Задачи. 
Экологический мониторинг

3.1. Блок индикации БИКОР-02 обеспечивает непрерывную цифровую индикацию измеряемой величины. У этого прибора диапазон входных величин (ток) 0—5 мА или 4—20 мА, а диапазон выходных величин — 0—100%. Его статическая характеристика имеет вид.

где Y — показания блока индикации, %; 7_min, /_шах — минимальный (0 или 4 мА) и максимальный ток (5 или 20 мА) соответственно; / — величина входного тока, мА.

При снятии статической характеристики блока индикации с диапазоном измерения входных величин 0—5 мА были получены экспериментальные данные, указанные в табл. 3.2.

В результате 40 измерений в фиксированной точке I = 1,0 мА при приближении к ней снизу и сверху величина Y приняла значения из табл. 3.3.

Результаты измерений статической характеристики.

Таблица 3.3

Результаты измерений массива данных.

По экспериментальным данным определите метрологические характеристики блока индикации БИКОР-02, осуществите его поверку, запишите результаты измерения, но ГОСТу, постройте полигон и гистограмму распределения и проверьте гипотезу о нормальном законе распределения результатов измерения по критерию X² Пирсона (К. Pearson — английский математик, биолог, философ, 1857—1936).

Решение

По данным табл. 3.2 и уравнению (3.4) рассчитаем абсолютную погрешность Д и составим табл. 3.4. По данным табл. 3.2 и 3.4 рассчитаем относительную погрешность измерения б (3.3) и составим табл. 3.5.

Таблица 3.4

Абсолютная погрешность измерений А.

Относительная погрешность измерений 5.

По данным габл. 3.2 и 3.4 рассчитаем приведенную погрешность измерения 6_П|, и составим табл. 3.6.

Таблица 3.6

Приведенная погрешность измерений 8_пр

В результате аппроксимации исходных данных получаем коэффициенты линейной (а = 19,96 250, b = 0,6 750) и квадратичной аппроксимации (а = -0,1 964, b = = 20,8 036, с = -0,7 000).

Максимальная погрешность линейной аппроксимации составляет 0,399%, а квадратичной — 0,22%. Тогда после округления линейная статическая характеристика прибора имеет вид.

а квадратичная —.

В результате расчета оценок математического ожидания Y и СКО ст на ЭВМ (программа MACK) были получены следующие результаты (табл. 3.7).

Таблица 3.7

Зависимость Y и, а от числа измерений N

Для 40 измерений и доверительной вероятности 0,95 коэффициент Стьюдента ?_Ст = 2,020. Тогда результат измерения можно записать так:

Чувствительность прибора.

Статическая характеристика прибора Y = f (X), зависимости Y = /(и) и а = ](п), а также распределение относительной погрешности по диапазону измерений 5 =/(У) показаны на рис. 3.3—3.6 соответственно.

Рис. 3.6. Распределение относительной погрешности измерения 8 по диапазону измерений 8 =/( Y).

Блок индикации БИКОР-02 имеет следующие метрологические характеристики:

• • диапазон изменения входных величин — ток, 0—5 мА;
• • диапазон изменения выходных величин — проценты, 0—100%;
• • статическая характеристика — линейная, так как закон, лежащий в основе работы блока индикации, линеен и имеет вид

• • чувствительность прибора S равна 20%/мА;
• • максимальная абсолютная погрешность измерения Д_мах = 0,2%;
• • максимальная относительная погрешность измерения

• максимальная приведенная погрешность.

• класс точности блока индикации БИКОР-02 равен 0,5. Поскольку 0,5 > 0,2, то блок индикации пригоден к эксплуатации.

Построим гистограмму и полигон распределения. Для этого вычислим размах изменения R

Далее принимаем число разрядов k = 6. Определяем ширину разряда.

Устанавливаем границы разрядов и подсчитываем число измерений от, в каждом разряде. Число измерений от, записываем в табл. 3.8.

Таблица 3.8

Гистограмма распределения.

Определяем частоту появления величины p_t в данном разряде и заносим в ту же таблицу. По данным табл. 3.8 строим гистограмму и полигон (рис. 3.7), статистический ряд распределения (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Статистический ряд распределения.

Для проверки нормальности закона распределения показаний блока БИКОР-02 в одной точке измерения по критерию у} Пирсона заполняем табл. 3.9 в соответствии с табл. 3.8.

