Исследование прогиба балки переменного сечения

При осуществлении проектов в машиностроительной области, начальной стадией реализации этого проекта является создание модели, которая по возможности могла бы учитывать все факторы, влияющие на качество, надежность, долговечность, заданные характеристики работы при эксплуатации. В соответствии с условиями работы и заданными техническими характеристиками необходимо спроектировать такую модель, которая бы отвечала всем поставленным требованиям. Однако в процессе разработки приходится воплощать несколько моделей и сравнивать их характеристики между собой для более оптимального решения проблемы, в этих случаях наиболее целесообразно использовать ЭВМ.

Автоматизация машиностроения требует не только автоматического управления режимами, например, механической обработки, прессования, термической, физико-химической обработки и других рабочих процессов машиностроения. Для полной механизации работ требуется автоматизация транспортирования (перемещения в пространстве) и переориентация объекта производства. В качестве такого объекта манипулирования может быть обрабатываемая деталь, инструмент или другой предмет самой разнообразной конфигурации. Чаще всего требуется не только переместить в пространстве, но и сориентировать деталь определенным образом, т. е. не только изменить ее местонахождение, но и развернуть в пространстве определенным образом. Эти операции выполняются манипуляторами промышленных роботов.

1. Постановка задачи

Деревянная балка полетом защемлен левым концом. На правом свободном конце приложена сила. Диаметр одной балки, другой — (рис. 1).

Исследовать прогибы балки при различных значениях силы (весом балки пренебречь). Построить графики зависимостей в одних осях координат.

Исходные данные:

Длина пролета балки l=400 мм Момент инерции одной части балки J1=10 000 кг*мм?

Момент инерции одной части балки J2=28 600 кг*мм?

Модуль упругости E=49 000 MПa

Сила P1=50 H

Сила P2=200 H

Сила P3=1000 H

Количество разбиений n=10

2. Математическая модель решения задачи

Для определения прогиба используем теорему Кастильяно.

Частная производная от потенциальной энергии деформации по обобщенной силе равна соответствующей обобщенной координате.

Для консольной балки, на свободный конец которой действует сосредоточенная сила, прогиб является обобщенно координатой, соответствующей этой силе.

гдемодуль упругости;

— момент инерции площади поперечного сечения балки Т.к.

Выражение для величины искомого прогиба балки переменного сечения имеет следующий вид:

где — момент инерции первого сечения,

— момент инерции второго сечения.

Вычисление интеграла методом трапеций.

Интеграл оценивается вычислением суммы площадей элементарных трапеций со сторонами, равными значениям f (x) в начале и конце элементарного отрезка. Это приближение равносильно замене функции отрезком прямой, соединяющей значения f (x) в начальной и конечной точках отрезка (рис. 2).

Рис. 2. Метод трапеции Площадь каждого элементарного сегмента разбиения считается по формуле где h=(b-a)/n.

Тогда площадь искомой фигуры будем искать по формуле:

Следовательно, формула трапеций для численного интегрирования имеет вид:

3. Алгоритм решения задачи

1. Вводим исходные данные

l, J1, J2, E, P1, P2, P3, n

2. k:=1; r:=2; T:=0;

Вычисляем прогиб под действием силы P1 c помощью процедуры Integral

3. Integral (0, l, P1, E, J1, T, n, k, r, A, f);

4. k:=n+1; r:=n+2; T:=f [n+1];

5. Integral (l, 2*l, P1, E, J2, T, n, k, r, A, f);

6. Записываем в фаил REZ. REZ посчитанные значение прогиба в зависимости от длины балки с помощью процедуры Vivod

6.1 vivod (A, n);

6.2 vivod (f, n);

7. k:=1; r:=2; T:=0;

Вычисляем прогиб под действием силы P1 c помощью процедуры Integral

8. Integral (0, l, P2, E, J1, T, n, k, r, A, f);

9. k:=n+1; r:=n+2; T:=f [n+1];

10. Integral (l, 2*l, P2, E, J2, T, n, k, r, A, f);

11. Записываем в фаил REZ. REZ посчитанные значение прогиба в зависимости от длины балки с помощью процедуры Vivod

12.1 vivod (A, n);

12.2 vivod (f, n);

13. k:=1; r:=2; T:=0;

Вычисляем прогиб под действием силы P1 c помощью процедуры Integral

14. Integral (0, l, P3, E, J1, T, n, k, r, A, f);

15. k:=n+1; r:=n+2; T:=f [n+1];

16. Integral (l, 2*l, P3, E, J2, T, n, k, r, A, f);

17. Записываем в фаил REZ. REZ посчитанные значение прогиба в зависимости от длины балки с помощью процедур Vivod

18.1 vivod (A, n);

18.2 vivod (f, n);

Процедура Vivod

1. Для i=1…2*n+1

1.1 write (a[i])

Алгоритм процедуры INTEGRAL

1. h:=(konec-nach)/n

2. Для i=1…n+1

2.1 x[i]: =nach+(i-1)*h;

2.2 q[i]: =x[i]*x[i];

2.3 A[k]: =x[i];

2.4 k:=k+1;

3. temp:=0 f[1]: =0

4. Для i=2…n+1

4.1 temp:=temp+(q[i]+q [i-1])/2*h;

4.2 f[r]: =T+(P*temp)/(E*J);

4.3 r:=r+1;

4. Схема алгоритма

Процедура Vivod

Процедура INTEGRAL

Схема головной программы

5. Таблица идентификаторов

прогиб балка программа сечение

6. Текст программы

program kursach;

uses crt;

Type vect=array [1.30] of real;

var T, l, J1, J2, P1, P2, P3, E: real;

r, n, k: integer;

A, f: vect;

s:text;

Procedure vivod (a:vect; n: integer);

