«Аномальная» диффузия. 
Радиоэкология и экологическая радиохимия

При описании миграции в двумерном пространстве (по адкоординатам) ситуация сильно усложняется по сравнению с рассмотренной выше одномерной диффузии. Ещё Адамар показал, что в случае двумерной диффузии, краевая задача при определенных условиях имеет неограниченные решения: С (ад) претерпевает биения, приводящие к резким колебаниям решений.

Ещё большие трудности возникают при описании миграции в трёхмерных гетерогенных активных средах.

Биения приводят к неравномерному выпадению осадков на местности (возникают отдельные пятна и полосы, форма которых является статистической, но всё же в каком-то смысле зависящей от рельефа пространстве) и к неравномерному поступлению их во времени. Биения в пространстве и времени неоднократно фиксировались экспериментально (см., например, рис. 5), их нельзя смоделировать уравнениями параболического или гиперболического типа, и приходится использовать дифференциальные уравнения с дробными производными.

Рис. 5. Карта плотности загрязнения l37Cs территории европейской части России.

Начнём с простейшего при мера — местности представляющей собой два хребта расходящихся из одного центра. «Циркуль» образован холмами, между которыми находится долина с широкой ровной части которой (со «степи») начинает поступать атмосферный фронт аэрозолей, несущий радиоактивные вещества. В миграции такая двумерная задача называется «диффузия по поверхности конуса» .

Решение системы уравнений показывает, что на широкой части долины возникают «биения» в виде пятен (повышенной концентрации радионуклида) случайного местоположения, случайной формы и размера; по мере сужения долины появляются разорванные полосы, которые при приближении к вершине конуса становятся сплошными, а вершина конуса либо содержит радионуклид в максимально большой концентрации (равной концентрации в исходном выбросе), либо не содержит его вовсе.

Теория диффузии предсказывает появление неравномерного распределения радионуклида (случайное распределение участков с аномально большим и аномально низким выпадением радионуклида на местности). Геометрическая форма отдельных пятен токсина зависит от величин коэффициентов диффузии и от характера рельефа местности. В реальности, на миграцию накладываются ещё климатические параметры: температура, скорость и направление ветра, относительная и абсолютная влажность; осадки — вид и интенсивность; размерный спектр аэрозолей. Более того, если в ходе миграции рельеф местности можно считать постоянным, то климатические условия могут непрерывно меняться (достаточно упомянуть смену направления ветра). Поэтому модели формирования поверхностных полей загрязнений требует описания динамической системы дифференциальными уравнениями-с (квази) граничными условиями при переменных начальных условиях и при коэффициенте диффузии, зависящем от времени и координаты. К сожалению, даже при наличии подобной модели, произвести расчет по ней практически невозможно, поскольку решения используемых здесь уравнений необычайно чувствительны к точности краевых условий: даже незначительная погрешность в их задании приводит к существенному отклонению рассчитываемой траектории развития такой динамической системы (странный аттрактор).

Необходимость описания миграции в реальных средах привело к вовлечению в математический аппарат диффузии идей фрактальной геометрии, преобразований («полётов») Леви и дифференциальных уравнений с частными производными дробных степеней. Причинами такого развития событий с одной стороны стало расширение теории броуновского движения (чисто случайный процесс, марковские цепи, системы без памяти) на процессы с памятью, а с другой — экспериментальные данные, доказавшие, что большинство процессов, определяющих формирование полей поверхностных загрязнений, многие метеорологические и гидрологические процессы, геофизические и геоморфологические поля являются фрактальными. Связано это с тем обстоятельством, что практически все природные объекты при кажущейся внешней хаотичности обладают самоподобием, структурированностью и иерархичностью внутреннего строения. Подобные свойства называются фрактальностью. Поэтому современный экологический мониторинг полей поверхностных загрязнений ведётся на базе фрактальных моделей.

Рис. 6. Фрактальный характер диффузии из точечного источника.

