Историко-математический экскурс. 
Надежность технических систем и техногенный риск

О вероятности будущих событий (расследование вывода формулы гипотез Байеса Марковым). В фундаменте TCP лежит формула Байеса, которая была, по-видимому, без вывода, приведена в изданной посмертно его статье 1764 г. и отличалась априоризмом (доопытностыо). Формула Байеса названа в честь се автора Т. Байеса (1702—1761) — английского математика и священника. Он первым предложил использование теоремы для корректировки убеждений, основываясь на обновленных данных. Его работа «Ап essay towards solving a problem in the doctrine of chances» («Эссе о решении проблем в теории случайных событий») была впервые опубликована в 1763 г., через два года после смерти автора. До принятия и прочтения посмертной работы Байеса в Королевском обществе она была значительно отредактирована и обновлена Р. Прайсом. Однако эти идеи в тот период не были преданы широкой огласке, до того времени, как они были вновь открыты и развиты Лапласом, который первым и опубликовал в 1812 г. современную формулировку теоремы Байеса в своей книге «Аналитическая теория вероятностей».

Она не учитывает физику и биофизику реальных событий отказов (отказов в (Ф)-пространстве и рисков в ментальном (^-пространстве), т. е. работает на основе априорных вероятностей событий, что является слабым местом теории согласно выводам таких известных ученых как Э. М. Борель, Р. Дельтейль и Р. Юрон^[1]. И хотя они приводят доказательство формулы Байеса, называя ее вероятностью причин, но доказательство дано с пропусками логического характера, на которых мы не будем здесь останавливаться. Однако это делает неясным само доказательство формулы.

А поскольку ясное доказательство с учетом не только априорных, но апостериорных вероятностей формулы Байеса сделано только А. А. Марковым, научным принципом которого было, по оценке его учителя П. Л. Чебышёва, получение исчерпывающего решения любой поставленной задачи, то ее следовало бы назвать формулой Байеса — Маркова.

И мы полностью приводим это доказательство еще и потому, что вывод формулы является ключом для понимания творчества А. А. Маркова. Марковым сделан вывод формулы вероятности будущих событий и разработана теория цепей, известных сегодня под именем марковских цепей. Эти цепи были им использованы для целей предсказания появления гласных и согласных букв в текстах литературных произведений. Он работал над исследованием процесса мышления творческого человека. Выводы созданной Марковым теории подтверждены результатами анализа частот появления гласных и согласных букв в словах произведения А. С. Пушкина «Евгений Онегин» и др. Эти вопросы были решены им еще в 1907 г., задолго до появления работ К. Шеннона по теории кодирования информации. И, как почти всегда, используется принцип умолчания, действующий в отношении приоритетов российской (санкт-петербургской, да и московской тоже) науки, школ математики. Несмотря на это, известность Маркова приобрела всемирный характер.

Наше преклонение перед научным гением Маркова с позиций надежности связано еще и с тем, что нам удалось приоткрыть тайную пружину его творчества, совпадающую с целью надежности: прогнозирования времени грядущих событий. Это частично следует из названия формулы Маркова (см. далее) — «формула вероятностей будущих событий». В ней, как в зародыше, содержится главный элемент прогнозирования будущих событий — время. Заслуги и приоритет Маркова признаются ведущими зарубежными учеными, в их числе — французскими математиками, в частности в вопросах, касающихся математического открытия цепей Марковым. Например, об этом пишет профессор математики Принстонского университета М. Лоэв, уехавший в годы войны из Франции в Америку, который, судя по ссылкам в этго книге [211, изучал книгу Маркова [23|. Заслуги и приоритет Маркова признаются и американскими математиками в области теории случайных процессов. Например, в книге Дж. Л. Дуба про вероятностные (стохастические) процессы [13] описание марковских процессов занимает две главы.

