Энергетический метод определения частот свободных колебаний

Вычисление частот не вызывало бы больших затруднений, если бы была известна форма колебаний, соответствующая той или иной частоте. Но поскольку эти формы неизвестны, то ими нужно задаваться. Отсюда возникает приближенность методов. Одним из таких методов и является энергетический метод.

В основу этого метода положен закон сохранения полной механической энергии колеблющейся системы. Согласно этому закону при колебании кинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот, в то время как их сумма остается постоянной при пренебрежении рассеиванием энергии, т. е.

где W— потенциальная энергия системы; К — кинетическая энергия системы.

Потенциальной энергией упругой системы называется работа, совершаемая внутренними и внешними силами системы при переводе ее из деформированного в начальное недеформированное состояние. Потенциальная энергия является функцией перемещений, а кинетическая энергия — функцией скорости.

Рассмотрим колебания балки, изображенной на рис. 4.1. Вначале учтем только распределенную массу т. В положении статического равновесия (недеформированное состояние) прогиб балки равен нулю, поэтому W = О, а скорость при прохождении положения равновесия будет максимальной.

Рис. 4.1. Колебание однопролетной балки.

Следовательно, кинетическая энергия при у = 0 будет иметь максимальное значение. В крайних же положениях прогибы будут максимальными, следовательно, и потенциальная энергия будет максимальной. Скорость же в крайних положениях, когда меняется направление движения, будет равна нулю, поэтому К = 0. Так как сумма энергий должна быть постоянной в любом положении, то приравняем сумму энергий недеформированного состояния к сумме энергий крайнего положения, т. е. W_niax +0 = 0 + К_тлх, или.

Для дальнейшего, как и в гл. 3, представим полную функцию перемещений в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от линейной координаты, а другая — только от времени. Выше было показано, что выведенная из состояния равновесия система совершает простые гармонические колебания, поэтому функцию времени примем в виде синусоиды. Тогда полная функция для описания одной из главных форм колебаний примет вид где у (рс) — функция формы колебаний, которую следует задавать; со — искомая частота свободных колебаний.

Ограничимся далее плоскими системами, состоящими из прямолинейных стержней с распределенными массами. Для таких систем при учете только изгибных деформаций потенциальная энергия определяется следующим выражением:

Здесь k — число стержней в системе. Используя дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня EI_xy" (x, t) = -М_к, заменим в выражении (4.4) М_х через функцию прогиба:

./-• и Если сюда подставить значение функции (4.3), то получим.

Следует помнить, что для ряда конструкций при вычислении энергии необходимо учитывать или поперечные силы, или продольные силы, или и то, и другое. В противном случае можно получить заниженный результат. Выражение кинетической энергии систем с распределенной массой имеет вид.

где v = у (х, t) = coz/(;t)cos (cq? + v) — скорость колебаний. Подставим это значение в выражение (4.5):

Частоту свободных колебаний определим из выражения (4.2), куда подставим W при sin (co? + v) = 1 и К при cos (co? + v) = 1, что соответствует максимальным значениям:

откуда Точность вычислений по формуле (4.6) в значительной мере зависит от выбора функции у (х). Для устранения произвола, который мог бы дать слишком далекую от истинной форму колебаний, рекомендуется в качестве функции у (х) принимать форму статического перемещения от нагрузки, пропорциональной массе. Форма колебаний задается с точностью до постоянного множителя, так как он входит и в числитель, и в знаменатель и поэтому сокращается.

Частота, определяемая, но формуле (4.6), может оказаться точной только в том случае, если у (х) совпадает с истинной формой колебаний. Во всех остальных случаях она будет выше действительной частоты. Этот факт объясняется экстремальным свойством потенциальной энергии, находящейся в числителе формулы (4.6). Экстремальность заключается в том, что из всех мыслимых вариантов изогнутой оси, проходящей через опорные концы стержня, изогнутая ось, действительно имеющая место, требует минимального значения потенциальной энергии. Первое применение энергетического метода, когда истинная форма колебаний заменялась кривой, удовлетворяющей граничным условиям, связано с именем английского физика Д. У. Рэлея.

Энергетический метод применим и в тех случаях, когда кроме распределенной нагрузки имеются и сосредоточенные массы. Числитель формулы (4.6) при этом не изменяется, так как функция у (х) подбирается по-прежнему. Что касается кинетической энергии, то она увеличится за счет кинетической энергии сосредоточенных масс:

где п — число сосредоточенных масс; m_i — сосредоточенные массы; v_i = (M/_;cos (cof + v) — скорость колебаний; у_х — перемещение под массой т_х.