Фракталами называют объекты с дробной (фрактальной) размерностью. Они обладают важным свойством — самоподобием: целая фигура подобна любому своему фрагменту. Фрактал — множество с дробной размерностью.

Самоподобный объект — объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого (то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). Самоподобие — характеристическое свойство фрактала.

Фрактальная размерность (lФрактальное блуждание — блуждание, при котором пробеги частицы имеют то же распределение, что и интервалы между атомами рассматриваемой среды, но независимы друг от друга (даже и в том случае, когда блуждающая частица меняет направление).

Фрактальная геометрия успешно применяется для описания диффузии частиц аэрозоля (или коллоидных частиц) с развитой (фрактальной) поверхностью, массопереноса через барьеры с самоподобными несплошностями (типа переноса аэрозолей через лесозащитную полосу), распространения облака радиоактивных аэрозолей в холмистой местности или по долине реки. Расчёты переноса радионуклида в организме также часто проводятся в рамках фрактальной геометрии.

При применении идей геометрии фракталов к диффузии, оказалось, что сам процесс ненарушенной диффузии в однородной среде фрактален. Диффузионный фронт не является окружностью или эллипсом, а сильно изъеден — некоторые молекулы сильно опережают среднее продвижение, другие — отстают (рис. 6).

Таким образом, даже в однородной среде граница распространения фронта диффузанта носит фрактальный характер, поэтому при описании свободной миграции в однородной среде диффузионное уравнение следует трансформировать с учётом элементов фрактальной геометрии. Роль фрактальной геометрии существенно возрастает при исследовании диффузии в сильно неоднородной среде и присутствии процессов адвекции. В этом случае, помимо классической диффузии, возможна реализация механизмов «аномальной» диффузии: субдиффузии (замедленной диффузии) и супердиффузии (ускоренной диффузии), феноменологическое описание которой строится на дифференциальных уравнениях с дробными производными, выражающимися через показатели фрактала.

Рис. 7. Случайное блуждание (броуновское движение) (а) и полёты Леви (б).

Как известно, существуют два основных подхода к описанию диффузии: статистический и феноменологический. Фрактальная геометрия позволила существенно продвинуть каждое из этих направлений. Начнем с первого из них, которое обычно называется броуновским движением. Броуновское движение — пример марковского процесса — беспорядочное движение микроскопических взвешенных в жидкости или газе частиц твёрдого вещества, вызываемое тепловым движением частиц жидкости или газа. Броуновское движение никогда не прекращается; оно является следствием и свидетельством существования теплового движения.

Напомним, что согласно А. Эйнштейну, основным параметром в описании броуновского движения является не скорость, а средний квадрат смещения частиц в данный момент времени 2(f)>, который связан с коэффициентом диффузии, D. Случайное блуждание частиц любой массы и размеров, подчиняется нормальному статистическому распределению (распределению Гаусса). Н. Винер предложил рассматривать броуновское движение, как марковский процесс («будущее» процесса не зависит от «прошлого» при известном «настоящем»). Согласно классическим представлениям средний квадрат расстояния точки нахождения в момент времени t от точки начала блуждания (дисперсия распределения) зависит от времени по закону:

т.е. средний квадрат смещения частицы линейно зависит от времени t. Соотношение Эйнштейна выполняется в евклидовом пространстве любой размерности, даже если случайные положения частицы имеют распределение, отличное от нормального. Распределение величин диффузионных скачков является гауссовым, поэтому при аппроксимации классического блуждания используют простой метод суммирования гауссовых случайных величин. Отдельное смещение пропорционально корню из времени:

т.е. расстояние, которое преодолевает блуждающая частица за время t — случайная величина, кратная V/. В модели случайного блуждания частиц среда однородна, а её стохастические свойства проявляются в выборе функции распределения приращений координат блуждающей частицы. Если они происходят через одинаковые промежутки времени и функция приращений имеет конечную дисперсию, изменение со временем плотности пространственного распределения частиц описывается дифференциальным уравнением второго порядка (уравнение Фоккера-Планка):

где p (x, t)6x — вероятность того, что блуждающая частица в момент времени t окажется в элементе d* рассматриваемого пространства. При диффузии в d-мерном диффузии из точечного источника в бесконечную среду (начальное условие p (*, f=o)=5(x)) гауссова функция распределения имеет вид:

где.

