Информатика и прикладные программы в ЭВМ в управлении экономикой фирмы

Информатика и прикладные программы в ЭВМ в управлении экономикой фирмы

Для решения многих нелинейных уравнений чаще всего используют Методы: простой итерации, половинного деления, Ньютона. Нелинейные решения нужны современному инженеру, ученому, экономисту в его профессиональной деятельности. Например, экономист с помощью таких уравнений может находить прибыль предприятия и просчитывать его на К лет.

Таким образом, развитие этих методов получает широкое развитие в мире.

Теоретические сведения

Методы решения Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры нам известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Однако встречающиеся на практике уравнения не удаётся решить такими простыми методами. Для их решения используются итерационные методы, т. е. методы последовательных приближений. Алгоритм нахождения корня уравнения с помощью итерационного метода состоит из двух этапов: а) отыскания приближённого значения корня или содержащего его отрезка; б) уточнения приближённого значения до некоторой заданной степени точности.

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения Хо. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближённых значений корня Х1, Х2,…, X_n — Если эти значения с ростом n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится.

А теперь рассмотрим 3 итерационных метода решения трансцендентных, алгебраических уравнений. Метод деления отрезка пополам, Ньютона, простой итерации.

Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии) Пусть действительный корень уравнения отделен и функция непрерывна на интервале отделения корня. Построим процесс сужения интервала так, чтобы искомый корень всегда находился внутри суженного интервала. Очевидно, что в этом случае погрешность приближённого значения корня не превышает, где, ? граничные точки интервала наой итерации. Найдём середину отрезка и вычислим. Составим произведения и. Из двух половин отрезков выберем тот, в котором произведение является отрицательной величиной, и обозначим новые границы отрезка через,. Затем новый отрезок разделим пополам, вновь составим аналогичные произведения и выберем тот из отрезков, в котором произведение? величина отрицательная.

Погрешность метода половинного деления, который также называется методом дихотомии, определяется достаточно очевидным соотношением (которое, впрочем, может быть строго доказано), которое указывает на скорость сходимости метода: с увеличением погрешность стремиться к нулю не медленнее геометрической прогрессии со знаменателем. Метод дихотомии прост и надёжен, всегда сходиться, хотя и медленно, устойчив к ошибкам округления.

Метод простой итерации С начало приводим нелинейное уравнение к виду, удобному для итерации. Для этого умножим исходное уравнение на и прибавим к обеим частям уравнения :

. (1)

В качестве начального приближения можно выбрать любое. Итерационный процесс заканчивается при выполнении условия Для сходимости метода достаточно, чтобы для всех или (что то же самое). Из условия сходимости можно оценить коэффициент входящий в (1):

.

Недостатком метода является малая скорость сходимости приближённого решения к точному. К достоинствам метода относятся более широкая область сходимости и простота по сравнению с методами Ньютона, хорд и секущих. На рис. 1 приводиться блок-схема алгоритма метода. Она проста, алгоритм полностью совпадает с приведённым выше в тексте. Обозначения переменных ясных из текста.

Найти корни уравнения методом простой итерации можно с помощью электронных таблиц. В столбце вычисляются последовательные приближения к корню.

Метод Ньютона Рассмотрим в точке касательную к кривой, задаваемую уравнением

.

Положив, находим точку пересечения касательной с осью абсцисс:

.

Функция на отрезке (рис. 2) заменяется прямой и является приближённым значением корня. Построив касательную в точке получим точку пересечения этой касательной с осью, таким же способом получаем любую точку :

.

Последовательность значений сходиться к точному решению (корню) значительно быстрее, чем в методе половинного деления. Итерации можно прекратить, если .

При каких условиях последовательность сходиться к точному решению уравнения? Существует

Теорема. Если, причём и отличны от нуля и сохраняют определённые знаки на, то исходя из начального приближения, удовлетворяющего неравенству:, можно вычислить методом Ньютона единственный корень уравнения с любой точностью.

Существование решения следует из непрерывности на и условия. Единственность решения следует из монотонности на (так как сохраняет знак).

После ввода начальной точки, точности и предельного числа итераций следует обнуления счётчика итераций. Затем следует итерационный цикл: вычисление приближённого значения корня по формуле Ньютона и сравнение погрешности решения с заданной точностью. Если погрешность или число итераций, то на экран (принтер) выводиться приближённое значение корня и числа итераций. На этом вычисление заканчиваются. Если погрешность вычисления корня больше заданной, то итерация продолжается: вычисляются новое приближённое значения корня, его погрешность сравнивается с заданной так далее.

Для уточнения корня методом Ньютона можно использовать электронные таблицы. В столбец записываем формулу Ньютона, в ,

в ,

затем копируем выражение из в клетки. В этих клетках появляются значения выражений.

Во второй строке в результате подстановки в формулу Ньютона нулевого приближения появляется первое приближение корня. В третьей строке в результате подстановки в формулу Ньютона приближения появиться второе приближение корня и так далее.

