Последовательно-параллельные структурные модели надежности резервированных систем

Рассмотрим оценку надежности для основных структурных моделей надежности систем, представимых в виде параллельно-последовательного соединения элементов [3—81.

Последовательное соединение элементов. Если для функционирования системы необходима работоспособность всех элементов, то структурная схема надежности сводится к последовательному соединению всех элементов (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Последовательное соединение элементов

Вероятность безотказной работы системы с последовательным соединением элементов при независимости их отказов P (t) равна произведению вероятностей безотказной работы элементов:

где p_i — вероятность безотказной работы /-го элемента; п — количество последовательно соединенных элементов, t — время работы.

Для систем из п равнонадежных элементов:

При постоянной (не меняющейся со временем) интенсивности отказов X для элементов при экспоненциальном распределении времени до отказа:

Если последовательное соединение включает элементы h типов, то где N_t — число элементов /-го типа.

Наработка до отказа Т системы из неравнонадежных элементов вычисляется как

Если система построена из п равнонадежных элементов, то наработка до отказа вычисляется как.

Параллельное соединение элементов. Для параллельного соединения элементов (рис. 4.3) при резервировании с постоянным включением элементов система сохраняет работоспособность при исправности хотя бы одного из п элементов.

Рис. 4.3. Параллельное соединение элементов.

Вероятность безотказной работы для п параллельно соединенных элементов (кратность резервирования (п — 1)/1) вычисляется как.

Для систем из элементов равной надежности:

При экспоненциальном распределении работы элементов:

Если система построена из п равнонадежных элементов, то наработка до отказа вычисляется с учетом того, что в исходном состоянии, когда все элементы работоспособны, суммарная интенсивность отказов всех п элементов равна пк, после одного отказа она равна (п — 1)^, а после i отказов она уменьшается до (п — г) Х.

Таким образом, наработка до отказа вычисляется как.

Параллельное соединение элементов при резервировании с замещением. Параллельное соединение элементов при резервировании с замещением (холодный резерв) представлено на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Параллельное соединение элементов при резервировании с замещением.

В рассматриваемых системах в каждый момент времени работает, а соответственно может отказать, только один элемент с интенсивностью X. За рассматриваемое время t вероятность, что нет ни одного отказа, определяется как е что имеется один отказ — как Хе ^Xt> что будет i отказов — как.

W.

——е и т. д. i

Таким образом, вероятность P (t) того, что за время t работоспособность сохраняет хотя бы один из п элементов, равна.

Если система построена из п равнонадежных элементов, то наработка до отказа вычисляется с учетом того, что в исходном состоянии, когда все элементы работоспособны, отказывает только один функционирующий элемент, интенсивность отказов которого X. После одного отказа интенсивность отказов одного функционирующего элемента остается равной X и т. д.

Таким образом, наработка до отказа всех п элементов вычисляется как.

При облегченном (теплом) резервировании, когда интенсивность основного элемента X, а резервного — Х₀, среднее время до отказа вычисляется как.

Первое слагаемое соответствует последнему этапу функционирования, когда работает только один элемент, а резерва нет (последнее работоспособное состояние перед отказом), второе — когда один работает и один находится в резерве, и т. д. Последнее слагаемое соответствует исходному состоянию, при котором один основной элемент работает и может отказать с интенсивностью X, а (п — 1) элементов, находясь в резерве, отказывают с суммарной интенсивностью (п — 1) А,₀.

Общее резервирование целой кратности с постоянно включенным резервом. Структура системы с общим резервированием целой кратности с постоянно включенным резервом (горячий резерв) приведена на рис. 4.5, при этом вероятность безотказной работы системы вычисляется как.

где pft) — вероятность безотказной работы i-го элемента в течение времени ?; п — число последовательно соединенных элементов цепи; т — число резервных цепей (кратность резервирования (т/1)).

Рис. 4.5. Общее резервирование целой кратности с постоянно включенным резервом

При экспоненциальном распределении времени до отказа элементов

Средняя наработка до отказа:

и.

где А, — суммарная интенсивность отказов п последовательно соединен- j-1.

ных элементов; — интенсивность отказов j-го элемента.

Общее резервирование целой кратности с резервированием замещением. Структура системы с общим замещением при целой кратности резервирования приведена на рис. 4.6.

Рис. 4.6. Общее резервирование целой кратности с резервированием замещением

При последовательном соединении в каждой параллельной цепи п одинаковых элементов с одинаковой интенсивностью отказов.

При последовательном соединении в каждой параллельной цепи п элементов с разной интенсивностью отказов.

Поэлементное резервирование с постоянным включением резерва.

Структурная модель надежности системы с поэлементным резервированием при постоянном включении резерва представлена на рис. 4.7.

Будем считать, что в системе имеется п последовательно соединенных основных элементов, при этом i-й элемент имеет кратность резервирования mj.

Рассматриваемая система работоспособна, если во всех п группах параллельно соединенных элементов исправен хотя бы один элемент. Так как.

Рис. 4.7. Поэлементное резервирование с постоянно включенным резервом

в i-й группе имеется один основной и т₁ резервных элементов, а их общее число (m, + 1), то ВБР системы вычисляется как.

где pft) — ВБР элемента z-й группы.

Средняя наработка до отказа вычисляется как.

Если все элементы равновероятны и кратность их резервирования одинакова и равна т/1 (один основной и т резервных элементов), то.

