Разложение циклических групп в прямое произведение своих подгрупп

Теорема 1.21. Бесконечная циклическая группа не представима в виде прямого произведения неединичных подгрупп.

Доказательство. Пусть дана бесконечная циклическая группа G = (а). Предположим, что G = АхВ, где А = (а^п), В — (а^к) при некоторых натуральных п * 1 и к Ф-1. Пусть т — наименьшее общее кратное чисел пик. Тогда е Ф а^т е (а^п) п (а^к), что противоречит определению прямого произведения. Теорема доказана.

Обратимся к конечным циклическим группам.

Теорема 1.22. Если группа G = (g) и |g| =р^а, гдер — простое, то G не представима в виде прямого произведения неединичных подгрупп.

Доказательство. Предположим противное: пусть G — Ах В, где А — (а^п), В = (а^к) при некоторых 0 < п < р^а и 0 < к < р^а. Представим п в виде п = р$п_ь где НОД (п_х, р) = 1, 0 < (3 < а. Тогда а^п =аР^Рп1 е (аР^р), следовательно, Л = (а")с (аР^р). С другой стороны, поскольку НОД (П], р") = 1, то существуют целые числа и и v, такие что п_ги + p^av = 1. Отсюда а = a'^!i"+p^(ltv = a'^,i^uaP^otv = a" i^u. Нотогдаа^пи -аР^Рп>" =(а^п>")^рР = а^рР, откуда (a^p|i)с (а^п) = А.Таким образом, А = (аР^р). Аналогично устанавливаем, что В = (аР^у) при некотором натуральном у, 0 < у < а. Но тогда, А и В являются неединичными подгруппами, из которых одна содержится в другой, что противоречит условию А п В = {е}. Теорема доказана.

Наконец, рассмотрим случай, когда порядок конечной циклической группы можно разложить на два взаимно простых числа.

Теорема 1.23. Если G-(g)u |g| = кт, где к > 1, т > 1, НОД (7с, m) = 1, то G — (а) х (Ь), где, а — g^m, bg^k и а | = к, | Ь | = т.

Доказательство. Обозначим а — g^rn, b — g^k. Тогда |а| = к, | Ъ | -т. Легко доказать, что (а, Ъ) = (а) х (b), а так как порядок этой подгруппы равен кт, то G — (а) х ф). Теорема доказана.

Следствие. Если порядок элемента g группы G равен Pi¹ Рг² «'Рк^к> где Р 1> Рг> •••> Рк — различные простые числа, то существуют элементы g_1; g₂, …, g_k е G, такие что.

<S) = х (g₂> ^х — ^х iSk) ^и I Si I = p? Для i — 1, 2,…, k.

Доказательство. Обозначим k = p"¹, m = p"² '" Pk^k- Тогда НОД (7c, m) = 1 и по теореме 1.23 G = (a) x (b), где | a =k, b =m. Теперь повторяем рассуждения для циклической группы ф). Через конечное число шагов получим искомое разложение.

Теорема 1.24. Если группа G = (а) х ф), |а| = к, |Ь| = т и НОД (/с, т) = 1, то G = (ab).

Доказательство. Включение Gз (аЬ) очевидно. Покажем обратное включение. Поскольку НОД (&, m) = 1, то существуют целые и и v, такие что ku + mv = l. Отсюда а = a^ki,+mv = a^kua^mv = a^mv = (ab)^mv e e (ab). Аналогично b = b^ku+mv = b^kub^mv = b^ku = (ab)^ku e (ab). Следовательно, (a) x (b) c (ab), откуда G = (ab). Теорема доказана.