Максимальное значение К_с по-прежнему будет при cos (co? + v) = 1. Подставим в формулу (4.7) значение скорости и максимальное значение К_с добавим к кинетической энергии распределенной массы в формулу (4.2). Из полученного равенства найдем со²:

Формула (4.8) справедлива и при т (х) = 0, когда на системе имеются только сосредоточенные массы. В последнем случае энергию деформации удобнее подсчитывать по формуле (4.4).

Энергетический метод применяется не только при расчете отдельных стержней, но и при расчете сложных сооружений. Так, в примере 4.3 энергетическим методом определена низшая частота собственных колебаний балки жесткости большепролетного вантового моста. Главное при использовании метода — правильно вычислять значения энергий.

Рассмотрим примеры.

Пример 4.1. Определим низшую частоту консольной балки постоянного сечения с равномерно распределенной массой (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Колебание консольной балки постоянного сечения.

Решение

f кх⁴

В качестве формы колебаний примем функцию у (х) = а 1-cos—, которая.

*•1 )

удовлетворяет следующим граничным условиям: при х = 0 у = 0, при х = I у = а. Для решения задачи используем формулу (4.6). Возьмем производные полги подсчитаем числитель:

Точное значение дано в табл. 3.1. Расхождение составляет +4,1%. Значение оз, как и следовало ожидать, получилось больше. Это свидетельствует о том, что принятая функция не является истинной формой колебаний.

Пример 4.2. Определим низшую частоту свободных колебаний системы, изображенной на рис. 4.3, a. El = const.

Решение

Система имеет пять степеней свободы. Форму колебаний для низшей частоты представить относительно просто. На рис. 4.3, б она изображена ориентировочно. Для ее конкретизации приложим силы, пропорциональные величине масс, по направлению их перемещений.

Рис. 43. Форма колебаний и эпюра моментов для рассматриваемой рамы.

Рассматриваемая рама дважды статически неопределима. Для построения эпюры М_х используем метод сил. Основная система метода и номера расчетных сечений показаны на рис. 4.3, в. Задачу решим в матричной форме. Эпюры, построенные в основной системе, из-за их элементарности не приводятся. Сразу запишем исходные матрицы:

f (12×12) — матрица податливости необъединенных элементов;

Ь, (12×2) — матрица усилий от X. = 1;

b (12×1) — матрица усилий от сил, приложенных по направлению колебания масс.

Для определения перемещений^{составим} еще матрицу Ь₀ по эпюрам от единичных сил, приложенных по направлению перемещений масс, в основной системе. Итак, имеем:

Диагональная матрица f = (8, 5₂, 6₂, 6₂, 6₂, 5₂, б,), где.

Матричные операции S = b — b_t(bj fb,)^_1(bJ fb) дают значение изгибающих моментов в расчетных сечениях. По ним строится эпюра М_х (рис. 4.3, г).

Так как в данном случае имеют место только сосредоточенные массы, формула (4.8) примет вид Числитель формулы (4.9) дает произведение матриц:

Чтобы вычислить знаменатель, предварительно по формуле Мора определим перемещения по направлению колебания масс:

Подставим полученные значения в формулу (4.9):

Результат практически совпадает с точным, что свидетельствует об удачном выборе формы колебаний.

Заметим, что формулу (4.9) удобно применять при определении частот свободных колебаний ферм, имеющих сосредоточенные массы. Числитель в формуле (4.9) для ферм примет вид Упражнение 4.1. Определите низшую частоту колебаний балки, изображенной на рис. 4.1. Сосредоточенная масса М = 0,5 ml, т — масса на единицу длины. Жесткость балки — EI. В качестве функции прогиба примите у (х) = лх

= Л sin —.

Упражнение 4.2. Определите низшую частоту колебаний балки ломаного очертания с сосредоточенными массами (рис. 4.4, а).

Рис. 4.4. Статически определимая балка с двумя степенями свободы и балка с переменной массой Упражнение 4.3. Определите низшую частоту свободных колебаний балки с переменной массой, но постоянной жесткостью EI (рис. 4.4, б). Форму упругой линии определите от заданной нагрузки.

