Операции над множествами

Объединение, пересечение и разность множеств

Операция над множествами — это правило, в результате выполнения которого из данных множеств однозначно получается некоторое новое множество.

Обозначим произвольную операцию знаком *. Множество, получаемое из данных множеств А и В, записывают в виде А*В. Полученное множество и саму операцию принято называть одним термином.

Замечание. Для основных числовых операций используют два термина: один обозначает саму операцию как действие, другой — число, получаемое после выполнения действия. Например, операция, обозначаемая +, называется сложением, а число, полученное в результате сложения, — суммой чисел. Аналогично • - знак операции умножения, а результат а b — произведение чисел а и Ь. Тем нс менее часто эту разницу нс учитывают и говорят «Рассмотрим сумму чисел», имея в виду не конкретный результат, а саму операцию.

Операция пересечения. Пересечением множеств, А и В называется множество, обозначаемое АглВ, состоящее из всех объектов, каждый из которых принадлежит обоим множествам А и В одновременно.

Другими словами, АсВ — это множество всех .г, таких, что хеА и хеВ:

Операция объединения. Объединением множеств, А и В называется множество, обозначаемое А’иВ, состоящее из всех объектов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному множеству А или В.

Операцию объединения иногда обозначают знаком + и называют сложением множеств.

Операции разности. Разностью множеств, А и В называется множество, обозначаемое АВ, состоящее из всех объектов, каждый из которых лежит в А, но не лежит В.

Выражение АпВ читают «А в пересечении с В», AkjB- «А в объединении с В», АВ — «А без В».

Пример 7.1.1. Пусть А = {1, 3,4, 5, 8,9}, В = {2,4, 6, 8}.

Тогда AkjB= {1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9}, AcB={4,8}, АВ = {1,3, 5, 9}, ЯЛ = {2,6}.".

На основе указанных операций можно определить еще две важные операции.

Операция дополнения. Пусть AqS. Тогда разность SA называется дополнением множества, А до S и обозначается A_s.

Пусть любое рассматриваемое множество является подмножеством некоторого множества U. Дополнение до такого фиксированного (в контексте решения той или иной задачи) множества U обозначают просто А. Также используются обозначения СА, с А, А'.

Пример 7.1.2. Дополнение множества {1, 3,4, 5, 8, 9} до множества всех десятичных цифр равно {0, 2, 6, 7}.

Дополнение множества Q до множества R есть множество 1.

Дополнение множества квадратов до множества прямоугольников есть множество всех прямоугольников, имеющих неравные смежные стороны. •.

Мы видим, что операции объединения, пересечения и дополнения множеств соответствуют логическим операциям дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

Операция симметрической разности. Симметрической разностью множеств, А и В называется множество, обозначаемое А®В, состоящее из всех объектов, каждый из которых принадлежит в точности одному из множеств А и В:

Нетрудно видеть, что симметрическая разность есть объединение двух множеств АВ и ВА. Это же самое множество можно получить, если вначале объединить множества А и В, а затем убрать из множества общие элементы.

Пример 7.1.3. Пусть даны действительные числа а< с< b< d. Тогда для соответствующих числовых промежутков имеем:

Заметим, что так как отрезок [а; Ь] содержит число с> а интервал (с; d) точку с не содержит, го число с лежит в разности [а; Ь] без [с; cf. А вот разность, например, (2;5)[3;7], число 3 не содержит, так как оно лежит в отрезке [3;7]. Имеем (2;5)[3;7]=(2;3). •.

Пусть даны непересекающиеся множества А и В. Поскольку п — знак операции пересечения, то запись А (ЬВ некорректна. Неправильно также говорить, что у множеств нет пересечения. Пересечение есть всегда, оно определено для любых множеств. То, что множества не пересекаются, означает, что их пересечение пусто (то есть, выполнив указанную операцию, мы получаем пустое множество). Если же множества пересекаются, значит, их пересечение не пусто. Делаем вывод:

Обобщим операции объединения пересечения на случай, когда множеств более двух.

Пусть дана система К множеств. Пересечением множеств данной системы называется множество всех элементов, каждый из которых лежит во всех множествах их К.

Объединением множеств данной системы называется множество всех элементов, каждый из которых лежит хотя бы в одном множестве их К.

Пусть множества системы К занумерованы элементами какого-то семейства индексов /. Тогда любое множество из К можно обозначить А,-, где iel. Если совокупность конечная, то в качестве / используют множество первых натуральных чисел {1,2,…, и}. В общем случае / может быть бесконечным.

Тогда в общем случае объединение множеств А для всех iel обозначают (J А_{, а пересечение — f]A_i.

iel iel

Пусть совокупность К конечная, тогда К= В этом случае пишут AyjA₂v…KjA" и АГ4₂(^—-Г4п-

Пример 7.1.4. Рассмотрим промежутки числовой прямой Л| = [-оо;2], Л₂=Н°; 3], Л₃=[1;4), А₄=(0; 2). Тогда их объединение равно множеству (-оо;4), а пересечение есть множество [ 1; 2). Убедитесь в этом самостоятельно, изобразив множества на числовой прямой. •.

Используя понятие объединения произвольной совокупности множеств, можно сформулировать понятие разбиения множества на классы, определенное в пункте 6.3.

Разбиение множества S — это система непустых попарно непересекающихся подмножеств, объединение которых совпадает с S.