Примеры расчета статически определимых балок

Пример 1. На рис. 2.25, а изображена балка, заделанная левым концом, с шарнирным опиранием правого конца и имеющая промежуточный шарнир на расстоянии v от левой опоры. Равномерная нагрузка расположена на всей длине балки. Необходимо построить эпюру моментов и установить, какую долю должен составлять отрезок v от пролета, чтобы максимальный изгибающий момент в балке уменьшился до минимума. Таким образом, необходимо найти момент, наименьший по абсолютному значению из всех возможных максимальных моментов (M_{min> шах}) при различных значениях v.

Рис. 2.25.

Решение. Рассмотрим в первую очередь часть балки на отрезке между шарнирами В и С. Эту часть можно рассматривать как простую балку на двух шарнирных опорах с пролетом / - v (рис. 2.25, 6). Эпюра моментов в этом случае будет очерчена по квадратной параболе с наибольшей ординатой в середине пролета, равной q (I — v)²/8.

Часть А В балки АС представляет собой консоль с равномерной нагрузкой q и с силой в точке В, равной величине реакции от балки ВС. Изгибающий момент в произвольном сечении этой консоли.

При х = v (в заделке).

На рис. 2.25, в изображена окончательная эпюра моментов; из нее очевидно, что наибольший по абсолютному значению момент в части балки ВС равен ц (1 - v)²/8, а па консоли qlv/2. С изменением v обе величины меняются — одна (в заделке) возрастает, а другая уменьшается. Случай, когда эти величины равны, будет соответствовать поставленному в задаче условию,.

откуда найдем v² — 6lv + l² = 0. Следовательно, v = (3 ± V§)//.

Учитывая, что v < /, получим г;₀ = 0,1716/, поэтому М_А = М* = = Mmin, max = 0,0858гу/². Если v > v₀, то М_А > M_min>max; при V < VQ

Mk > max*.

Пример 2. Построить линии влияния изгибающих моментов в сечениях Ли k той же балки при v = vq и доказать, что при загружении балки на всей длине равномерной нагрузкой q моменты в сечениях А и k одинаковы и равны M_{min max} = 0,0858<�у/². Линии влияния указанных моментов изображены на рис. 2.26. Полные площади линий влияния будут.

Загрузив эти линии влияния, найдем М* = 0,0858г//².

Рис. 2.26.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Построить линии влияния моментов в сечениях т и п систем, показанных на рис. 2.27, а_у б.

Задача 2. Построить линию влияния момента и поперечной силы в сечении к с учетом узловой передачи нагрузки (рис. 2.28).

Указание: ординаты линий влияния считаются положительными и откладываются вверх, если момент вызывает растяжение нижних волокон.

Pwc. 2.2S.

Для самопроверки даны значения полных площадей линий влияния:

• • задача 1: Q = 1 м (см. рис. 2.27, a); Q = 5 м (см. рис. 2.27, б);
• • задача 2: Г2/_г = -0,125d.