Таблица 3.9

Проверка по критерию у} Пирсона.

Для данного случая k = I — 3 (/= 6), тогда k = 3, х²крит ⁼ 6,25, Р= 0,90. Вычисленный нами критерий у} = 9,5283 > %²_крит, следовательно, гипотеза о нормальном законе распределения результатов измерения не соответствует действительности.

3.2. Во сколько раз уменьшится погрешность измерения, если следовать известной русской пословице «семь раз отмерь — один раз отрежь».

Ответ'. 17 =2,65.

3.3. Какого класса нужно взять измерительный прибор, чтобы в середине шкалы его погрешность измерения не превышала 1%?

Ответ: 0,5.

3.4. Пипетка объемом 25 мл градуирована с погрешностью 0,05 мл. Вычислите относительную погрешность измерения объема жидкости этой пипеткой.

Ответ'. 0,2%.

3.5. С какой погрешностью измерили объем жидкости, равный 16,9 мл? Каким числом следует выразить половину этого объема?

Ответ'. 0,6%; 8,5 мл.

3.6. СИ состоит из п блоков. Надежность (вероятность безотказной работы) в течение времени Т первого блока равна р_{, второго — р₂ и т. д. Блоки отказывают независимо друг от друга. При отказе любого блока отказывает весь прибор. Найдите вероятность того, что СИ откажет за время Т.

• 3.7. Найдите математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:
  • а) X -4 6 10 б) X 0,21 0,54 0,61

р 0,2 0,3 0,5 р 0,1 0,5 0,4.

Ответ: 6; 0,535.

3.8. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно 3, а СКО — 2. Напишите дифференциальную функцию X.

3.9. Проведено три независимых опыта, в каждом из которых событие Л появляется с вероятностью 0,4. Рассматривается случайная величина* — число появлений события А в трех опытах. Постройте ряд распределения и функцию распределения случайной величины *. Найдите ее математическое ожидание, дисперсию и СКО.

Решение

Функция распределения показана на рис. 3.9.

Рис. 3.9. Функция распределения

Ряд распределения

*, 0 1 2 3.

р_{ 0,216 0,432 0,288 0,064.

m = 1,2, D = 0,72, а = 0,85.

3.10. Нормально распределенная случайная величина X задана дифференциальной функцией.

Укажите математическое ожидание и дисперсию. Ответ: X = 1, D = 25.

3.11. Математическое ожидание и СКО нормально распределенной случайной величины Xсоответственно равны 10 и 2. Найдите вероятность того, что в результате измерений X примет значение, заключенное в интервале от 12 до 14.

Решение

3.12. Математическое ожидание и СКО нормально распределенной случайной величины Xсоответственно равны 20 и 5. Найдите вероятность того, что в результате измерений величина X примет значение, заключенное в интервале от 15 до 25.

Ответ: 0,6826.

3.13. Проводится взвешивание навески вещества без систематической ошибки. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону с СКО, равным 20 г. Найдите вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного нс превзойдет по абсолютной величине 4 мг.

Ответ: Р (|х|<10)=2Ф (0,5) = 0,383.

3.14. Результат измерения распределен нормально с СКО 5 мм. Найдите длину интервала, в который с вероятностью 0,9973 попадет результат измерения.

Ответ: 30 мм.

3.15. Найдите доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95, если математическое ожидание равно 14, СКО 5 и объем выборки п = 25.

Решение

t- 1,96, тогда 12,04 < а < 15,96.

• 3.16. Найдите доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99:
  • а) а = 4, X = 10,2, п = 16; б) а = 5, X = 16,8, п = 25.

Ответ: а) 7,63 <�Х< 12,77; б) 14,23 <�Х< 19,37.

3.17. Секундомер имеет цену деления 0,2 с. Какова вероятность отсчета времени этим секундомером с ошибкой более 0,05 с, если отсчет делать с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону?

Ответ: 0,5.

3.18. Азимутальный лимб имеет цену деления 1°. Какова вероятность ошибки при считывании азимутального угла в пределах ±10', если отсчет округляется до ближайшего целого числа градусов?

Ответ: 1/3.

3.19. Ультразвуковой дальномер имеет систематическую погрешность 5 м и СКО 75 м. Какова вероятность того, что ошибка измерения нс превысит по абсолютной величине 5 м?

Ответ: 0,053.