— радиус-вектор блуждания в пространстве. Это решение однородно (описывает однородный во времени и пространстве процесс), автомодельно, обладает конечной дисперсией (т2=.

(и вообще всеми статистическими моментами закона прыжка). Распределение величин диффузионных скачков является гауссовым: расплывание диффузионного пакета по закону f½ с экспоненциальным затуханием на бесконечности (экспоненциальные хвосты). Классическое случайное блуждание — винеровский процесс, модель марковских случайных фракталов (система без памяти — миграция зависит только от времени, и никак не зависит от предыдущего поведения системы). Заполняя плотно однородную двумерную область, траектории броуновского движения имеют фрактальную размерность dj= 2. Дальнейшие развитие модели случайных прыжков привело к созданию модели непрерывного во времени случайного блуждания: в этой модели временные интервалы между двумя скачками более не фиксированы; теперь они подчиняются функции распределения вероятностей. Полная модель предполагает две таких функции: одна для временных интервалов (или времён «ожиданий» времен между двумя скачками подряд), другая — для длины прыжка. Пока эти плотности вероятностей являются гауссовыми, формула Эйнштейна остается в силе: квадратный корень из времени выполняется. Однако возможны другие виды плотностей распределения, например, степенное распределение временных интервалов. В последнем случае среднеквадратичное удаление блуждающей частицы (зависимость от времени ширины диффузионного пакета):

где, а — константа, зависящая от коэффициента диффузии и геометрии пространства (например, для одномерной диффузии а=2Д где D — обобщенный коэффициент переноса), t — время (?>>о), у — динамический показатель (показатель степенного закона). При классическом механизме блуждания (броуновское движение) у=1 (расплывание по закону f½ — гауссова форма диффузионного пакета). Во фрактальной диффузии у*1. При о2. В неоднородной среде: у=2(з-ф), где d/— фрактальная размерность структуры среды.

Таким образом, помимо классического, возможен случайный процесс блуждания, обладающий некоторой памятью — фрактальное броуновское движение — немарковский процесс. Его математический аппарат обычно используется при описании турбулентной диффузии. Замечание. В рассматриваемых здесь «степенных законах» функция плотности распределения (дифференциальное распределение) убывает на бесконечности степенным образом. В этом состоит их кардинальное отличие от классической диффузии, в которой «хвост» распределения быстро спадает по экспоненциальному закону.

Введём обозначения: d — размерность эвклидова пространства; dj — фрактальная размерность структуры, по которой происходит диффузия; dw — длина (размерность) случайного скачка — количественная характеристика миграции частиц по фрактальной структуре; ds — спектральная размерность (интегрированная плотность состояний, iV®~r2).

Субдиффузия протекает намного медленнее классической диффузии. Субдиффузия — случайные блуждания, при которых скорость роста среднеквадратичного смещения частиц с течением времени не остается постоянной, как у обычной диффузии, а монотонно уменьшается. Этот процесс реализуется, например, в случае, когда диффузант захватывается ловушками (дефектами, адсорбционноили химически активными центрами), уходит в боковые, тупиковые пути, и на некоторое время или навсегда выводится из миграционного процесса. Эффекты замедления возможны также при наличии в системе статического беспорядка, динамический беспорядок, вязкоупругость и др. При субдиффузии (у приобретают дискретный характер в пространстве, происходит замедление процесса переноса и в конце концов миграция перестаёт зависеть от времени. Известно два класса субдиффузионных процессов: стационарные и нестационарные. В ходе стационарной субдиффузии подвижность частиц не изменяется. Замедление диффузии — следствие отрицательных корреляций скорости, которые обусловлены либо наличием пространственных ограничений, либо взаимодействиями с окружающей средой (адсорбция, химические реакции и т. п.). Нестационарная субдиффузия — результат снижения со временем подвижности частиц, из-за наличия процессов захвата молекул диффузанта ловушками. Модель случайных барьеров, описывающая стационарную субдиффузию, и модель случайных ловушек, описывающая нестационарную субдиффузию, при соответствующих значениях параметров дают одну и ту же функцию распределения.