Var i: integer;

begin

for i:=1 to 2*n+1 do

write (s, a[i]: 6:2,' ');

end;

Procedure INTEGRAL (nach, konec, P, E, J, T: real; n, k, r: integer; Var A, f: vect);

Var i: byte;

h:real;

q, x: vect;

temp:real;

BEGIN

h:=(konec-nach)/n;

for i:=1 to n+1 do

begin

x[i]: =nach+(i-1)*h;

q[i]:=x[i]*x[i];

A[k]:=x[i];

k:=k+1;

end;

temp:=0; f[1]: =0;

for i:=2 to n+1 do

begin

temp:=temp+(q[i]+q [i-1])/2*h;

f[r]: =T+(P*temp)/(E*J);

r:=r+1;

end;

END;

BEGIN

clrscr;

assign (s, 'rez.rez');

reset (s);

rewrite (s);

write ('Введите длину пролета балки l=');

readln (l);

write ('Введите момент инерции одной части балки J1=');

readln (J1);

write ('Введите момент инерции другой части балки J2=');

readln (J2);

write ('Введите модуль упругости E=');

readln (E);

write ('Ведите силу P1=');

readln (P1);

write ('Ведите силу P2=');

readln (P2);

write ('Ведите силу P3=');

readln (P3);

write ('Введите количество разбиений n=');

readln (n);

writeln (s, ' ':25,'КУРСОВОЙ ПРОЕКТ');

writeln (s, ' ':8,'ТЕМА: Исcледование прогиба балки переменного сечения');

writeln (s);

writeln (s, ' ':26,'Группа 103 114');

writeln (s, ' ':20,'Бражкин Виталий Иванович');

writeln (s, ' ':27,'Вариант 20');

writeln (s);

writeln (s, ' ':15,'Исходные данные:');

writeln (s, ' ':10,'Длина пролета балки l=', l:5:2,' ', 'мм');

writeln (s, ' ':10,'Момент инерции одной части балки J1=', J1:8:2,' ', 'кг*мм?');

writeln (s, ' ':10,'Момент инерции одной части балки J2=', J2:8:2,' ', 'кг*мм?');

writeln (s, ' ':10,'Модуль упругости E=', E:8:2,' ', 'MПa');

writeln (s, ' ':10,'Сила P1=', P1:5:2,' ', 'H');

writeln (s, ' ':10,'Сила P2=', P2:6:2,' ', 'H');

writeln (s, ' ':10,'Сила P3=', P3:7:2,' ', 'H');

writeln (s, ' ':10,'Количество разбиений n=', 2*n:2);

writeln (s);

k:=1; r:=2; T:=0;

Integral (0, l, P1, E, J1, T, n, k, r, A, f);

k:=n+1; r:=n+2;

T:=f [n+1];

Integral (l, 2*l, P1, E, J2, T, n, k, r, A, f);

writeln (s);

writeln (s, ' ':5,'Прогибы балки в разных точках под действием силы P=50H');

writeln (s);

write (s, 'x (мм)', ' ');

vivod (A, n);

writeln (s);

writeln (s);

write (s, 'f (мм)', ' ');

vivod (f, n);

writeln (s);

writeln (s);

k:=1; r:=2; T:=0;

Integral (0, l, P2, E, J1, T, n, k, r, A, f);

k:=n+1; r:=n+2;

T:=f [n+1];

Integral (l, 2*l, P2, E, J2, T, n, k, r, A, f);

writeln (s);

writeln (s, ' ':5,'Прогибы балки в разных точках под действием силы P=200H');

writeln (s);

write (s, 'x (мм)', ' ');

vivod (A, n);

writeln (s);

writeln (s);

write (s, 'f (мм)', ' ');

vivod (f, n);

writeln (s);

writeln (s);

k:=1; r:=2; T:=0;

Integral (0, l, P3, E, J1, T, n, k, r, A, f);

k:=n+1; r:=n+2;

T:=f [n+1];

Integral (l, 2*l, P3, E, J2, T, n, k, r, A, f);

writeln (s);

writeln (s, ' ':5,'Прогибы балки в разных точках под действием силы P=1000H');

writeln (s);

write (s, 'x (мм)', ' ');

vivod (A, n);

writeln (s);

writeln (s);

write (s, 'f (мм)', ' ');

vivod (f, n);

writeln (s);

writeln ('Результаты расчета записаны в фаил REZ. REZ');

close (s);

repeat until keypressed

END.

7. Результаты работы программы

Длина пролета балки l=400.00 мм Момент инерции одной части балки J1=10 000.00 кг*мм?

Момент инерции одной части балки J2=28 600.00 кг*мм?

Модуль упругости E=49 000.00 MПa

Сила P1=50.00 H

Сила P2=200.00 H

Сила P3=1000.00 H

Количество разбиений n=10

8. Графическая часть

9. Анализ результатов

В результате работы программы был посчитан прогиб балки. По ее результатом можно сделать следующие выводы.

С увеличением длины балки и так же с увеличение силы P увеличивается прогиб балки. В заделке прогиб равен 0, а в конечной точке он максимальный.

Например:

при силе равной 50Н максимальный прогиб равен 7.56 мм;

при силе равной 200Н максимальный прогиб равен 30.25 мм;

при силе равной 1000Н максимальный прогиб равен 151.27 мм.

1. Рапаков Г. Г., Ржеуцкая С. Ю. Тurbo Pascal для студентов и школьников. — СПБ.: БХВ — Петербург. 2004. — 352 с.:ил.

2. Анципорович П. П., Алейникова О. И., Булгак Т. И., Луцко Н. Я. Информатика. Учебно-метод. Пособие к лабораторным работам для студ. машиностроит. спец. В 4 ч. — Мн.: БНТУ, 2009.