Прохождение случайного процесса через нелинейные элементы

Случайный процесс, поступающий на вход нелинейного элемента, вследствие нелинейности его статической характеристики изменяется по своей структуре. Изменение процесса в нелинейном элементе сопровождается появлением новых частотных составляющих. Это бывает всегда при нелинейных преобразованиях. Процесс на входе нелинейного элемента обозначим X, а на выходе — К, и положим, что закон распределения на входе р (х) известен и известна также характеристика нелинейного элемента Y = /(*), показывающая, по какому закону «деформируется» кривая входного воздействия нелинейного элемента.

Будем искать закон распределения вероятностей для величины Y с учетом деформации в нелинейном элементе. Определим обратную зависимость нелинейного элемента X = f (y).

Поставленная задача решается на основании известного в теории вероятностей правила перехода от одной случайной переменной к другой, которое можно вывести на основании следующих рассуждений. Пусть величины Xи У связаны некоторой зависимостью, которая графически изображена на рис. 8.6, а. Вероятность того, что новая случайная величина Y примет значение, находящееся в пределах между Y и Y + d У, равна вероятности того, что величина X примет значение, лежащее между X и Х + dX. Это можно записать в виде.

где р (у) — искомая плотность вероятности величины У Отсюда можно получить выражение

В это выражение следует подставить вместо х и dx/dу его значения, которые можно определить по характеристике, представленной на рис. 8.6, а.

В некоторых случаях применяются двухсторонние нелинейные характеристики, когда одному значению У соответствуют два значения Х_] и Х₂. В этом случае.

и выражение для плотности вероятности р (у) описывается уравнением.

Рис. 8.6. Преобразование случайного сигнала:

а — преобразование закона распределения вероятностей с нелинейным элементом — однозначная зависимость; б — преобразование закона распределения вероятностей с нелинейным элементом — двухзначная зависимость; в — закон распределения вероятностей на выходе нелинейного элемента.

Воспользуемся полученными выражениями и определим закон распределения вероятностей для случайного процесса на выходе нелинейного элемента с квадратичной характеристикой (см. рис.

8.6, б). Нелинейный элемент имеет статическую характеристику, описываемую выражением.

где К — коэффициент пропорциональности.

Будем считать, что случайный процесс имеет нормальный закон распределения.

На выходе нелинейного элемента формируется случайный процесс, ограниченный с одной стороны. В связи с этим в гой области, где процесс на выходе не формируется, плотность вероятности величины У равна нулю р (у) = 0|.

В области, где У* 0 (т. с. где X> 0 и У> 0), плотность вероятности определяется следующим образом. Имеем Х = (К/А')^|/2. Получим dX/d У- (У/К)'¹². Результирующая плотность вероятности описывается выражением.

График этой функции показан на рис. 8.6, в.

По известным законам распределения вероятностей случайного процесса на выходе нелинейного элемента можно определить:

уровень постоянной составляющей случайного процесса;

общую мощность процесса (вместе с постоянной составляющей);

суммарную мощность переменных составляющих.

Выражение для постоянной составляющей на выходе нелинейного элемента можно записать в следующем виде:

Определить постоянную составляющую можно с помощью выражения.

Аналогичным образом можно вычислить полную мощность (дисперсию) процесса на выходе нелинейного элемента:

Таким образом, по известным законам распределения можно определить основные параметры случайного процесса.

Контрольные вопросы

• 1. Чем определяется спектр частот на выходе линейного звена?
• 2. Как меняется закон вероятности на выходе линейного звена, если на входе он является нормальным?
• 3. К чему приводит уменьшение ширины спектра частот линейного звена по сравнению со спектром случайного процесса на входе?
• 4. Что происходит со случайным процессом, если он проходит нелинейный элемент?
• 5. Нарисуйте закон распределения случайного процесса на выходе нелинейного элемента.
• 6. Что можно определить на выходе нелинейного элемента по известным законам распределения вероятностей случайного процесса?