В дальнейшем появились работы по окислению тонких металлических пленок (см. гл. 3) с разработкой пространственно-временных законов (моделей) роста оксида на основе марковских цепей. В их числе работы, написанные австралийцами¹. В этих работах было использовано соотношение двух вероятностей, введенных Марковым, что резко отличает теорию Маркова от простого использования формулы Бернулли для событий, связанных в цепь. Причем характерно, что австралийцы используют счетную модель конечных цепей Маркова, взятую из работ ученых Дортмудского университета^[2][3]. Они в предисловии к своей книге признают, что «концепция марковских цепей была введена в 1907 г. Марковым и только недавно стала использоваться в биологических науках»^[4]. Идеи Маркова в этой книге строго формализованы и доведены до чисел, а это характерная черта русских ученых Чебышёва и Маркова. Труды Маркова широко используются в теории практических решений (СР, СВ, СРВ) в Америке уже давным-давно, но, к сожалению, не у нас в России по известным общественнополитическом причинам.

Мы не можем не вспомнить о фундаментальных, известных в ученом мире работах по теории марковских процессов А. Н. Колмогорова^[5]. В этой работе дана классификация счетных цепей с введением понятий философского плана: существенный и несущественный. Колмогоров — это своего рода Геракл в лазурно-солнечном небе математики, и не только математики, так хочется выразиться об этом гении романтически.

Займемся цитированием доказательства, сделанного Марковым, вначале для формулы Байеса. Мы не будем даже и пытаться критиковать всемирно известного ученого В. Феллера, который считал, что Марков только обобщил схему урн Бернулли, но дал ясную терминологию^[6]. Это не умолчание, а скорее непонимание глубины мышления Маркова. Для подтверждения этой мысли достаточно открыть книгу Лоэва^[7], в которой рассмотрен вопрос о связи тройки времен — настоящего 7°, прошедшего Т и будущего Т⁺ — с зависимостью Маркова. Можно вспомнить и о шести временах у Августина Блаженного — 7°, 7*, 7⁷°, 7°Г", Т°Т⁺ а также девятивременную структуру урезанного зачем-то и кем-то русского языка (согласно А. А. Потебне). Почему-то еще с 1940;х гг. стало принятым писать о винеровской матрице переходных вероятностей, которая тесно связана с энтропией сообщений по марковским цепям¹.

В рамках надежности, без использования понятий хронотопа и синергии в АТН, можно говорить о матрице времен.

Матрица уводит нас к классификации философа В. Соловьева, которую можно найти в недавно изданном в Бельгии на русском языке собрании его сочинений. И опирается на девять времен, фигурирующих в работах А. А. Потебни^[8][9], касающихся старорусского языка, имевшего, как и немецкий язык, свой плюсквамперфект (рассказ о том, что было в прошлом, связан с языковой формой). То есть русский язык вовсе не был простым во все времена, а его нынешняя версия — явно упрощенная, отрывающая нас от истоков нашей культуры, от первоисточников. Его классификация, на наш взгляд, сильнее кантовской, хотя и не обошлась без влияния И. Канта. Но это — отдельная тема.

Итак, сделаем цитирование из главы «Вероятности гипотез и будущих событий», входящей в книгу Маркова (см. [23, с. 289—291]), с незначительной заменой обозначений Маркова, который использовал круглые скобки, например (В) вместо современного р (В) для вероятности события В, а также заменим (В, А) на р (В/А).

«В этой главе мы займемся рассмотрением ряда вопросов об изменении вероятности с изменением данных. Наши выводы будут основаны на следующей теореме, которая представляет прямое следствие теоремы умножения вероятностей и может быть названа теоремой деления вероятностей.

Теорема. Вероятность события Б, когда известно существование события А (т.е. условная, или апостериорная, вероятность р (В/А). — Авторы.) равна отношению вероятности появления обоих событий, А и В вместе к вероятности события А.

Эта теорема выражается формулой (теорема деления вероятностей. Прим, авт.)

которая вытекает из установленного ранее равенства (теоремы умножения вероятностей. — Прим, авт.) р (АВ) = р (А)р (В/А) = р (В)р (А/В) (второе равенство добавлено авторами со с. 20).

Теорему деления мы применим к решению такой задачи.