3.20. По результатам 25 наблюдений был найден доверительный интервал отклонений измеряемого давления от наиболее вероятного его значения с доверительной вероятностью Р=0,7 /_{0 7} = 238,4 — 243,7 кг/см². Определите доверительный интервал с доверительной вероятностью Р=0,95, полагая, что отклонения давления распределены по закону Стьюдента, коэффициенты распределения Стьюдента ?_Стдля данного числа измерений и, соответственно, доверительных вероятностей 0,7 и 0,95 равны %=1,0б и *0,95 = 2,07.

Ответ: /_{0 95} = 235,9 — 246,2 кг/см².

3.21. Результаты проведенных измерений показали, что наиболее вероятное содержание кислорода 0₂ в газовой смеси составляет 11,75%. Доверительный интервал погрешности измерения определяли для доверительной вероятности 0,683, и он составил ±0,5% 0₂. Определите границы доверительного интервала при доверительной вероятности 0,95, если известно, что закон распределения погрешности нормальный.

Ответ: /₀₉₅ = 11,75 ± 1,0% 0₂ или 10,75 — 12,75% 0₂.

• 3.22. Определите границы доверительного интервала погрешности измерения уровня жидкости с вероятностью 0,95, если при большом числе измерений было получено, что наиболее вероятное значение равно 1,0 м, а дисперсия — 0,01 м². Погрешность распределена по нормальному закону.
• 3.23. Допустимое отклонение температуры не должно превышать ±10°С от заданного значения. СКО случайной составляющей погрешности, а = 8 °C. Кроме того, имеет место систематическая погрешность -6°С, вызванная отклонением стрелки прибора в сторону занижения. Определите вероятность того, что результат измерения температуры уложится в заданный интервал ±10°С. Случайная погрешность распределена по нормальному закону.

Ответ: Р = 66,87%, а с учетом смещения стрелки — 78,88%.

3.24. При градуировке расходомера в конечной точке шкалы объемным методом получили следующие значения времени наполнения бака:

/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9.

т, с 97,5 94,8 94,7 95,2 94,9 95,3 95,1 95,2 95,3.

Считайте, что эти значения времени распределены по закону Стыодента. Объем бака V = 507 ±0,1 л. Оцените значение расхода и его погрешность, если систематическая погрешность измерения времени отсутствует.

Решение

т = 95,3 с, половина ширины доверительного интервала распределения Стьюдента.

о /0,0825 _.

е = о, Зол—-— = 0, 62. с. Погрешность измерения расхода.

Тогда Q = 5,320±0,018 л/с.

3.25. Температуру слитка металла измерили в пяти различных точках, в результате чего получили следующие значения: 975, 1005, 945, 950 и 987 °C. Определите доверительный интервал погрешности, соответствующий доверительной вероятности 0,95, если коэффициент Стыодента равен 2,13.

Ответ: 948,42 < t < 996,38°С.

• 3.26. Допустимое значение температуры материала нс должно превышать ±10°С от заданного значения. СКО случайной составляющей погрешности равно 6 °C, а систематическая составляющая погрешности — 8 °C. Определите вероятность, с которой результат измерения температуры попадет в заданный интервал, считая закон распределения случайной погрешности нормальным.
• 3.27. Определите границы доверительного интервала погрешности измерения давления с вероятностью 0,683, если при большом числе измерений наиболее вероятное значение равно 8 кг/см², а дисперсия — 0,49 (кг/см²)². Погрешность распределена по нормальному закону.
• 3.28. В результате большого числа измерений термоЭДС был определен доверительный интервал 16,73 < X < 17,27 мВ с доверительной вероятностью 0,95. Определите среднеквадратическую погрешность измерения термоЭДС в предположении нормального закона распределения погрешности.
• 3.29. Определите границы доверительного интервала погрешности измерения давления с вероятностью 0,95, если при большом числе измерений наиболее вероятное значение равно 10 кг/см², а дисперсия составляет 0,64 (кг/см²)². Погрешность распределена по нормальному закону.
• 3.30. Определите доверительный интервал, если в результате 10 измерений температуры объекта получили:

II 2 3 4 5 67 8 9 10.

f,°C 975 1,005 945 950 987 967 953 980 980 990.

При этом считать, что погрешности распределены по закону Стыодента, коэффициент Стыодента для доверительной вероятности 0,9 равен 1,833.

Ответ: 962 984,4°С.

