Имитационное моделирование динамических систем

Моделирование динамических систем по сути является базисом системно-динамического подхода моделирования [9].

Моделирование с помощью данного подхода используется в мехатронике, электрической, химической и других инженерных областях в качестве стандартного этапа процесса разработки. С математической точки зрения динамическая система представляет собой набор переменных состояния и алгебраических дифференциальных уравнений различного вида, заданных для этих переменных и описывающих их изменение с течением времени. В отличие от системной динамики переменные здесь несут некоторый физический смысл: координаты местоположения, скорость, ускорение, сила, концентрация и т. д.; они, как это следует из их смысла, непрерывны и не являются агрегированными величинами, отражающими, например, общее количество или среднее значение нескольких сущностей.

Следует отметить, что при моделировании динамических систем шаг модельного времени (time step) должен быть очень мал (существенно менее одного дня) и максимально соответствовать реальному времени. От этого напрямую зависит адекватность модели динамической системы.

Моделирование динамических систем поддерживается многими системами имитационного моделирования, в том числе Powersim, Any Logic, SimuLink и др.

В частности, система Any Logic предоставляет специальные элементы для задания дифференциальных и алгебраических уравнений:

• • накопитель — для реализации дифференциальных уравнений;
• • динамическая переменная — для формул.

Система AnyLogic поддерживает несколько численных методов для решения дифференциальных, алгебраических и смешанных систем уравнений. Численный метод автоматически выбирается исполняющим модулем системы AnyLogic в соответствии с поведением моделируемой системы.

Система AnyLogic является инструментом, язык моделирования которого не задает исключительно непрерывное или дискретное поведение, а может задавать модели с гибридным поведением. Имеется возможность создания гибридной модели посредством добавления дискретных событий, которые будут влиять на непрерывное поведение моделируемой системы. Например, можно добавить событие, отслеживающее значения непрерывно изменяющихся переменных и выполняющее некоторые действия при достижении значением переменной какого-то определенного порога; или событие, которое изменяет параметр уравнения и тем самым влияет на моделируемую динамическую систему.

При решении обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка, как правило, используется метод Рунге — Кутты с фиксированным шагом. В случае систем алгебраических и смешанных уравнений система AnyLogic использует метод Ньютона, варьирующий шаг интеграции для достижения необходимой точности.

Система Powersim также обеспечивает возможность решения дифференциальных уравнений в моделях динамических систем с использованием метода Рунге — Кутты различного порядка.

Системы имитационного моделирования поддерживают моделирование физических систем с помощью метода конечных элементов — численного метода решения дифференциальных уравнений с частными производными, а также интегральных уравнений, возникающих при решении задач прикладной физики. В этом случае в модели обычно используются массивы и размерности. При этом в уравнениях можно ссылаться на следующий и предыдущий элементы.

Рассмотрим поддержку численных методов в системе Powersim.

Интеграция 1-го порядка:

aux F = EULER (Expression) // соответствует первому порядку интеграции для переменной F

Непрерывные потоки:

Levelt + At = Levelt + inflowst — outflowst = Levelt + dt*(‘In Rate l’t) + + dt*(‘In Rate 2't) + … — dt*(‘Out Rate l’t) — dt*(‘Out Rate 2't) + …

Метод Рунге — Кутты используется для достижения высокой степени точности при интегрировании потока.

Метод Рунге — Кутты 2-го порядка:

Оценка потока по двум точкам на интервале [?; t + dt]:

FI = dt*F (L_x, T).

F2 = dt*F (L_x + FI, T + ¾*dt).

Вычисление значения уровня с точностью второго порядка, используя взвешенную сумму точек F_x и F₂:

L_T+dt = L_x+ 1/3* FI + 2/3* F2.

Метод Рунге — Кутты 3-го порядка:

FI = dt*F (L_T, Т).

F2 = dt*F (L_T + ½ * FI, Т + ½ * dt).

F3 = dt*F (L_x + ¾ * F2, Т + ¾ * dt).

Lr_+(lt = L_T + 2/9*Fl + 3/9* F2 + 4/9*F3.

Метод Рунге — Кутты 4-го порядка:

FI = dt*F (L_T, Т).

F2 = dt*F (L_x + ½ * FI, Т + ½ * dt).

F3 = dt*F (L_x + ½ * F2, T + ½ * dt).

F4 = dt*F (L_r + F3, T + dt).

Lr_+dt = L_x + 1/6* FI + 2/6* F2 + 2/6* F3 + 1/6* F4.

Рассмотрим простейший пример использования метода Рунге — Кутты в системе Powersim.

Имеется система, состоящая из двух уровней с входящими потоками, отличающимися методами их интегрирования (рис. 3.10).

Рис. 3.10. Двухуровневая система с различными входящими потоками.