Упражнение 4.4. Определите угловую частоту балки с переменной массой (рис. 4.5). Форму колебания примите в виде синусоиды. EI = const.

Рис. 4.5. Балка с переменной массой Пример 4.3. Определим низшую частоту вертикальных колебаний балки жесткости среднего пролета вантового моста, представленного на рис. 4.6 [11].

Рис. 4.6. Трехпролетный вантовый мост с радиальной схемой вант.

Характеристики моста следующие.

Ванты:

• • модуль продольной упругости Е_а = 1472- 10⁵кН/м²;
• • площадь поперечного сечения Л_в = 0,1 105 м².

Пилоны:

• • модуль продольной упругости Е_и = 3 • 10⁷ кН/м²;
• • осевой момент инерции 1_Х= 11,29 м⁴.

Балка жесткости:

• • модуль продольной упругости Е_в = 2,1 • 10^нк11/м²;
• • осевые моменты инерции /_д<5= 2,19 м⁴, / _б= 48,96 м⁴;
• • вес 87,32 кН/м.

Геометрические размеры показаны на рис. 4.6.

Решение

Несмотря на очевидную структурную сложность вантовых мостов, можно создать решение для вычисления частоты свободных колебаний. Предлагаемое решение является полезным в стадии предварительного динамического расчета вантовых мостов с целью выявления области спектра частот собственных колебаний. Для решения задачи используем энергетический метод. Выражения потенциальной энергии деформации W и кинетической энергии К для балки жесткости с учетом продольных сил имеют вид.

Зададимся перемещением, как для шарнирно опертой балки:

Представим балку жесткости с вантами и пилонами как отдельный объект, которому задаются перемещения (4.11). При задании перемещений в вантах появятся дополнительные усилия AJV_y, которые и вызовут дополнительные деформации пилонов. Ванты с двух сторон балки жесткости объединим в одну плоскость, умножив площадь поперечного сечения вант на два. В этой плоскости представим пилон как консольный стержень, заменив его пружиной с податливостью.

где Н — высота пилона над балкой жесткости; EJ_xn — жесткость пилона в направлении моста.

Дополнительные усилия в вантах определим методом сил, выбрав основную систему путем разреза вант. Главные коэффициенты, побочные коэффициенты и свободные члены системы уравнений примут следующий вид (постоянные множители не приводятся):

Таблица 4.1

Характеристики вант.

В приведенных выражениях, а — угол наклона вант.

Вычисления удобно свести в табл. 4.1.

Решение системы уравнений дает следующие значения усилий в вантах (общий множитель я ²sin²co/):

В первых четырех вантах значения усилий имеют знак «минус», поэтому они нс получили удлинений. Эти ванты исключаются при подсчете потенциальной энергии.

Жесткость балки на изгиб и масса — постоянные величины, поэтому потенциальную энергию изгиба и кинетическую энергию вычислим сразу, подставив в выражения (4.10) представление (4.11):

Выражение потен циальной энергии (4.10) необходимо дополнить потенциальной энергией вант и пилонов. При вычислении энергии учтем массу вант, поделив ее поровну между пилоном и балкой жесткости. Вес вант равен 0,891 кН/м.

Масса вант для половины пролета определяется произведением этой величины на длину вант и делением Hag = 9,81 м/с² (длина вант L приведена в табл. 4.1):

После деления на 200 м получим погонную массу вант т_ъ = 0,5989 т/м. Просуммируем ее с погонной массой балки жесткости, получим т = 9,4979 т/м.

Изменение продольной силы в балке жесткости является ступенчатым. Однако исследования показали, что вклад в потенциальную энергию ступенчатой эпюры продольных сил и постоянной эпюры практически одинаков. Поэтому ради простоты изложения использован последний вариант [ 111.

Запишем соответствующее равенство энергетического метода. Первые два члена и кинетическая энергия будут иметь прежний вид. Максимальные значения синуса и косинуса равны единице, постоянный множитель сокращается:

или в числах:

С целью верификации сравним это значение с низшей частотой собственных колебаний всего моста, полученной численным методом. Ее значение 0,35 458 Гц. Как и следовало ожидать, частота отдельной балки жесткости оказалась больше на 16,5%, что естественно, так как мост в целом является более податливым. Кроме того, правильно выполненный расчет энергетическим методом даст завышенный результат. Однако частоты имеют одинаковый порядок, что в какой-то мере подтверждает их достоверность.