Типичным примером суб диффузии является процесс диффузии радона во фрактальной пористой среде, протекающий медленнее обычного режима диффузии, т.к. грунт обладает сложной топологией каналов между порами. Каналы изгибаются, сильно изрезаны, а в некоторых случаях могут разрываться, поэтому процесс переноса радона замедляется. Этот режим характеризуется дробным показателем, который входит в уравнение диффузии как порядок дробной производной по времени. Он соответствует доле каналов, открытых для протекания вещества. Такой процесс называют нелокальным по времени, а фрактальную среду, в которой он происходит, средой с памятью.

Помимо субдиффузия (замедленная диффузия, диффузия по фракталам) возможна и супердиффузия (ускоренная, фрактальная диффузия).

Супердиффузия осуществляется со скоростями, существенно превышающими классическую диффузию. Этот режим наблюдается, если в системе есть облегчённые пути (например, трещины) или присутствуют процессы случайной или направленной адвекции (увлечение диффузанта потоками флюидов). Примерами супердиффузии являются турбулентные среды (газ, жидкость, плазма, хаотические структуры, детерминированные карты, финансовые рынки, движение фуража и др.

При супердиффузии частица в дискретные моменты времени совершает скачки произвольной длины, характеризуемые расходящимся среднеквадратичным смещением (V2^ = оо; миграция со временем ускоряется и может стать бесконечно большой; последовательные положения блуждающей частицы образуют кластерную структуру, представляющую фрактальное множество, размерность которого связана со степенным показателем. Поскольку фрактал образуется в результате иерархического построения, то поведение стохастической системы определяется не только смещением частицы в прямом пространстве, но и намного более медленной эволюцией кластеров её последовательных положений.

В случае механизма супердиффузии среднеквадратичное смещение частицы диффузанта удобно представлять в виде: При о"х где о"х В рамках геометрии фракталов это выражение выглядит так:

где dw — фрактальная размерность скачка частицы при диффузии на фрактальных структурах (для фиковской диффузии dw=2). Для многих частных случаев:, так что dw зависит от а.

При а>1 математическое ожидание всегда существует. Параметр, а обозначает какого порядка статистические моменты существуют у случайной величины: чем он ближе к двум, тем больше распределение похоже на нормальное, при а=2 распределение становиться нормальным (математическое ожидание р=о, дисперсия 0=1, асимметрия (3=о) и у него существуют моменты больших порядков). В случае а=1, р=о, получается распределение Коши, а в случае а=о, 5, р=1 — распределение Леви. Характерные особенности расплывания при дробном значении, а — тяжёлые степенные хвосты (при аtr, где у=Р/а, р — асимметрия.

Рис. 8. Нормальное распределение (1) и распределение Леви (2) (двойной логарифмический масштаб). По абсциссе — величина флуктуации в единицах дисперсии, по ординате — логарифмический масштаб, х — расстояние, пройденное диффундирующей частицей.