Задача 1. Пусть при существовании события А события В_{, Б₂, Б,…, В_п единственно возможны и несовместимы. Пусть далее р (В_{), р (В₂)_у

p (Bj)_} …, p (B_n) означают их вероятности, пока существование или существование события А остается неизвестным; а символ р (А/В,) означает вероятность события А, когда установлено существование события Впусть, наконец, символ р (В, /А) означает вероятность события B_jf когда установлено существование события А. По данным р (В_{), р (В₂),…"р (В_;),…"р (В_п), р (А/В_{)_у р (А/В₂), p (A/Bj)_y …, р (А/В_Г1) требуется вычислить р (В_х/ А), Р (В₂/А), …, р (В_{/А), …, р (В"/А).

Решение. Согласно теореме деления вероятностей имеем.

С другой стороны, по теореме умножения вероятностей находим.

Разбиваем, наконец, событие на виды (условия возникновения возможных видов. — Прим, авт.) АВ_[} АВ₂,…, АВ_п.

В силу теоремы сложения вероятностей получаем (для типа А. — авторы)

Следовательно, имеем (пользуясь предыдущим результатом теоремы умножения вероятностей. — авторы) теорему.

и, наконец, запишем.

Рассматривая события B_v B_2f…, В_/7как гипотезы, придуманные для объяснения появившегося события Л, мы можем назвать последнюю формулу, в отличие от других, формулой для определения вероятностей гипотез. Она известна также иод именем формулы Байеса".

Мы надеемся, что, поняв и приняв доказательство Маркова, читатели оценят оригинальный способ сто мышления, что вообще характерно для русского человека, не очень-то и любящего аксиоматику. Отметим, что Марков не признавал в принципе аксиоматизации исчисления вероятностей.

Для примера упомянем диссертацию П. Л. Чебышёва, написанную в 1844 г. без посредства трансцендентного анализа, основываясь на наблюдениях и свидетельствах по мысли, предложенной ему для осуществления С. Г. Строгановым на тему «Опыт элементарного анализа теории вероятностей»^[10]. Диссертация принципиально написана без привлечения интегралов и других достижений (инструментов) высшей математики, дух ее был чутко уловлен и подхвачен А. Марковым.

И вот мы призываем изучать труды А. Маркова, ради чего и потратили, надеемся, что не напрасно, время для цитирования фрагмента из его работы. Вперед, друзья-читатели, через тернии к звездам.

Пример 12.4.

Три организации представили в налоговую службу счета для выборочной проверки. От первой организация поступило 15 счетов, от второй — 10, от третьей — 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций не одинаковые, они известны и равны, соответственно, 0,9; 0,8; 0,85. Был выбран один из этих трех счетов, и он оказался правильным. Какова вероятность того, что этот счет принадлежит второй организации?

Решение. Обозначим через А, А₂, А₃ события выбора счета у организаций — первой, второй и третьей. Соответствующие вероятности будут.

Определяем вероятность выбора правильно оформленного счета по формуле полной вероятности:

Находим исходную вероятность по формуле Байеса:

16) Применим формулу Байеса для отыскания вероятности:

2) Для того чтобы определить, на каком предприятии скорее всего был изготовлен работоспособный (т.е. без брака) сотовый телефон, нужно сравнить между собой вероятности предположений Р (Н_{/А), Р (Н₂/А), Р (Н₃/А), где А — событие (купили сотовый телефон без брака) противоположное событию А. Для противоположных событий используем формулу Р (А) = 1 — Р (А) = 1 — 0,0305 = 0,9695.

Но подобной формуле определяем условные вероятности для события А, если только справедливы предположения Н_{, Н₂> И₃:

Находим вероятности, но формуле Байеса:

Наибольшую вероятность имеет второе предположение, поэтому сотовый телефон, скорее всего, был изготовлен на втором предприятии.

Из трех одинаковых пистолетов выбирается наудачу один, и из него производится выстрел. Вследствие разности в пристрелке пистолетов вероятность попадания в цель для первого пистолета равна р (А/В_{) = 0,75, для второго — р (А/В₂) = 0,85, для третьего — р (А/В₃) = 0,05. Найдем полную вероятность попадания в цель.

Решение. Для начала замечаем, что знаменатель ФБМ является формулой полной вероятности события р (А) — попадания в цель после выстрела, т. е.

