Вынужденные колебания при действии вибрационной нагрузки

Как уже говорилось, вынужденными называются колебания, вызванные переменными во времени внешними воздействиями. Наиболее часто в инженерной практике приходится иметь дело с гармоническим воздействием внешней нагрузки.

где F— амплитудное значение возмущающей силы, кН; 0 — круговая частота изменения возмущающей силы, с^-1.

К вертикальной составляющей вида (15.23) сводится, например, действие установленного на сооружении двигателя из-за неуравновешенности ротора, масса т которого имеет относительно оси вращения эксцентриситет е. Во время вращения ротора будет возникать центробежная сила инерции У_ц = тев², где 0 — угловая скорость (число оборотов ротора в 2к секунд).

Вертикальная составляющая центробежной силы и будет представлять собой амплитудное значение возмущающей силы (15.23), т. е. F=J_IV

Вибрационная нагрузка является опасной для строительных конструкций по нескольким причинам.

• 1. Эффект ее действия зависит не только от амплитудного значения вибрационной нагрузки, но и от периода ее изменения: малая, но величине нагрузка с одним периодом может привести к разрушению конструкции, в то время как нагрузка большей величины, но с другим периодом, может оказаться безопасной и близкой к статическому воздействию.
• 2. Действие вибрационной нагрузки достаточно сложно локализовать. Наибольший эффект от се действия может сказаться не там, где она приложена, а где-то в удаленных местах и даже в других сооружениях. Причиной этого является особенность каждого материального тела, в том числе и грунтов, воспринимать, совершать и распределять колебания.

Кроме этого, вибрационная нагрузка при определенных параметрах может оказывать вредное воздействие на людей и на работу машин и механизмов, расположенных в сооружении.

В выражении (15.23) может быть представлена не только сосредоточенная сила F, но и распределенная нагрузка, момент. При действии нескольких видов вибрационных нагрузок с целью упрощения расчета обычно принимается, что все они во времени изменяются по одному и тому же закону и отличаются лишь амплитудными значениями. Если же это допущение не выполняется, производится расчет от каждого воздействия в отдельности, а затем на основании принципа независимости действия сил результаты суммируют для наиболее неблагоприятных моментов времени.

Рассмотрим действие на систему с одной степенью свободы сосредоточенной возмущающей силы в форме (15.23), приложенной по направлению колебания массы (рис. 15.10).

В этом случае динамическое уравнение равновесия (15.9) примет вид:

Подставив в приведенное уравнение равновесия значения сил (15.4), (15.6), (15.7) и обозначения (15.10), получим.

Линейное неоднородное уравнение (15.24) называется дифференциальным уравнением движения точечной массы при действии на нее вибрационной нагрузки.

Решение дифференциального уравнения (15.24) складывается из решения однородного дифференциального уравнения (15.11) в форме (15.20) и частного решения.

Рис. 15.10.

Произвольную постоянную С, определяемую при t = 0 и начальных условиях 2/(?)= 2/п = 0 и u (t) = v_n, получим в виде.

Из-под знака корня знаменателя выражения (15.26) вынесем величину 0) j и, учитывая, что из формулы (15.17) т (й = 1 / 8_И, получим Из-под знака корня знаменателя выражения (15.26) вынесем величину yjurf и, учитывая, что из формулы (15.17) rmoj = 1 / S_u, получим В полученном выражении величина 8₁₁jF= A_1f представляет собой перемещение массы от статического действия амплитудного значения возмущающей силы, и поэтому его можно переписать в виде.

и уравнение движения точечной массы (15.25) примет вид.

Первое слагаемое полученного уравнения (15.27) описывает свободные затухающие колебания, а второе — вынужденные. Как было показано ранее, свободные колебания быстро затухают благодаря диссипативным силам, и тогда устанавливаются вынужденные колебания с частотой 9.

Во второе слагаемое уравнения (15.27) входит сдвиг фазы вынужденных колебаний по отношению к колебаниям возмущающей силы, характеризующий величину опережения.