В супердиффузии (фрактальной диффузии) плотность вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства медленно убывает с расстоянием от точки старта, так что для диффузанта становятся вероятными «дальние» скачки (полёты Леви). Посещаемые точки образуют самоподобные (фрактальные) кластеры на всех масштабах длины и возникает распределение Леви. При этом значение, а является фрактальной размерностью множества кластеров. Поскольку фрактал образуется в результате иерархического построения, то поведение стохастической системы определяется не только смещением частицы в пространстве, но и весьма медленной эволюцией кластеров её последовательных положений. На мезоскопических интервалах времени, в течение которых не происходит заметных изменений кластерной структуры, положения частицы распределены по обычному закону Леви. Но на пути к стационарному распределению положений частицы кластерная структура претерпевает заметные изменения. Имеет место наличие не только короткого, но и длинного (возможно, даже неограниченного) масштаба единичного шага (скачка). При этом обнаруживается пороговое явление, состоящее в резком переходе от одного режима диффузии к другому: на смену диффузии с экспоненциальным фронтом и непрерывными траекториями частицы приходит степенной фронт с разрывными траекториями (полетами) этой частицы.

Кластеры разделены обширными дистанциями, которые соответствуют стабильным участкам шума. Особенность траекторий в том, что точки, группирующиеся в кластеры, образуют стохастические фракталы. Кластер в свою очередь состоит из кластеров меньшего масштаба, и так далее. Распределение блужданий Леви имеет медленно спадающую асимптотику и значительное количество больших флуктуаций. Если для гауссова распределения доля флуктуаций, превосходящих ю дисперсий, равна 2ег/с (ю)" 10−42, то количество флуктуаций, превосходящих среднее в ю раз, например, для р=1 равно 0.1, т. е. в ки1 раз больше. Выражение для вероятности скачков при числе скачков N—"оо зависит от «радиуса действия» этого распределения вероятности: если у него «короткий» шаг, то наблюдается нормальная диффузия Гаусса (броуновское движение). Если же диффузионный скачок «длинный» — то получаем аномальную диффузию Леви («длинные перелёты», фрактальные кластеры, супердиффузию т.п.). К аномальной диффузии такого типа приводит процесс блуждания с распределением смещений, при котором конечной дисперсии смещения не существует. Распределения такого типа называют распределениями Леви-Парето, а процесс блуждания частицы — полётами Леви, подчиняющихся a-распределению Леви.

а-Ра спред елеиие Лени — непрерывное распределение вероятности для неотрицательной случайной переменной. Здесь закон элементарного прыжка не даёт всех конечных моментов, но обладает нормировкой. Форма распределения Леви в явном виде известна только для двух значений а. При а=1 распределение Коши, а при а=2 — распределение Гаусса. Обладает свойством масштабной инвариантности, для него характерно наличие медленно спадающей асимптотики (тяжёлых хвостов): сходится к степенному закону для больших значений х; имеет место значительное количество больших флуктуаций, способных возникать посредством одного прыжка. В случае супердиффузии можно определить среднее арифметическое из длины скачков, но не математическое ожидание, так как распределение Леви не имеет верхнего предела.

В модели случайного блуждания частиц в сильнонеоднородных средах (а природные среды обычно таковыми и являются) вместо гауссова распределения длины пробега используют а-стабильное распределение Леви, характеризующееся бесконечно большой дисперсией и наличием степенных хвостов. В этом случае частицы время от времени совершают полеты Леви — перемещаются на значительные расстояния. В геологической среде это интерпретируют как попадание частицы в длинную трещину, внутри которой перемещение считается мгновенным. Особенностью прыжков Леви является возможность частицы на каждом шагу смещаться на сколь угодно большие расстояния, причём среднеквадратичное смещение за единичный промежуток времени оказывается бесконечным. При этом посещённые во время диффузии точки объединяются в кластеры, хорошо разделённые в пространстве, причём каждый из кластеров состоит из совокупности кластеров, так что образуется иерархическая структура из самоподобных кластеров.

Рис. 9. Средний квадрат смещения 2(0> для различных типов диффузии: 1 — классическая диффузии, 2>~?; 2 — субдиффузия 2(t)>~t/, y2(0>~Р, у>1.