• 3.31. В результате большого числа измерений концентрации растворенного кислорода анализатором АКВА в диапазоне 0—20 мг/л с доверительной вероятностью 0,997 определили доверительный интервал 15,34 < X < 16,26 мг/л. Найдите среднеквадратическую погрешность измерения концентрации, полагая, что закон распределения погрешности нормальный.
• 3.32. В результате проведенных измерений оказалось, что наиболее вероятное содержание аммиака в азотоводородной смеси составляет 13,45% NH₃ (шкапа прибора 0—15%, (об.)). Доверительный интервал погрешности измерения определили для доверительной вероятности 0,683, и он составил ±0,6% NH₃. Найдите границы доверительного интервала при доверительной вероятности 0,95, если известно, что закон распределения погрешности нормальный.
• 3.33. Определите границы доверительного интервала погрешности измерения ацетилена оптико-акустическим газоанализатором в технологических газовых смесях с вероятностью 0,95, если при большом числе измерений было получено, что х = = 0,0108%, а дисперсия D = 0,004%². Предполагается, что закон распределения погрешности нормальный.
• 3.34. Проведен ряд измерений концентрации аргона термокондуктометрическим газоанализатором типа «Диск», при этом получены следующие результаты.

Температуры стенки камеры не измеряли, предполагая, что она составляет 20 °C, а измеряемая концентрация аргона при нормальных условиях равна 100% (об.). Определите, какая погрешность доминирует — систематическая или случайная?

• 3.35. Определите границы доверительного интервала в случае измерения давления воды в трубопроводе при доверительной вероятности 0,997, если известно, что число измерений — 5, а математическое ожидание и СКО соответственно равны 21,5 и 0,1 МПа.
• 3.36. В результате большого числа измерений термоЭДС определен доверительный интервал 16,73 < X < 17,27 мВ с доверительной вероятностью 0,997. Найдите среднеквадратическую погрешность измерения термоЭДС, если закон распределения погрешности нормальный.
• 3.37. Определите границы доверительного интервала при изменении температуры с вероятностью 0,683, если при большом числе измерений было получено значение температуры, равное 500 °C, а дисперсия составила 25°С². Предполагается нормальный закон распределения.
• 3.38. Оцените величину абсолютной погрешности определения мощности нагревателя по показаниям амперметра и омметра. Амперметр имеет класс точности 0,1 и диапазон измерений 0—50 Л. Номинальное значение силы тока 20 Л. Номинальная величина сопротивления нагревателя 1 Ом была измерена с абсолютной погрешностью ±0,005 Ом.
• 3.39. Определите границы доверительного интервала погрешности измерения температуры с вероятностью 0,95, если при большом числе измерений было получено, что наиболее вероятное значение равно 1000 °C, а дисперсия — Зб°С². Погрешность распределена по нормальному закону.
• 3.40. Определите границы доверительного интервала при доверительной вероятности 0,95 и нормальном законе распределения, если известно, что наиболее вероятное значение концентрации азота в смеси газов составляет 9%. Доверительный интервал погрешности измерения определялся при доверительной вероятности 0,683 и составил 1%.
• 3.41. В результате большого числа измерений ЭДС был определен доверительный

интервал 14,51 16,11 мВ с доверительной вероятностью 0,683. Определите СКО измерения ЭДС, если закон распределения погрешности — нормальный.

