Исследование равновесия и движения механических систем

механика кинетический траектория

Теоретическая механика — наука об общих законах механического движения тел, целью которых, является изучение и практическое применение этих законов. Под механическим движением подразумевается происходящее в пространстве и во времени изменения положения одних тел по отношению к другим.

Данные задачи рассматривают все три раздела механики, а именно: статику, где рассматриваются методы преобразования одних систем сил в другие — эквивалентные и устанавливаются условия равновесия систем сил; кинематику — раздел, в котором изучается механические движения тел без учета сил, которые вызвали это движение; динамику — раздел, изучающий движения тел с учетом действующих сил на них.

Так же основными кинематическими характеристиками являются скорость, ускорение, траектория.

Исследование динамики вращательного движения твердого тела на основе применения теоремы об изменении кинетического момента механической системы

Моменты инерции механической системы относительно некоторой оси называется величина равная сумме произведения масс материальных точек системы на квадрат их расстояния до этой оси.

Ух=?m (ук?+zк?)

Уу=?m (xк?+zк?)

Уz=?m (xк?+ук?)

Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси z называется скалярной величина равная произведению массы точки на квадрат её расстояния до этой оси Уz=mн?=(Кг?м?) Нрасстояние от точки до оси. Радиусом инерции тела относительно некоторой оси называется скалярная величина, определяемая из равенства Yz=M?pz?: pz?=У2/м Радиусом инерции тела относительно некоторой оси определяет расстояние от той точки пространства до оси, в которой нужно сосредоточить всю массу тел, чтобы момент инерции, полученный таким образом материальной точкой относительно оси был равен моменту инерции данного тела относительно той же оси.

Кинетическим моментом материальной точки К0 относительно точки О называется вектор удовлетворяющим свойствам:

*модуль этого вектора равен произведению количества движения точки на плечо вектора количества движения относительного центра О.

К0=mvh

*К0 направленный перпендикуляр к плоскости, проходящий через вектор количества движения точки и центра О в ту сторону, чтобы смотря ему на встречу можно было видеть, что вектор количества движения mv стремится повернуть указанную плоскость вокруг центра О в направлении против хода часовой стрелки К0=[rxmv].

Кинетическим моментом материальной точки относительно некоторой оси называется скалярная величина равная взятой с соответствующим знаком произведению модуля проекции вектора количества движения точки на плоскость перпендикулярную оси, на плечо этой проекции относительно точки пересечения оси с указанной плоскостью.

Проекция кинетического момента точки относительно центра на ось, проходящей через этот центр равна кинетическому моменту точки относительно оси.

Теорема об изменении кинетического момента материальной точки.

(F1,F2,…, Fn) — системы сил, действующих на материальную точку. R=? Fк — равнодействующая сила М0 (R)=?M0(Fк) М0®=[r ?R]

К0 =[r? mv ] mw =R — основное уравнение динамики материальной точки.

dK0/dt[dr/dt?mv]+[r? m dv/dt]=[vxmv ]+[r?mw ]=[r? R ]=M0(R); dK0/dt=?M0(Fk)

Теорема: производная по времени от кинетического момента материальной точки относительно неподвижного центра О равна геометрической сумме момента, действующих на точку сил относительно того же центра.

dKx/dt=?Mx (FX)

dKy/dt=?My (FY)

dKz/dt=?Mz (FZ)

Кинетическим моментом механической системы относительно центра О. Называется вектор, равный геометрической сумме кинетических моментов материальных точек системы относительно того же центра.

Кинетическим моментом механической системы относительно некоторой они называется сколярная величина равная алгебраической сумме кинетических моментов материальных точек системы относительно этой же оси.

Теорема об изменение кинетического момента механической системы

Система состоит из n материальных точек.

Fk — равнодействующая внутренних сил системы.

Fk — равнодействующая внешних сил, на т. К (К=1…n)

Для каждой точки системы запишем теорему об изменении её кинетического момента относительно неподвижного центра О.

d (K0)k/dt=M0(Fk)+M0 (Fk) таких уравнений будит n.