Замечание. Следует различать фрактальную диффузию и диффузию по фракталам. Поскольку фрактальная диффузия и диффузия по фракталам — разные процессы, то уравнение фрактальной диффузии нельзя использовать для описания блуждания по фракталам. При блуждании по фракталам диффузионный пакет расплывается по закону, а при фракталной диффузии.

т. е. гораздо быстрее. В случае блуждания на фракталах показатель |3/(2а) меняется в интервале (о, ½) и супердиффузионный режим (показатель >½) вообще не возникает. Причина в том, что фрактально блуждающая частица после вылета из атома всегда может уйти на большое расстояние, тогда как в случае блуждания на фрактале она может оказаться запертой между соседними кластерами, совершая между ними большое число переходов. Различаются и плотности распределений для фрактальной диффузии и диффузии по фракталам. Рис. ю. Изменение во времени распределения концентрации при диффузии их точечного источника при различных законах диффузии: 1 — классическая (фиковская) диффузия (нормальное распределение), 2 — диффузия по фракталам (замедленная диффузия), 3 — фрактальная (ускоренная диффузия).

Суби супердиффузия входят в класс аномальных диффузионных процессов. Аномальная диффузия встречается в таких областях, как турбулентная диффузия в плазме, миграция влаги в почве, перемещение радона и природного газа в геологических средах, перенос зарядов в аморфных полупроводниках, диффузия в пористых материалах, «скользящая» диффузия по твёрдой поверхности и т. п.; ею описывается движение бактерий, полёт альбатроса, перемещение денежных купюр и т. п.

Перейдём теперь к феноменологическому описанию фрактальной диффузии. Для описания процессов аномальной диффузии предложено несколько подходов, использующих переменные коэффициенты диффузии, корреляции дробного порядка, дробные лапласианы, скачкообразные блуждания, обобщения уравнений Ланжевена, Фоккера—Планка и др. Простейший способ описания процесса переноса на фрактальных (самоподобных) объектах заключается в модернизации коэффициента диффузии путём включения в него показателя фрактала при оставлении традиционной формы второго закона Фика. Например, при описании кинетики нестационарного проникновения аэрозоля с токсином сквозь лесополосу можно использовать уравнение:

где «фрактальный» коэффициент диффузии Здесь D — коэффициент, описывающий скорость перемещения аэрозолей, а — доля объёма системы, доступного для миграции, dv — диаметр пустот, доступных для миграции, da — средний диаметр частицы аэрозоля, г — размерность структуры, контролирующая процессы миграции, df — фрактальная размерность, характеризующая степень связности структуры. В случае расчёта переноса радиоактивного аэрозоля сквозь лесополосу, фрактальную размерность выбирают в зависимости от вида деревьев (естественно, что фрактальная размерность кроны сосны кардинальным образом отличается от фрактального размера кроны ели). При необходимости, Df можно существенно усложнить, включив в него параметры, описывающие кинетику химических превращений радиоактивного вещества, радиоактивный распад основного изотопа, процессы адсорбции на компонентах экосистемы, процессы ядерной отдачи и др.

Опыт математического моделирования диффузии на фракталах с последующим сравнением с экспериментальными данными показал, что модернизация коэффициента диффузии далеко не всегда адекватно описывает процессы массопереноса на фракталах. Лучшие результаты даёт модернизация базового уравнения диффузии — переход к уравнениям в частных производных с дробными степенями.

Наилу’чшие результаты получены с помощью уравнений дробных производных. Математический аппарат интегродифференцирования дробного порядка позволяет описывать процессы в системах, для которых существенен учёт нелокальных свойств по времени и пространству. Интерпретация производных дробного порядка как способ учёта эффектов памяти (нелокальность по времени) и пространственных корреляций (иелокальность по координатам) привела к их широкому применению.

Уравнения в дробных производных описывают эволюцию некоторой физической системы с потерями, причём дробный показатель производной указывает на долю состояний системы, сохраняющихся за всё время эволюции. Эти системы с «остаточной» памятью занимают промежуточное положение между системами, обладающими полной памятью, с одной стороны, и марковскими системами, с другой.