• 3.42. Определите границы доверительного интервала погрешности измерения давления с вероятностью 0,95, если при большом числе измерений было получено, что наиболее вероятное значение равно 10 кг/см², а дисперсия — 0,64 (кг/см²)². Погрешность распределена по нормальному закону.
• 3.43. Определите границы доверительного интервала погрешности измерения уровня жидкости с вероятностью 0,95, если при большом числе измерений было получено, что наиболее вероятное значение уровня равно 1,2 м, а дисперсия — 0,01 м². Погрешность распределена, но нормальному закону.
• 3.44. Доверительный интервал погрешности измерения содержания диоксида серы определялся для доверительной вероятности 0,683 при нормальном законе распределения и составил ±5 мг/м³. Определите границы доверительного интервала при доверительной вероятности 0,95, если известно, что наиболее вероятное содержание диоксида серы составляет 60 мг/м³.
• 3.45. При большом числе измерений тсрмоЭДС определили доверительный интервал 12,51—14,11 мВ с доверительной вероятностью 0,997. Найдите среднеквадратическую погрешность измерения термоЭД С при нормальном законе распределения.
• 3.46. Определите границы доверительного интервала в случае измерения давления воды в трубопроводе при доверительной вероятности 0,95, если известно, что математическое ожидание и СКО соответственно равны 25,1 и 0,1 МПа. Предполагается нормальный закон распределения.
• 3.47. При десяти измерениях длины металлического стержня получили следующие результаты: 358,6,358,5, 358,7, 358,4, 358,3,358,5,358,9, 360, 358,2 и 360,1 мм. Определите 99%-й доверительный интервал, предполагая, что результаты измерения — случайные величины, распределенные по закону Стьюдснта, при этом ?_Ст=3,17.
• 3.48. Определите границы доверительного интервала при доверительной вероятности 0,95 и нормальном законе распределения погрешности, если известно, что наиболее вероятное содержание 0₂ в смеси газов равно 21%. Доверительный интервал погрешности измерения определялся при доверительной вероятности 0,683 и составил 2% 0₂.
• 3.49. Определите погрешность манометра с пневматическим выходным сигналом 0,2—1 кг/см² и пределом измерений 0—6 кг/см², если при давлении 4,5 кг/см² значение выходного сигнала составило 0,8 кг/см².
• 3.50. Запишите уравнение статической характеристики нормирующего ИП градуировки 100 М с диапазоном измерений от -50 до 50 °C и выходным сигналом 0—20 м А.
• 3.51. Определите абсолютные погрешности по входу и выходу манометра типа «Сапфир» с выходным сигналом 0—5 мА и пределами измерений 0—40 кг/см², если при измерении давления 32 кг/см² выходной сигнал составил 3,93 мА. Получите уравнение статической характеристики и оцените чувствительность преобразователя.
• 3.52. Запишите уравнение статической характеристики манометра со стандартным пневматическим сигналом от 0,2 до 1 кг/см² и пределом измерений 0—6 кг/см². Оцените погрешность измерения манометра, если при давлении 4,5 кг/см² значение выходного сигнала составляет 0,84 кг/см².
• 3.53. Концентрация метана измеряется оптико-акустическим газоанализатором тина «Кедр» с диапазоном измерений 0—20% (об.) и классом точности 4, имеющим выходной сигнал 0—5 мА. Оцепите предел допускаемой абсолютной погрешности, приведенной ко входу и выходу газоанализатора, и запишите уравнение его статической характеристики.
• 3.54. Определите погрешность по входу измерительной цени из манометра и вторичного прибора. Манометр имеет электрический выходной сигнал 4—20 мА и диапазон измерений 0—40 кг/см². Чувствительность манометра определена с относительной погрешностью 1% при доверительной вероятности 0,95. Вторичный показывающий прибор имеет относительную погрешность 2% в середине шкалы.
• 3.55. Запишите уравнение статической характеристики нормирующего преобразователя, работающего в комплекте с термометром сопротивления градуировки 100 М в диапазоне измерений от -50 до +50°С и имеющего выходной сигнал 4—20 мА. Найдите чувствительность преобразователя.
• 3.56. Определите погрешность манометра по входу с токовым выходным сигналом 4—20 мА и с пределом измерений давления 0—60 кг/см², если при измерении давления 30 кг/см² выходной сигнал составил 11,5 мА.
• 3.57. Определите величину чувствительности и запишите уравнение статической характеристики преобразователя избыточного давления типа «Сапфир» с пределами измерений 0—60 кг/см² и выходным сигналом от 0 до 20 мА. Основная приведенная погрешность преобразователя равна 0,5. Найдите также величину максимальной погрешности преобразователя по входу.
• 3.58. Запишите уравнение статической характеристики и определите погрешность ИП давления по входу с токовым выходным сигналом 0—5 мА и с пределом измерения 0—16 кг/см², если при измерении давления 8 кг/см² выходной сигнал составил величину 2,7 мА.
• 3.59. Определите погрешность манометра, но входу с токовым выходным сигналом 0—5 мА и диапазоном измерений 0—40 кг/см², если при измерении давления 32 кг/см² выходной сигнал составил 3,93 мА.
• 3.60. Определите погрешность по входу и выходу измерительного преобразователя «Коруид-Т» (диапазон измерений 0—100°С, а диапазон показаний 4—20 мА), если при измерении температуры 20 °C его выходной ток равен 3,1 мА.