где неизвестны р (В_{), р (В₂), р (В$). Но положение таково, что они как три клона, или «тройняшки-близняшки». И приходится признать, что выбор пистолета В_х, В₂ или В₃ не имеет предпочтения, т. е. он равновероятен. И ничего другого не остается, как положить р (Вj) = р (В₂) = р (В_л) = 1/3, т. е. выбирать надо классическим способом — выбор одного из трех.

Теперь подставим числа в последнюю формулу:

Пример 12.7 (продолжение примера 12.6^[11][12]).

Зададимся теперь вопросом: кто первым попал в цель? Точнее, из какого пистолета наиболее вероятно выстрелили и поразили цель, из первого, второго или третьего?

Решение. Если по интуиции, то ответ должен быть — из второго пистолета. Проверим это. Найдем эти вероятности:

И действительно, вероятность поражения из второго пистолета самая высокая.

Пример 12.8 (задача Маркова на применение обеих формул).

«Взят 1 из 14 сосудов, о которых известно, что 9 из них содержат по 5 белых и по 8 черных шаров, а остальные 5 содержат по 11 белых и по 2 черных шара, и что ни один из них нс содержит иных шаров, кроме белых и черных. Из этого сосуда вынут один шар, и он оказался белым. Спрашивается, как велика, при таких данных, вероятность того, что взят был один из 9 сосудов, содержащих по 5 белых и по 8 черных шаров? (вопрос для выведенной Марковым формулы Байеса. — Авторы). Затем требуется определить вероятность того, что второй шар, вынутый из того же сосуда, будет также белым (вопрос для вероятности будущих событий по формуле Маркова. — Авторы)».

Решение. Пусть событие В, состоит в том, что взятый сосуд содержал 5 белых и 8 черных шаров, а событие В₂ — в том, что взятый сосуд содержал 11 белых и 2 черных шара. Пусть далее событие А состоит в белом цвете первого вынутого шара, а событие С — в белом цвете второго вынутого шара. Тогда, придерживаясь установленных обозначений, имеем.

Визуализируем мысль Маркова выбора двух типов сосудов без шаров — пустое всегда может быть наполнено (рис. 12.5).

Рис. 12.5. Сосуды без шаров к примеру 12.4.

Наполним сосуды этих двух типов шарами и представим их на рис. 12.6.

Рис. 12.6. К примеру 12.14: сосуды, наполненные белыми и черными шарами —.

тип (а) и тип В₂ (б)

Теперь для наполненных сосудов несложно найти условные вероятности:

а также ответить на первый вопрос, двигаясь вначале дихотомически, а в конце полихотомически по схеме графа типа перевернутого дерева — подтипа гребенки с короткими — черными и длинными — белыми зубами (шарами), или листьями дерева (рис. 12.7).

11роведя аналогичные вычисления, Марков получает, чтор (В₂/Л) = 11 /20 и пишет (см. [23, с. 294]): «Интересно заметить, что р (В_х) > р (В₂), а р (В_{/А) <р (В₂/Л)».

Решение второго вопроса задачи дадим цитатой из Маркова, при этом сохраняем его обозначения, когда знак «р» перед круглыми скобками не ставится, а вместо наклонной черты (/) при условии используется запятая (,).

«Переходим к величине (С, Л), которая представляет вероятность того, что второй вынутый шар будет белым, как и первый:

Мы должны установить величины (С, Л?,) и (С, АВ₂). Величина (С, АВ_{) представляет вероятность события — вынимания после одного белого шара второго белого шара из сосуда, который до начала этих выниманий содержал 5 белых и 8 черных шаров.

Предполагая, что первый вынутый шар не был возвращен в сосуд, имеем.

J.

• 3'
• (С, лв₁)=А

Так как второй вынутый шар должен принадлежать к числу двенадцати шаров, среди которых 4 белых и 8 черных, то на подобных же основаниях имеем.

Так определяется вероятность вынимания шара белого цвета, когда известен белый цвет первого вынутого шара".

С использованием ФБМ получим ответ на первый вопрос:

Следовательно,.

Задание для заинтересованного читателя — найти вероятность того, что и третий вынутый шар окажется белым.

