Расчет рам на устойчивость методом перемещений

В результате изучения данной главы студент должен: знать

• • теорию метода перемещений решения задач устойчивости стержневых систем;
• • возможные формы потери устойчивости загруженных симметричных рам; уметь
• • правильно выбирать основную систему метода перемещений при расчетах рам на устойчивость;
• • безошибочно находить минимальный корень уравнения устойчивости; владеть
• • методом перемещений для расчета рам на устойчивость;
• • методами анализа полученных результатов.

Теория метода

Метод перемещений получил широкое распространение при расчете строительных конструкций. Объясняется этот факт элементарностью выбора основной системы и ее простотой. Особенно существенны эти преимущества при решении задач устойчивости. На первый взгляд кажется, что основная система метода сил проще, так как она является статически определимой. На самом же деле, в силу того что расчет на устойчивость проводится по деформированной схеме, в многоэлементной системе метода сил получить деформированную схему гораздо сложнее, чем в основной системе метода перемещений, состоящей из отдельных прямолинейных стержней.

Основная система метода перемещений при определении критической нагрузки принимается такой же, как при решении задач прочности (рис. 10.1, а). Но реакции в дополнительных связях определяются уже с учетом продольного изгиба по деформированной схеме.

Поэтому канонические уравнения получаются однородными. Примем для реакций те же обозначения, что и при расчете на прочность. Но при этом следует помнить, что реакции определяются по деформированной схеме:

Физический смысл этих уравнений равновесия состоит в том, что они отрицают наличие реакций в любой дополнительной связи при возникновении перемещений. Таким образом, идея эквивалентности основной и заданной систем сохраняется и здесь. Остается справедливой и теорема о взаимности реакций от единичных перемещений, т. е. r_jk = r_kj.

Однородная система уравнений (10.1) имеет не единственное решение. Одно из них, так называемое тривиальное решение, будет иметь место, если все неизвестные Z, = Z₂ = … = Z" = 0. Равенство нулю перемещений в большинстве случаев свидетельствует о том, что нагрузка еще не достигла критического значения и рама находится в устойчивом состоянии. Поэтому тривиальное решение не представляет интереса. Правда, в определенных случаях может произойти потеря устойчивости стержней и при нулевых значениях перемещений. Это происходит при достижении значения критического параметра больше 2п в отдельных стержнях.

При решении задач методом перемещений будем использовать статический критерий устойчивости, как и в методе непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси стержня. С этой целью зададим раме малые перемещения (рис. 10.1, б — сплошная линия) и будем искать то минимальное значение нагрузки, при котором рама может находиться в равновесии как в недеформированном состоянии, так и в деформированном.

Нетривиальное решение уравнений (10.1), когда перемещения не будут нулевыми, имеет место в том случае, когда определитель из коэффициентов будет равен нулю, т. е.

Раскрывая этот определитель, получим уравнение устойчивости, которое служит для вычисления критической нагрузки. Как правило, коэффициенты r_kJ выражаются нс через F непосредственно, а через критический параметр v (см. формулу (9.7)). Как будет показано ниже, коэффициенты г_к1 являются трансцендентными функциями этого параметра. Поэтому уравнение устойчивости, получаемое в результате раскрытия определителя.

• (10.2), будет трансцендентным уравнением, корни которого находятся путем подбора. Этим определитель (10.2) отличается от определителя (2.7). Там рассматривались системы с конечным числом степеней свободы, что приводило к алгебраическому уравнению, а здесь рассматриваются рамы с бесконечным числом степеней свободы. По этой причине уравнение
• (10.2) имеет множество корней, из которых, как и в методе непосредственного интегрирования дифференциального уравнения оси стержня, нужно находить только минимальное ненулевое значение v, удовлетворяющее уравнению (10.2).

В общем случае параметр v_k, определяемый выражением (9.7), зависит от длины стержня 1_к, силы F_k и жесткости поэтому для различных стержней он может оказаться различным. 11о на основании четвертого допущения (см. параграф У.2), задающего соотношение между силами F_k, легко выразить все критические параметры v_k через какой-нибудь один из них. Тогда все коэффициенты r_kjопределителя (10.2) будут функциями только одного параметра.

После определения критического параметра критическое значение силы для выбранного стержня находится по формуле (9.8). Затем исходя из полученных соотношений между критическими параметрами находятся остальные параметры, а через них и критические силы по той же формуле (9.8). Для дальнейших расчетов определяются расчетные длины стержней из выражения (9.17).

Полученной критической нагрузке соответствует определенная форма потери устойчивости, которую нетрудно представить ориентировочно. Но эту форму можно и уточнить, насколько это возможно, выразив форму деформированного состояния системы с бесконечным числом степеней свободы через несколько перемещений. С этой целью следует использовать прием, изложенный в параграфе 2.2, для определения соотношений между перемещениями. Нужно принять какое-то значение, например Z, = 1, подставить его и значения v_; в уравнение (10.1) и, решая систему из (п — 1)-го уравнения, найти остальные значения Z-. По ним можно уточнить искомую форму потери устойчивости.