и динамический коэффициент р гармонической нагрузки, показывающий, во сколько раз динамическое действие превышает статическое действие ее амплитудного значения, а именно: г/_дин = рД_1Р.

В силу принятых в параграфе 4.3 гипотез и допущений соотношение между результатами динамического расчета и результатами от статического действия амплитудного значения нагрузки справедливо для любых расчетных величин, т. е. М_дин = рМ_Р; <2_ДИН = pQ_f; N_mH = рJV>; а_дин = ра₇, и т. д.

Поскольку в инженерных расчетах обычно принимают, что со₁ ~ со, выражение для динамического коэффициента можно записать в виде.

Как видно из выражений (15.28), значение динамического коэффициента зависит от соотношения частот 0/со. На рис. 15.11 приведен график зависимости динамического коэффициента от соотношения 0/со при разных значениях декремента затухания. Этот график показывает, что диссипативные силы значительно влияют на величину динамического коэффициента в зоне резонанса, т. е. при 0 = со или близких к этому соотношениях.

Рис. 15.11.

При совпадении частот (0 = со) из формулы (15.28) получим

Наибольшего значения динамический коэффициент достигает при

Однако разница между результатами по формулам (15.29) и (15.30) очень мала.

Из формулы (15.29) видно, что при резонансе амплитуда вынужденных колебаний обратно пропорциональна логарифмическому декременту затухания. Сдвиг фазы колебаний по отношению к возмущающей силе составляет при этом е = -0,5тг, т. е. 0,25 периода.

Так как проектирование строительных конструкций при установившихся колебаниях не допускает резонанса, то в первом приближении их динамический расчет проводят без учета диссипативных сил, т. е. при k = 0.

Тогда формула (15.28) примет вид.

График динамического коэффициента, вычисляемого по формуле (15.31), показан на рис. 15.12.

Рис. 15.12.

Однако формула (15.31) оказывается недостаточно точной в области, близкой к резонансу, в которой особенно велико влияние затухания. При равенстве частот 9 = со получаемые, но этой формуле значения р = ±оо, чего в действительности не может быть достигнуто.

При 9 > со величина р по формуле (15.31) становится отрицательной (пунктирная линия на рис. 15.12). Это означает, что колебания возмущающей силы и самой массы происходят в противоположных направлениях.

При резонансе происходит резкое увеличение перемещений и усилий в элементах конструкции. Во избежание этого при проектировании необходимо обеспечить, чтобы частоты свободных и вынужденных колебаний отличались друг от друга на 25—30%.

Пример 15.4.

Требуется произвести проверку прочности наиболее опасного сечения и определить максимальный прогиб в балке, показанной на рис. 15.13, при работе электродвигателя массой т = 3 т, совершающего 500 об/мин. Масса неуравновешенных частей двигателя т₁ =0,146 т, их эксцентриситет относительно оси вращения е = 0,0228 м. Балка изготовлена из стали марки С245 (R_y = 245 МПа). Сечение балки — двутавр № 30 (Г_г = 7080 см⁴, W_z = 472 см³), у_с = 1.

Рис. 15.13.

Решение. 1. Жесткость балки при изгибе Е1= 2,06 • 10⁸* 7080 • 10^-8 = 14 585 кН м².

• 2. Круговая частота вынужденных колебаний 0 = пк / 30 = 500л; / 30 = 52,36 с¹.
• 3. Амплитуда возмущающей силы F= т_{еО² = 0,146 • 0,0228 • 52,36² = 10 кН.
• 4. Вес электродвигателя G = mg = 3,5 • 9,81 = 34,335 кН.
• 5. Податливость балки по направлению колебания массы и наибольший изгибающий момент в среднем сечении (см. рис. 10.7)

• 7. Соотношение частот 0 / со = 52,36 / 55,9 = 0,9367; (0 / со)² = 0,8773.
• 8. Динамический коэффициент (15.31) р = 1 / (1 — 0,8773) = 8,15.
• 9. Прогибы балки в середине пролета:
  • — от веса двигателя