Средняя наработка до отказа вычисляется как.

При экспоненциальном распределении времени до отказа элемента.

Поэлементное резервирование с включением резерва замещением.

Схема поэлементного резервирования с включением резерва замещением приведена на рис. 4.8.

Рис. 4.8. Система поэлементного резервирования замещением

Рассмотрим систему из двух последовательно соединенных элементов при их резервировании замещением. За время t вероятности, что не будет ни одного отказа первого типа элемента и будет один его отказ, вычисляются соответственно как.

аналогично для второго элемента:

Таким образом, вероятность безотказной работы системы за время t при требовании работоспособности хотя бы одного элемента каждого типа вычисляется как.

При поэлементном резервировании п элементов, если имеется т_к элементов k-ro типа при их резервировании замещением (холодный резерв) ВБР структуры вычисляется как.

где Комбинированное последовательно-параллельное соединение элементов. Структурная схема надежности может включать комбинации последовательно-параллельного соединения элементов. Пример подобных структур приведен на рис. 4.9.

Расчет надежности таких систем сводится к многоэтапной процедуре с выделением рассмотренных выше типовых схем последовательно-параллельного соединения элементов.

Для соединения элементов модели надежности, представленной на рис. 4.10, вероятность отказа (работоспособности) найдем поэтапно, выде;

Рис. 4.9. Комбинации последовательных (а) и параллельных (б) соединений элементов.

ляя цепи, расчет надежности которых сводится к ранее рассмотренным случаям:

• 1) вероятность отказа первой цепи 1 -р_{р₂Ру
• 2) второй: 1 — рьр₅р₆р₇;
• 3) третьей: 1 — р₈р₉
• 4) четвертой: 1 — р₁₀;
• 5) вероятность безотказной работы всей системы:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Резервные.

Рис. 4.11. Структура типа «k из п»

Рис. 4.10. Структурная модель надежности при комбинации параллельно-последовательного соединения элементов

Структура тина «k из и». Структура типа «к из п» (рис. 4.11) работоспособна, если работоспособно хотя бы к из п элементов. При к = 1 структура преобразуется в параллельное соединение, при к = п — в последовательное соединение.

Вероятность безотказной работы структуры «к из п» при равной надежности элементов и постоянном включении резерва (горячий резерв) вычисляется как.

где С_п(р (*Ж 1 ^_ Р (ОУ ' ~ вероятность безотказности за время t ровно i элементов структуры, С'_п = n/i (n — i) p (t) — ВБР элемента.

Наработка до отказа рассматриваемых систем при нагруженном резерве определяется как.

Модель надежности со структурой типа «к из п» может использоваться при оценке надежности вычислительных систем кластерной архитектуры.

В кластерной вычислительной системе значение к может определяться исходя, например, из минимального числа компьютеров, обеспечивающих стационарный режим обслуживания запросов при заданной интенсивности входного потока. Для управляющих вычислительных систем значение к может обусловлено выделением на каждый объект управления отдельного управляющего компьютера.

При резервировании замещением (холодный резерв) вероятность безотказной работы системы [9].

Наработка до отказа рассматриваемых систем при ненагруженном резерве определяется с учетом того, что система функционирует, пока не откажет п — к + 1 элемент. Таким образом,.

Модель надежности, соответствующая структуре «2 из 3», используется, например, при оценке надежности трехканальных систем мажоритарного резервирования (см. рис. 3.6), в которых результат формируется по большинству, т. е. система сохраняет функционирование при исправности не менее двух из трех каналов. Аналогично при пятиканальной схеме мажоритарного резервирования модель расчета надежности сводится к структуре «3 из 5».

Вероятность безотказной работы системы с мажоритарным резервированием

где int (??/2) — ближайшее целое не меньшее п/2; Р_м, р — вероятности безотказной работы мажоритарного элемента (органа) и резервируемого устройства (канала, элемента).

Так, для трехканальной и пятиканальной мажоритарной (троированной) системы ВБР определяется соответственно как.

На рис. 4.12 показана зависимость ВБР Р_м системы с мажоритарным резервированием от ВБР резервируемых элементов при различном числе резервируемых элементов п. Из рис. 4.12 видно, что мажоритарное резервиро;

0 0,5 Р

Рис. 4.12. Надежность мажоритарно резервированной системы

вание повышает надежность системы, когда ВБР элемента (канала) р > 0,5; в противном случае надежность системы снижается, несмотря на ее избыточность. Учет ненадежности самого мажоритарного элемента еще более сужает область целесообразного использования мажоритарного резервирования.

Схема мажоритарного резервирования не позволяет достичь вероятности безотказной работы системы больше, чем ВБР мажоритарного элемента Р_м.

Рис. 4.13. Последовательное соединение с мажоритарным резервированием элементов

Для схемы с последовательным соединением мажоритарно резервированных элементов, представленной на рис. 4.13, ВБР системы вычисляется как Слабым звеном соединения по рис. 4.13 является последовательная цепочка мажоритарных элементов. Данный недостаток устраняется в схеме с мажоритарным резервированием при резервировании и самих схем мажоритарной логики (рис. 4.14).

Рис. 4.14. Последовательное соединение с резервированием мажоритарных элементов

ВБР системы с последовательным соединением мажоритарно резервированных элементов и резервированием самих мажоритарных элементов по рис. 4.14. вычисляется как.