Установлено, что прибыль учебного заведения вычисляется по формуле Z. При этом прибыль связана нелинейной зависимостью с количеством студентов, принимаемых по контракту. Дать прогноз на К лет о количестве принимаемых студентов по контракту для обеспечения изменения прибыли на Pr%.

K=20, Pr= 30%

Решение задачи сделать следующим образом:

1. Переменную из формулы Z подобрать с помощью двух вариантов:

1. Программно, используя методы простой итерации, половинного деления, Ньютона

2. С помощью Microsoft Excel

2. Результаты работы представить в PowerPoint.

· В качестве переменной использовать любую переменную из заданных в выражении (выбирать необходимо нелинейную зависимость, а значения остальных переменных выбрать произвольно). Количество точек построения равно K, а интервал изменения переменной подобрать так, чтобы величина изменения функции при изменении переменной составляла Pr%.

· Из найденного решения по п. 1.1 и 1.2 построить график функции по формуле Z (Таблица 1.1). Для построения графика использовать электронную таблицу Excel из офисного программного обеспечения со сформированными данными из Раscal на диске. Результаты работы сохранить в виде файлов *.pas, *.dat, *.xls. Вид формулы Z, величины Рr, K взять из вариантов по заданию преподавателя

· Переменные необходимо задать на стадии выполнения программы вводом с клавиатуры или дискового устройства.

· В программе предусмотреть выходы из возможных некорректных программных прерываний типа (1/0, ln (-2) и т. п.

· Исходный текст программы и результаты расчетов и построений продублировать на бумажном носителе, оформив их в Word, а график функции в Excel.

Фиксируем левую границу интервала: x₀=4.71; y=1 — const. Для нахождения правой границы необходимо решить уравнение: z (x)=1.3z (x₀) или f=z (x) — 1.3z (x₀)=0. Уравнение решаем в цикле К раз. Решение на каждом шаге является левой границей интервала x₀ для следующего шага.

program d;

const lambda=-0.01;

e=0.1;

Pr=30;

K=20;

y=1;

var t: text;

x0:real;

n:integer;

function z (x:real):real;

begin

if (1+abs (y-sin (x)/cos (x))*x*x=0) then begin

writeln ('Error');

readln;

halt (n);

end;

z:=(3+exp (y-1))/(1+x*x*abs (y-sin (x)/cos (x)));

end;

function f (x:real): real;

begin

f:=z (x) — (1+Pr/100)*z (x0);

end;

function df (x:real): real;

begin

df:=(f (x+0.1) — f (x))/0.1;

end;

{Metod polovinnogo deleniyaя}

procedure delenie;

var a1, b1, x, c: real;

i: integer;

begin

assign (t, 'C:20delenie.txt');

rewrite (t);

writeln (t, ' x ', ' z (x) ');

for i:=1 to k do begin

writeln (t, x0:2:4,' ', z (x0):3:4);

a1:=x0;

b1:=a1*0.9;

while abs (b1-a1)>=e do begin

c:=(a1+b1)/2;

if f (a1)*f (c)<0 then b1:=c

else a1:=c;

end;

x0:=c;

end;

close (t);

end;

{Metod Nyutona}

procedure newton;

var x, x1, b: real;

i:integer;

begin

assign (t, 'C:20newton.txt');

rewrite (t);

writeln (t, ' x ', ' z (x) ');

for i:=1 to k do begin

writeln (t, x0:2:4,' ', z (x0):3:4);

x:=0.9*x0;

repeat

x1:=x;

x:=x1-f (x1)/df (x1);

until abs (x-x1)<=e;

x0:=x;

end;

close (t);

end;

{Metod prostoy iteracii}

procedure iterac;

var x, x1, b: real;

i:integer;

begin

assign (t, 'C:20iterac.txt');

rewrite (t);

writeln (t, ' x ', ' z (x) ');

for i:=1 to k do begin

writeln (t, x0:2:4,' ', z (x0):3:4);

x:=0.9*x0;

repeat

x1:=x;

x:=x1-f (x1)*lambda;

until abs (x-x1)<=e;

x0:=x;

end;

close (t);

end;

нелинейный уравнение итерация трансцендентный

begin

x0:=4.71; delenie;

x0:=4.71; newton;

x0:=4.71; iterac;

end.

Вывод

Таблица решений по каждому из методов записана в соответствующие текстовые файлы (delenie.txt, newton. txt, iterac. txt). Все методы сходятся к одним и тем же значениям. Видно, что z (x) на следующем шаге на 30% больше значения на текущем шаге.

Решение на Microsoft Excel.

Задаем x0=4,71. Запишем формулу и вычислим z (x0). Затем найдем z (x) увеличивая каждое последующее z на 30%. Теперь будем подбирать x с помощью «подбор параметра».

Когда все x и z найдены построим график.

Видно, что задача, решенная четырьмя методами, дает одно и тоже решение. Следовательно, можно предполагать, что она выполнена правильно.