Складывая левые и правые части этих уравнений и учитывая, что сумма моментов внутренних сил равна о, получим равенства: dK/dt=?M0 (Fk) (1)

Теорема: производная по времени от кинетического момента системы относительно неподвижного центра О равной геометрической сумме моментов (главному моменту) всех внешних сил относительно этого центра.

Из уравнения (1) получаем:

dKx/dt=?Mx (FX)

dKy/dt=?My (FY) (2)

dKz/dt=?Mz (FZ)

Производная по времени от кинетического момента системы, относительно неподвижной оси, алгебраической суммой моментов внешних сил системы относительно той же оси.

Следствие 1: внутренние силы системы не могут (быть) непосредственно изменять её кинетический момент.

Следствие 2: если главный момент внешних сил относительно неподвижного центра равен 0, то кинетический момент этого же центра положительный.

?М0 Fk (Fk)=0=›K0 — const.

Следствие 3: если главный момент внешних сил относительно неподвижной оси равен О, то кинетический момент относительно этой оси величина постоянная? М0 (Fk)=0=›Kх=const

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. F1, F2 ,…, F3 , — система внешних сил действующих на тело. Определение кинетический момент тела относительно оси вращения.

Kz=?mkщh?x; Kz=щ (?mkh?k); Iz=?mkh?k, где Iz — момент инерции тела относительно оси вращения. Kz= Izщ. Следовательно кинетический момент тела относительно его оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно оси на угловую скорость тела.

dKz/dt=?Mz (Fk)

Izdщ/dt=?Mz (Fk)

dщ/dt=е= -где — угол поворота тела.

Если известны начальные условия движения, то решение этого уравнения позволяет определить как с течением времени изменяется угол поворота тела.

Постановка задачи Тело Н массой m, вращается вокруг вертикальной оси z с постоянной угловой скоростью щ0; при этом в точке О желоба АВ тела Н на расстояние АО от точки А, отсчитывается вдоль желоба, находится материальная точка К массой mz. В некоторый момент времени (t=0) на систему начинает действовать пара сил с моментом Мz=Мz (t) Пt=r действие сил прекращается.

Определить угловую скорость щr тела Н в момент t=r. Тело Н вращается по инерции с угловой скоростью щr.

В некоторый момент времени t1=0 точка К начинается относительное движение из точки О вдоль желоба АВ (в направлении к В) по закону OK=S=S (t1).

Определить угловую скорость щt тела Н при t1=Т. Тело Н рассматриваем как однородную пластину, имеющую форму, данную в вариантe:

m1=300кг

m2=50кг щ0=-2рад/с

a=1,6 м

b=0,8 м

AO=0м

Mz=968Нм

r=2с

OK=(П/2)t1?

T=1c.

Рис.

Решение поставленной задачи При выполнении задания применяем теорию об изменении кинетического момента механической системы относительно оси z.

dKz/dt=?Mz (Fk) (1);Кz — кинетический момент системы.

Механическая система: тело Н, материальная точка К.

Внешние силы действующие на систему:

Сила тяжести: P1, P2,Mz реакции связей:

подшипника и подпятника: XD, YD, Xc, Yc, Mz. Будем предполагать, что вращение тела происходит против хода часовой стрелки. Это направление будем считать положительным при определение знака кинетического момента. Найдем выражение кинетического момента системы, который складывается из кинетического момента тела и момента количества движение точки К, находящейся в точке О тела Н и имеющей скорость Kz=K?z+K?z. так как тело Н совершает вращательное движение, то K? z=I2 щ и следовательно момент инерции тела Н относительно оси z, проходящей через ее центр равен:

Yz=m1(a?+b?)/3=90(2.56+1)/3=356кг?м?

Главный момент внешних сил равен вращающему моменту Mz ледовательно теорема об изменении кинетического момента будет иметь вид:

((Yz+m?BO?)щ)d/dt?Kz=Mz; где Mz-постоянн. (1)

Интегрируем: (Yz+m?BO?)dщ= Mzdt=>(Yz+m?BO?)(щr-щ0)= Mzr (2)

Из рисунка (1) ВО=а=1.6м=> Yz+m?BO?=356+50?0.2=456 кг? м? подстaвляя в (2) получим;

484?(щr+2)=968

щr=968/484−2

щr=0

Действие пары сил не прекращается, а т. К начинает двигаться относительно тела Н? Mz (Fk)=>Kz-const.