Д_1С= 5_UG = 9,14 • 10−5.34,335 = 312,45 • 10 ⁵ м;

• — статический от амплитуды возмущающей силы A_lf = SF= 9,14 • 10 ⁵ • 10 = 93,77 • 10−5 м;
• — динамический прогиб у_ЛИН = pAi/r= 8,15 • 91,4 • 10^-5 = 744,9 • 10^-5 м;
• — полный прогиб/ = А_1С + у_анн = (312,45 + 744,9) • 10 ⁵ = 1057,35 • 10″ ⁵ м = 10,57 мм.
• 10. Наибольший изгибающий момент в балке на основании принципа независимости действия сил M_max = M_G + М_днн = M_G + рM_F= M_{G + iM_{F= M_{(G + pF) = = 1(34,335 H- 8,15 — 10) = 115,835 kH-m'
• 11. Наибольшее нормальное напряжение в среднем сечении балки

^мтах / ^WZ = 115,835/472 • 10−6 = 0,2454 • 10″ кН/м² = 245,4 МПа > у_cR_y = = 245 МПа.

Перенапряжение составляет 0,4 • 100 / 245 = 0,16% < [ 1%], что вполне допустимо.

Пример 15.5.

Двигатель весом G = 28 кН установлен на консоли балки (рис. 15.14, а), которая изготовлена из двутавра № 50 (/, = 39 727 см⁴). Число оборотов двигателя п = = 300 об/мин. При вращении двигатель создает возмущающую силу F (t) = 7sin01 кН. Требуется определить максимальный прогиб консоли и построить расчетную эпюру изгибающих моментов.

Рис. 15.14.

Решение. 1. Жесткость балки при изгибе Е1= 2,06 • 10⁸ • 39 727 10 ⁸ = 81 837,6 кН м.

• 2. Круговая частота вынужденных колебаний 0 = пк / 30 = ЗООтг / 30 = 31,4 с*¹.
• 3. Масса электродвигателя т = G /g =28/9,81 = 2,854 т.
• 4. Вспомогательное состояние для определения податливости балки по направлению колебания массы т и соответствующая ей эпюра изгибающих моментов Mj показаны на рис. 15.14, 6.
• 5. Податливость балки по направлению колебания массы

• 7. Соотношение частот 0 / со = 31,4 / 51,14 = 0,614; (0 / со)² = 0,377.
• 8. Динамический коэффициент [см. формулу (15.31)] р = 1 / (1 — 0,377) = 1,605.
• 9. Прогибы консоли:
  • — от веса двигателя

A_ig=8_uG= 13,396- 10−5-28 = 375,09 10~⁵ м;

• — статический от амплитуды возмущающей силы A_lf = S_nF= 13,396- 10−5 -7 = 93,77 • 10 ⁵ м;
• — динамический прогиб г/_ДШ1 = pA_iy.- = 1,605 • 93,77 • 10 ⁵ = 150,5 • 10 ⁵ м;
• — полный прогиб/= А_{С + у_лнн = (375,09 + 150,5) • 10 ⁵ = 525,59 10 ⁵ м = 5,26 мм.
• 10. Расчетную эпюру изгибающих моментов строим на основании принципа независимости действия сил (рис. 15.14, в):

М_расч = М_С± М_днн = M_G ± [iM_F=M_{G ± tiM_{F= M_{(G ± xF) = М_{(28 ± 11,235).

Поскольку динамическая эпюра изгибающих моментов M (t) = M_;iHHsin0f изменяется по тому же гармоническому закону, что и возмущающая сила, то на рис. 15.14, в показаны значения расчетной эпюры моментов для двух состояний M (t): при sin0? = 1 (сплошная линия М_расч = 39,235 М_{) и при sinQt = -1 (штриховая линия М = 16,765Mj).