Кинетику субдиффузии описывают решениями дифференциальных уравнений с дробными производными по времени.

Уравнение для 2-го закона Фика на основе дробной производной по времени имеет вид Это интегроразностное уравнение выравнивания концентрации при осубдиффузии — описывает случайный процесс, замедляющийся во времени, — диффузию по фракталам. Дробная производная по времени возникает при учёте нелокальности по времени (например, при миграции в ветвящихся фрактальных структурах, в пористых телах — из-за прилипания диффундирующих молекул к стенкам пор, адсорбции).

Кинетику супердиффузии описывают решениями дифференциальных уравнений с дробными производными по координате:

где функция C (x, t) характеризует концентрацию диффузанта; — оператор дифференцирования дробного порядка, а по х; D>о — константа размерности LaTl (обобщённый коэффициент диффузии); (3 — коэффициент асимметрии, характеризующий направление переноса вещества при а—>1; х и t — пространственная и временная переменные. В общем виде уравнение диффузии имеет вид:

где Df — частная производная по координате, а частная производная по координате — постоянный коэффициент диффузии.

Здесь, а — дробный порядок дифференцирования по пространству; р — коэффициент асимметрии (скошенности), характеризующий направление переноса вещества при а—>1; а=2 — классическая диффузия, 1<�а<2 — суп ер диффузия; у — дробный порядок дифференцирования по времени, y=i — классическая диффузия, о1 скорость процесса выше, чем в классическом случае, и процесс с течением времени ускоряется. В этом случае проявляются волновые свойства решения.

Коэффициент, а характеризует неоднородность, гетерогенность среды, в которой происходит перенос вещества, коэффициент р — неизотропность или несимметричность этой среды. Даже небольшое отклонение параметра, а (1.

Порядки дробных производных определяются фрактальной размерностью df. При этом параметр у отвечает за флуктуации концентрации радионуклида во времени следующий параграф), а параметр, а — за флуктуации концентрации радионуклида в пространстве.

Если среднее расстояние между мигрирующими атомами бесконечно, то на всех масштабах будут наблюдаться пустоты вперемежку' со оущениями, т. е. перемежаемость.

Перемежаемостъ — вид стохастических колебаний, при которых сигнал, развивающийся во времени почти периодически (ламинарные фазы движения), случайным образом сменяется короткими турбулентными встлшками.

При перемежаемости, в каком бы масштабе не наблюдать распределение точек по оси, оно выглядит прерывистым. Области сгущения сменяются (перемежаются) пустотами. Это — стохастический фрактал с фрактальной размерностью, которая совпадает с порядком дробной производной в диффренциальном уравнении, описывающем диффузию. В больших масштабах распределение точек выглядит однородным. Такие свойства интерпретируются как фрактальность среды (наличие больших пустот на всех масштабах) и память частицы (вероятность покинуть ловушку в единицу времени зависит от того, когда частица в неё попала). В режиме перемежаемости движение состоит из точек относительной неподвижности, фиксаций, и быстрых скачков по пространству. Такая динамика относится к механизму розового «взрывного» шума, в котором периоды стабильности сменяются этапами частой смены амплитуды. Траектория образует отчётливые кластеры, группы, которые соответствуют «взрывным» периодам во фликкер-пуме.

.

Рис. 11. Регулярное (слева) и фрактальное (справа, а=0>75> перемежаемость) распределение атомов на прямой.

Таким образом, при описании массо-переноса радиоактивных веществ в сильно неоднородных природных и техногенных средах, особенно при наличии процессов случайной или направленной адвекции, следует определить возможность реализации трёх трипов диффузии: классической (нормальной, фиковской), субдиффузии (замедленной диффузии) и супердиффузии (ускоренной диффузии), так же предусмотреть возможность стохастических флуктуаций в потоках радионуклидов (перемежамость).