Стационарные временные ряды

Под стационарными временными рядами понимают такие временные ряды, элементы которых являются случайными величинами с постоянным математическим ожиданием и постоянной дисперсией. Различают два типа стационарных рядов [2, 3, 19].

Временной ряд называется слабо стационарным (стационарным в широком смысле), если:

• математическое ожидание и дисперсия элементов временного ряда постоянны:

для всех возможных ?;

• ковариация между различными элементами временного ряда зависит только от сдвига этих элементами во времени относительно друг друга:

для всех возможных t, т.

Временной ряд называется строго стационарным (стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей т значений временного ряда x (t_x)> x (t₂), x (t_m) совпадает с распределением вероятностей т значений временного ряда, сдвинутых по времени на величину т: x (t_t + т), x (t₂ + т),x (t_m + т) для всех возможных т, ty t₂,…, t_m, т.

Если а, о² и у (т) конечны, то из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле.

Простейшим примером стационарного временного ряда является так называемый «белый шум». Элементы такого временного ряда представляют собой независимые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией. Если распределение этих случайных величин нормальное, то такой временной ряд называется гауссовским белым шумом.

При выполнении некоторых дополнительных условий эргодичности [3, 44, 551 возможно оценивание основных статистических характеристик стационарного временного ряда по имеющимся наблюдениям .г (1), х (2)_у…, x (N):

Функция у (т) называется автоковариационной функцией и отражает тесноту линейной связи (ковариацию) между различными элементами одного и того же временного ряда, отстоящими друг от друга на т моментов времени. Нетрудно заметить, что при т = 0 автоковариационная функция совпадает с дисперсией временного ряда:

Автоковариационная функция может принимать любые значения в зависимости от исходных данных, что делает ее не очень удобным инструментом эконометрического анализа вследствие невозможности сопоставления автоковариационных функций для различных временных рядов, относящихся, например, к одному и тому же объекту. Выходом является обращение к безразмерным функциям, аналогичным коэффициентам корреляции.