Ниже представлена техническая реализация двухуровневой системы с различными входящими потоками в системе Powersim в программной форме.

level А=1.

aux Direct_A = A*l"l/da>>

flow А= +dt*(Direct_A).

level X=1 aux Euler_X = Euler (X)*l"l/da>>

flow B= +dt*(Euler_X).

Когда при симуляции используется метод Рунге — Кутты с фиксированным шагом 4-го порядка (Runge-Kutta 4 (RK4) Fixed Step) и шаг модели 0,5"da>>, результат интегрирования потока для А и X будет иметь вид, показанный на рис. 3.11.

Рис. 3.11. Значения системных уровней при использовании различных численных методов решения ОДУ.

Из рис. 3.11 ясно, что значение первого системного уровня А, соответствующее более точному методу интегрирования входящего потока (методу Рунге — Кутты 4-го порядка), существенно отличается от значения второго системного уровня X, на котором используется метод Эйлера первого порядка. Метод Эйлера предполагает, что значение потока является константой в течение всего интервала шага модельного времени. В действительности при непрерывном времени значение потока константой не является.

Аналогичная поддержка численных методов Рунге — Кутты реализована в системе Any Logic.

При запуске модели уравнения собираются в главную систему дифференциальных уравнений (СДУ). Во время моделирования эта СДУ решается одним из встроенных в систему AnyLogic численных методов. Система AnyLogic поддерживает большое коли;

чество численных методов для решения дифференциальных, алгебраических и смешанных систем уравнений.

Вы можете использовать те методы, которые, на ваш взгляд, будут более точно решать уравнения и, соответственно, дадут более точные результаты. Выбрать методы, которые будут использоваться для решения систем уравнений, можно в группе свойств «Численные методы» страницы «Дополнительные панели свойств эксперимента» (рис. 3.12).

Рис. 3.12. Поддержка численных методов в системе Any Logic.

При этом в системе AnyLogic (см. рис. 3.12) имеются следующие параметры:

• • дифференциальные уравнения — метод, используемый для решения дифференциальных уравнений первого порядка;
• • алгебраические уравнения — метод, используемый для решения алгебраических уравнений;
• • смешанные уравнения — метод, используемый для решения смешанных дифференциально-алгебраических уравнений.

Имеется возможность настройки параметров численных методов, используемых для решения уравнений, в разделе «Точности» рассматри ваемой стран и цы.

Абсолютная точность — требуемое значение абсолютной точности вычисления уравнений. Абсолютная точность используется тогда, когда невозможно использовать относительную точность — например, если значение близко к нулю.

Относительная точность — требуемое значение относительной точности вычисления уравнений для методов с меняющимся шагом интегрирования (например, для метода Ньютона). Используется по умолчанию.

Временная точность — требуемая временная точность обнаружения временных событий (точек переключения) при решении уравнений.

Фиксированный шаг по времени — шаг по времени для методов с постоянным шагом (например, Рунге — Кутты).

Далее рассмотрим простой пример реализации динамической системы, представленной в виде имитационной модели нефтеперерабатывающей установки компаундирования бензинов.

В рассматриваемой модели имеется несколько резервуаров с бензинами. На вход установки подается сырье с других перерабатывающих установок, в первую очередь низкооктановый бензин (подается с установки риформинга), н-бутан, алкилат и др. При этом на выходе установки (в системных резервуарах), поскольку такие резервуары являются сообщающимися, за счет дифференциации скоростей перетекания бензинов между резервуарами и последующей диффузии удается добиться получения бензинов с различным октановым числом (А-76, А-80, АИ-91 и т. д.).

Важной особенностью данной модели является различие в скорости смешивания продуктов в резервуарах. Именно это различие и позволяет формировать бензины с различным октановым числом.

Динамика формирования бензинов с различным октановым числом в упрощенном виде может быть описана следующей системой дифференциальных уравнений:

Здесь v₇₂(t), v₇₆(t)>…, ^₉₈(0 — объемы выработки бензинов с различным октановым числом; fn_v fn_v…, fn_n — заданные скорости перетекания бензинов между резервуарами; — известные объемы сырья, необходимого для производства высокооктанового бензина (г = 1, 2, I — индекс вида сырья, поступающего на вход установки).

Для более точной оценки динамики выработки бензинов с различным октановым числом необходимо построение модели, описывающей соответствующие физико-химические (диффузионные, каталитические и др.) процессы. При этом имитационное моделирование позволяет получить приближенное решение данной динамической системы, которое может быть вполне приемлемо в системах стратегического управления.

Аналогичным образом, т. е. с использованием приближенных методов имитационного моделирования, могут быть разработаны динамические модели других производственных установок.

Подробнее имитационная модель нефтеперерабатывающего предприятия рассматривается в гл. 11.