Определяем положение точки К относительно тела Н в момент времени t1=T

Движение материальной точки является сложным участвуют в двух движениях. Переносным движением для точки будет являться вращение, а относительным движение по дуге АВ то есть при t1>0 скорость точки К будет складываться из относительной Vr и переносной Ve. Показываем два вектора количества движения точки: mzVr и mzVе

Vе=щt?O1Kt O1Kt=BK

BK?t=0.8?+0.8?=1.28

Относительная скорость

(Kz)= Izщt+ m2щt BK? tm2Vr?R=356?щt+щ?1.28−50?0.8?2.5=420щt-100

0=420щt+100

— щt=0.238 рад/c

щt=-0.238 рад/c

Ответ: щr=0; щТ=- 0.238 рад/c

Рисунок 1.2.

Рисунок 1.3

Исследование динамики механической системы на основе применения теоремы об изменении кинетической энергии

Кинетической энергией материальной точки называется сколярная величина равна половине произведения массы точки на квадрат скорости Т=½mv?

F1,F2,…, Fnсилы действующие на материальную точку. R=?Fк — равнодействующая сил. R=m (dv/dt); dr — вектор перемещения точки под действием сил.

m (dv/dt) dr=Rdr

mv dv=R х dr

d (mv?/2)=?Fk х dr

Полный деффиринциал от кинетической энергии материальной точке равен сумме работ всех действующих на точку сил.

dT/dt=?dAk/dt

Производная по времени от кинетической энергии материальной точки равна суммарной мощности всех действующих на точку сил.

dT/dt=?Nk ?Ak=mv?2/2 — mv?½

Изменение кинетической энергии материальной точки при её перемещении из начального положения в конечное сумме работ всех действующих на точку сил на этом перемещении. Кинетической энергией механической системы называется величина, рана сумме кинетической инергий всех материальных точек этой системы. Т=?mkvk?/2 Абсолютное движение механической системы представляется двумя движениями, одно из которых переносное, а другое относительное. Переносное — движение системы вместе с поступательно — перемещающейся системой координат с началом в центре масс системы, тогда движение системы по отношению к этой системы координат будет являться относительным.

vk=vke+vkr

Так как переносное движение является поступательным, то переносные скорости всех точек системы равны и равны скорости центра масс.

vk+vc Tr=?mkvkr/2 кинетическая энергия системы при относительном движении.

T=½Mv?cTr

Кинетическая энергия тела при различных видах его движения.

Поступательное движение :

T=½?mkv?k=½v?(?mk) T=½v?M

Вращательное движение тела вокруг тела неподвижной оси. T=½ I2 щ?

Плоскопараллельное движение твердого тела

Это движение есть совокупность двух движений: поступательное (вместе с центром масс тела), вращательным (вокруг неподвижной оси перпендикулярна к плоскости и проходящей через центр масс системы).

Т=½Mv?c+½ Icщ?

Ak, Ar — работа внешних и внутренних сил системы, действующих на материальную точку с номером К на перемещение системы из начального в конечное положение.

Vk1 и Vk2 — скорости точки в начальном и конечном положение системы (К=1,…, n).

Для каждой точки записываем теорему об изменение кинетической энергии

Mk V? k/2-Mk

mkV?K2/2-mk V? k½=АК+АК (1)

Сложим левые и правые части Т2-Т1=?АК+?АК Теорема. Изменение кинетической энергии механической системы при ее перемещении из начального положения конечное равно сумме работ на этом перемещении всех внешних сил и внутренних сил системы.

dT/dt=Nk^e+Nkⁱ

Теорема. Производная по времени от кинетической энергии системы равна суммарной мощности всех внешних и внутренних сил. Если механическая система в покое, то сумма работ внутренних сил равна нулю. Предполагая, что все действующих на систему силы является потенциальными, тогда их работа при перемещение системы равна разности её потенциальных энергии в начальном и конечном положениях.

