Методы оптимизации. 
Электрические машины. 
Расчет и конструирование электромагнитных механизмов

Существуют аналитические и численные методы оптимизации. Аналитические применяются для простых критериев оптимальности и относительно простых задач, которые часто могут быть сформулированы лишь вследствие идеализации и упрощений.

Для сложных задач и целевых функций обычно используют универсальные численные методы оптимизации, называемые также алгоритмическими или машинными методами. Оптимизация — это поиск экстремума целевой функции (минимума или максимума) и значений независимых переменных (аргументов), соответствующих этому экстремуму.

В п. 2.1. в выражении (2.1) целевая функция Ц (1_ср, Г, Р, С) зависит от четырёх аргументов: t_cp, Г, Р, С. Обозначение функции lj (t_cp, Г, Р, С) равносильно обозначению U,=f{t_cp, Г' Р, С).

Представить себе график зависимости целевой функции от трёх и более аргументов — невозможно. Поэтому для дальнейших пояснений воспользуемся функцией двух аргументов.

Например, если значение функции цели Ц (х, у) двух независимых переменных х и у изменяется от 0.6 до 2.3 (рис. 2.1), то по её минимальному значению можно установить те аргументы х и у, которые обеспечивают (или, как говорят, доставляют) минимум целевой функции. Для этого примера они равны соответственно эг=0.30, у=0.82. Это и есть оптимальные переменные. Таким же способом можно установить оптимальные переменные и для функции многих переменных: если найден её минимум, то его доставили оптимальные переменные.

Рис. 2.1.

Из рис.2Л видно, что функция цели Ц имеет несколько частных (локальных) и два глобальных экстремума. Из максимумов — два частных (локальных) и один глобальный, минимумов — один частный (локальный) и один глобальный.

Наглядное геометрическое представление о характере изменения функции двух переменных можно получить, рассматривая её линии уровня (или, для функции трёх и более аргументов, — поверхности уровня), то есть линии или поверхности, где данная функция сохраняет постоянное значение.

Линией уровня функции Ц=/(х, у) двух независимых переменных д; и у называется множество всех точек плоскости ОХУ (см. рис. 2.1), для которых данная функция имеет одно и то же значение: Ц (х, у)=С, где C=const. Постоянные значения функции (один и тот же уровень функции) может быть получен пересечением плоскостей, параллельных плоскости 0XY, с поверхностью, представляющей функцию цели. Так как имеется множество плоскостей, параллельных плоскости ОХУ, то и линий равного уровня также множество. На рис. 2.1 изображены только отдельные линии.

Поверхностью уровня функции п (п > 3) переменных называется множество всех точек «-мерной поверхности, для которых данная функция имеет одно и то же значение. Как правило, целевая функция для оптимизации ИДМ содержит более трёх независимых переменных (и > 3). В этом случае представить п- мерную поверхность равного уровня невозможно.

Вернёмся к функции цели двух независимых переменных (рис. 2.1).

Любой точке линии равного уровня в плоскости OXY соответствует такая комбинация аргументов (те значения аргументов х и у), которые доставляют целевой функции одно и то же численное значение. И имеются только две комбинации аргументов (две точки на плоскости OXY), соответствующие одна — глобальному максимуму, а вторая — глобальному минимуму (для минимума это *=0.30,у=0.82).

Если целевая функция записана в виде (2.1), то поиск оптимального варианта это — минимизация Ц, а если в виде (2.2), то это — максимизация целевой функции Ц1.

где А- константа, численно превосходящая любое возможное значение Ц .

Понятно, что максимуму Ц1 соответствует минимум Ц. Таким образом, практически безразлично использовать ли методы минимизации функции цели Ц (х, у) или максимизации Ц1(х, у).

Имеется большое число различных машинных методов оптимизации:

• • основанные на применении принципа максимума;
• • основанные на применении классических математических методов;
• • основанные на применении линейного и нелинейного дискретного программирования;
• • основанные на применении динамического программирования;
• • основанные на применении градиентных методов;
• • специальные методы оптимизации;
• • методы оптимизации графов и граф-сетей;
• • методы оптимизации в условиях неопределенности.

Выбор метода оптимизации для решения конкретной задачи зависит от многих факторов: от принадлежности объекта оптимизации к тому или иному классу, от способа задания критерия оптимальности, от сложности реализации модели оригинала на ЭВМ, от личных склонностей и уровня подготовки расчётчика.

Для оптимизации технических устройств, в частности ИДМ, часто применяют градиентные методы. Они считаются эффективными при небольшом количестве оптимизируемых переменных (до 10−15 шт) и при относительно небольшой трудоёмкости вычисления частных производных целевой функции по переменным.

Кроме градиентного, хорошие результаты даёт метод деформируемого многогранника (симплекса), разработанный Нелдером и Мидом [Л7]. Наличие ограничений, накладываемых на оптимизируемые переменные, привели Бокса в 1964 году к созданию своего метода. По существу, он является модификацией симплексного метода Нелдера-Мида, однако позволяет учитывать ограничения. Бокс назвал его комплексным методом (см. п. 2.8.);