Примечания (для тех, кто будет читать цитируемую нами книгу Маркова или его работы). 1. На 8 строке сверху на с. 294 работы Маркова вкралась опечатка: вместо «8 белых шаров» написано «9 шаров».

• 2. Все рисунки принадлежат нам, поскольку геометрических или физических иллюстраций Марков не любил, считая, что они отвлекают внимание учеников от предмета исчисления вероятностей^[13].
• 3. Известны строгость, бескромиссность и своеобразность мышления Маркова не только в математике, но и в публичных выступлениях и поступках. В частности, в вопросе об отлучении Л. Н. Толстого от церкви он требовал и его самого отлучить; был против кассации выборов М. Горького в почетные академики; отказался получать ордена от правительства и т. п.¹
• 4. Вместо шариков в сосудах можно представить ящики с ядрами и патронами, годными и бракованными, но случайно смешанными и поставленными на фронт (вспомним про неразорвавшиеся бомбы на полях Подмосковья в период Великой Отечественной войны).
• 5. Отбраковка в полупроводниковом производстве годных и дефектных кристаллов — другой пример заводского применения формул Байеса — Маркова и Маркова.

Закончим эту главу следующими положениями.

• 1. Трудно не согласиться с тем, что «истинная логика нашего мира — это подсчет вероятностей». Эти слова принадлежат Д. К. Максвеллу, они взяты эпиграфом к гл. 6 «Вероятность» фейнмановских лекций по физике^[14][15].
• 2. Другая важная цитата: «Вероятностные рассуждения можно рассматривать как ветвь логики или, вернее, можно считать вероятностную логику обобщением обычной логики»^[16].
• 3. В АТН (см. начальные главы данной книги) из рассмотрения строения квадрографа очевидно вытекает понятие логико-статистической компоненты времени т_лс, о которой говорят процитированные в п. 1 и 2 именитые авторы.

• [1] Борель Э. М. у Дельтейль Р., Юрон Р. Вероятности, ошибки / пер с фр. А. В. Вайнштейна и Н. С. Четверикова. М.: Статистика, 1972. С. 106.
• [2] См., например: Andersen J. R., Ritchie I. M. A random-walk theory of tarnishing reactions // Pros. Roy. Soc. 1967. A. 299. P. 354—370.
• [3] Kemeny J., Snell J. Finite Markov shains. N. Y.: Springer-Verlag, 1976. P. 224 (русскоеиздание: Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. М.: Наука, 1970).
• [4] Там же. С. V предисловия, перевод цитаты {Прим. авт.).
• [5] См., например, его работу, написанную в 1937 г.: Колмогоров А. II. Цепи Марковасо счетным числом состояний // Колмогоров А. II. Теория вероятностей и математическаястатистика: сб. статей. М.: Наука, 1986, С. 183—196.
• [6] См. Феллер В.

  Введение

  в теорию вероятностей и ее приложения. В 2 т. М.: Мир, 1967.Т. 1. С. 366.

• [7] См.: Лоэв М. Указ. соч. С. 589.
• [8] См.: Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1962.С. 195″
• [9] См.: Потебня А. А. Слово и миф. М.: Правда, 1989.
• [10] См.: Чебышёв П. JI. Избранные труды / отв. ред. И. М. Виноградов, ред.-сост. А. О. Гель-фонд. М.: Изд-во АН СССР, 1955. С. 111−189.
• [11] См.: Пугачев В. С. Указ. соч. С. 27—28.
• [12] См.: Там же. С. 28.
• [13] См.: История отечественной математики. В 4 т. Том. 2: 1801 — 1917 гг. Киев: Науковадумка, 1967. С. 339.
• [14] См. История отечественной математики. В 4 т. Том. 2: 1801 — 1917 гг. С. 340.
• [15] Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции, но физике. Вып. 1. Современная наука о природе. Законы механики / пер. с англ. Л. В. Ефремова, Г. И. Копылова, О. Л. Хрусталева; под ред. Я. Л. Смородинского. М.: Мир, 1967. С. 102.
• [16] Нейман Дж. фон. Теория самовоспроизводящихся автоматов. Лекция 3: «Статистические теории информации» / пер. с англ. В. Л. Стефашока под ред. В. И. Варшавского. М. :Мир, 1971. С. 78.