?Ак^e+?Акⁱ=Т11-Т12 Т1+Т2=Т11+Т12

Если все действующие на систему силы являются потенциальными, то её полная механическая энергия — величина постоянная. Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя; начальное положение указано на рис. Учитывая сопротивление качения тела 3 катящегося без скольжения пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяженными, определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным S.

r2=3/2R2

m1=mкг

m2=2 т? кг

m3=2 т? кг

R2=16см

R3=25см

I2x=14 см б=30°

д=0.20см

S =2м Рис. 2.1.

Для решения задачи применяется теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

T-T0=?AK+?AK,

Где Т0 — кинетическая энергия в начальный момент, в начальном положении, а Т в конечном положении.

?Ак — сумма работ внешних сил системы на этом перемещении.

?Ак — сумма работ внутренних сил систем.

Т0=0, т.к. тела системы абсолютно твердые, а нить не растяжимая. Следовательно :

Т=?А К (1) Т=Т1+Т2+Т3+Т4

Тело 1 совершает поступательное движение Т1=½m1v1

Тело 2 совершает вращательное движение Т2=½I2щ?2

Iz=m^2?r²2-момент инерции блока 2

Тело 3 совершает плоскопараллельное движение Т3=½m1v1+½I2щ?2

I3=½m3R²3

Выразим необходимую скорость через V

щ?= v1/r=4/3? v1/R²

V^e= щ? R²=4/3? v1/R²?R2=4/3V1 так как т Кмгновенный центр скоростей щ3=Ve/EK=Ve/2R3=4/3V1?½R3=2/3V1/3

V3= щ3? R3=2/3V1/3?R3=2/3V1

T=½m1V²1+½m2?i2x?V1(4/3R²)+½m3(2/3)²?V1+½m3R3?(2/3R3)V²=(½m+m196/144+6/9m)V²1=2.53V²1m

T=2.53V²1m

Показываем внешние силы действующие на систему Мт. к-момент трения качения. Сумма работ внешних сил: ?АК=Aр1+Ар2+Ар3+AN2+AN2+AN3+AMт.к+AFтр

Aр1=Р1S=m1gs=mgs

Ар2=0; АN3=0;

AN2=0; Ар3=-m3gsin30S3

Работа сил сопротивления качения катка 3: AMт. к=-S?2mgcos303

Перемещение на угол поворота выражаем через извеснтую S:2=S/r=4/3S/R²; S3=2R2=4/3S/R2?R2=4/3S; 3=S/2R3=2/3S/R3;

Sцентр=2S/3

?Ак=mgs-2mgsin30?2S/3−2Smgcos302/3S/R3=0.32mgS

=>2.53V²1m=0.32mgs V²1=0.32gs/2.53=2.5м²/c² V1=2.5=1.5м/c Ответ: V1=1.5м/c

Рис.

Исследование действие внешних сил на конструкции методом аналитической статистики

Механическая система является несвободной, если на перемещение и скорости точек системы наложены ограничения (связи).

Конструктивно связи могут быть выполнены в виде нити, невесомых стержней, поверхности, шарнира и т. п.

Аналитическая связь могут быть заданы с помощью уравнений или неравенств относительно координат и скоростей точек системы.

Связь называется удерживающей, если она аналитически задана в виде уравнений относительно координат точек системы. Эти уравнения определяют поверхности или кривые, на которых должны находится точки системы при её движении.

X?+Y?+Z?=C?- уравнение связи.

Связь называется голономной, если она аналитически записывается в виде алгебраических уравнений то есть уравнений не содержащих производных от координат точек системы или в виде дифференциальных уравнений, которые могут быть проинтегрированы. Связь называется стационарной, если уравнение связи не содержит в явном виде время t. f (x1,y2,z3, …, xn, yn, zn)=0 уравнение удерживающей голономной, стационарной связи.

Действительные перемещения точки — это бесконечное малые перемещения, которые может совершать материальная точка под действием сил.

Возможные перемещения материальной точки механической системы называется любое, допускаемое всеми наложенными на систему связями ее перемещения из положения, которое может занимать в данный момент времени, в других положение бесконечно близко к данному, которое может занимать эти точки в тот же момент времени.

Возможные перемещения механической системы называется любая совокупность возможных перемещений материальных точек системы, допускаемаявсеми возможными на систему связями.

Пусть на материальную точку М действует сила F.

