течения вязкой жидкости в системах с цилиндрической симметрией.

Рассмотрим стационарное течение несжимаемой вязкой жидкости в цилиндрической трубе, длина L которой много больше ее радиуса R (рис. 11). Считаем, что жидкость движется благодаря перепаду давления — р₂ между концами трубы.

Рис. 11.

Удобнее всего решать эту задачу в цилиндрической системе координат с осью Oz, направленной вдоль оси цилиндра, осью г, перпендикулярной этой оси, и полярным углом ф. Уравнения Навье — Стокса и несжимаемости в цилиндрической системе координат даны в Приложении. Из соображений симметрии следует, что компоненты скорости жидкости v не могут зависеть от полярного угла ф, следовательно, все производные по этому углу должны быть равны нулю. Поскольку L «R, в первом приближении трубу можно считать бесконечно длинной. Тогда все значения координаты z физически равноправны. Это значит, что компоненты скорости не могут зависеть от z и все производные по z от этих компонент обращаются в ноль. Поскольку компоненты скорости не зависят от координаты z, радиальная компонента скорости v обязана быть равной нулю. В самом деле, представим себе, что эта компонента больше нуля, что соответствует течению жидкости от оси цилиндра к его стенкам. Очевидно, это будет означать уменьшение плотности жидкости вблизи оси и се увеличение вблизи стенок трубы, что невозможно в силу несжимаемости жидкости. Аналогично невозможен случай отрицательных компонент скорости v. Очевидно также, что полярная компонента скорости v, описывающая циркуляционное движение жидкости вокруг оси цилиндра, должна быть равна нулю, так как течение жидкости по часовой стрелке вокруг этой оси физически равноправно течению в противоположном направлении. Таким образом, мы приходим к выводу, что единственной ненулевой компонентой скорости может быть только осевая компонента v_, причем зависеть она может только от координаты г. Учитывая это, записываем уравнение Навье — Стокса в виде.

Здесь для краткости принято обозначение v = v_. Продифференцировав обе части (73) по координате z и учитывая, что v от z не зависит, получаем d²р / dz² = 0, т. е. градиент давления dp / dz не зависит от z. Легко видеть, что в этом случае dp / dz = -(р_х — р₂)/ L .

где С, и С, — постоянные интегрирования. Поскольку при г = О скорость v не может обращаться в бесконечность, коэффициент С_х должен быть равен нулю. Постоянную С, определяем из условия прилипания v = 0 при г = R. Окончательно получаем.

Расход жидкости, т. е. ее объем, прошедший через сечение трубы за единицу времени, равен.