Возможной работой силы F называется элементарная работа, которую могла бы совершать эти силы на перемещении материальной точки, совпадающее с одним из её возможных перемещений.

А=(Fr), где r — возможное перемещение.

Рассмотрим несвободную механическую систему. Освободим её от связей, заменив их действия реакций связей.

R1,R2,…, Rn — равнодействующие реакций связей. Сообщим системе возможное перемещение. Связью называются идеальными, если сумма элементарных работ реакций связей системы равна 0 на любом возможном её перемещении.

?(Rkч ?к)=0 или? Ак=0

Идеальные связи:

*связью является неподвижная гладкая поверхность или кривая.

*связью является шероховатая поверхность на которой происходит скольжение без проскальзывания.

*связью является шарнир без трения.

Общие условия равновесия системы — для равновесия механических систем необходимо и достаточно, чтобы ровнялись нулю геометрические суммы сил, действующих на каждую точку системы и скорости всех точек систем в ногальный момент времени.

Fk+Rk=0

Vk (0)=0

K=1,…, n

Рассматривая систему из n материальных точек на которую наложено h голономных удерживающих связей.

gi (x1,y2,z3,…, xn, yn, zn)

i=1,…, h.

Положение каждой точки в пространстве определяется тремя координатами. Число координат определяющих положения всех точек системы равно 3n. Эти координаты не являются независимыми. Число независимых связей будет равна S=3n-h

Положение механической системы лучше определять не с помощью прямоугольных координат точек, а с помощью некоторых параметров, имеющих различные размерности и различные физический и геометрический смыслы. Такими параметрами являются: площадь, объем, угол и т. п.

Независимые между собой параметры однозначно определяющие положение механической системы в любой момент времени называется обобщенными координатами этой системы.

q1,q2,…, qn — обобщенные координаты.

Радиус — вектор каждой точки системы координат может быть выражен через обобщенные координаты.

чk=чk (q1,q2,q3)

xk=xk (q1,q2,q3)

yk=yk (q1,q2,q3)

zkk=zk (q1,q2,q3)

При сообщении системы возможных перемещений при этом будут изменяться обобщенные координаты. Получаем элементарное превращение обобщенных координат.

Числом степеней свободы механической системы с голономными связями называются числом её обобщенных координат (только в этом случае).

Применяя принцип возможных перемещений и пренебрегать силами сопротивления, определить величину являющуюся в данном задании силу Р. Пружина сжата.

Линейные размеры: ОС=ОА Коэффициент жесткости с=10 Н/см=1000 Н/м Деформация пружины h=3 см=0.03м Рис. 3.1

Решение поставленной задачи Механизм находится в равновесии, связи наложенные на механизм идеальные, следовательно работа равна нулю. Для решения задачи применяется принцип возможных перемещений, в соответствии с которыми, сумма равна нулю, при любом перемещении? Ак=0

Пружина сжата. Механизм имеет одну степень свободы- -возможные перемещения т.д. Возможные линейные перемещения точек механизма направлены так же как были бы направлены скорости этих точек придвижении механизма. SaOA и соответственно с направлением. Восстанавливаем перпендикуляр из т, А и т В. т Равмгновенный центр поворота звена АВ. Находим возможные перемещения т. т РАВ является мгновенным центром скоростей для звена АВ значит: выражаем Уравнение работ данной конструкции имеет вид: F; В треугольнике АРавВ известны значения углов, можно найти АРав и ВPав используя теорему синусов: ВР/sin45=AP/sin15=AB/sin120; BP=AB?sin45/sin120; AP=AB?sin15/sin120; Из уравнения работ подставив АР и ВР и учитывая что F=c?h, можно найти силу Р.

Ответ: Р=11,1Н Рис 3.2

Заключение

Курсовая работа выполнена в соответствии с действующей программой курса теоретической механики для специальности 110 301 «Механизация сельского хозяйства». Данная работа состоит из трех заданий, в основу решения которых входят все три раздела теоритической механики.

Список литературы

1.Сборник заданий для курсовых работ по теоритической механике. Под редакцией А.А. Яблонского

2.Тарг С. М. краткий курс теоритической механики Москва: наука, 1995 г.