Точки зрения на независимость: частотная и с позиций теории меры

Если мы используем частотный подход и возьмем операцию сочетания в качестве начального пункта наших рассуждений, тогда математические и физические условия независимости касаются взаимосвязи двух одномерных коллективов х и у (двух статистических экспериментов S_x и S_y) или в терминах вероятности Р₂(а, 6), двумерного распределения: факторизация (10.1). Они (условия) не касаются свойств каждого отдельного коллектива (статистического эксперимента). С другой стороны, определение независимости с позиций теории меры (4.1), (4.2) никак не связано с двумерным распределением. Конечно, определение (4.1), (4.2) можно рассматривать как обобщение правила факторизации (10.1). Однако,.

• (4.1), (4.2) слишком сильно обобщает равенство (10.1). Вообще говоря,
• (4.1), (4.2) не имеют отношения к оригинальным физическим мотивациям независимости. Мы собираемся тщательно рассмотреть эту проблему. Рассмотрим следующий пример |88|: Пространство меток 5 состоит из шести точек 1,… б с распределением Pi, г = 1,…, 6; событие (или множество) А состоит из трёх точек 2,3,4, событие С из двух точек 1,2; пересечение АпС есть точка 2, и вероятность Р(С/А) = ръЦръ +Р3+Р4)
• (вследствие определения с точки зрения теории меры (2.4) или частотного определения (3.4), которое основывается на операции разбиения). Теперь задаётся следующий вопрос: При каких условиях Р(С/А) равняется Р© (или Р(СПА) = Р (Л)Р (С'))? В нашем примере, при каких условиях верно равенство р₂/(/>₂ + Рз + Pi) = Pi + р₂? Пример подобран так, что это справедливо для р, = 1 /6, г = 1,6. Утверждение формулируется тогда так, что, в этом случае, события А и С являются независимыми. Давайте проанализируем это утверждение.

Рассмотрим множество А, состоящее из точек 2, 3,4 и множество С из точки 2; здесь С С А. Тогда Р (2/Л) = р₂/(р₂ + Рз + Pi) — Здесь вероятность Р (2/Д), безусловно, ие останется прежней если мы изменяем множество А, и, конечно же, для А, Р (Л) = 1, вероятность Р (2/Л) равна р₂. Теперь, однако, для того, чтобы сделать такое равенство возможным, рассмотрим другие множества 6^Т, такие, что Л П С = {2}, но С D Л П С. Такими подмножествами множества S являются, например, С = {1,2}. С-2 = {2,5}, С3 = {1,2, 5,6}, С — {1,2,5}. Тогда для, каждого из этих С верно равенство Р (С;/Л) = р->/(р₂ + Рз + pi) — Таким образом, имея выбор множеств С_п можно ли потребовать для одного или большего их числа и с каким-нибудь заданным распределением, выполнения равенства Р (буЛ) = Р©. Если все р, — = 1/6, оно остаётся справедливым для множества С = {1, 2} или для 6₂ = {2, 5}, но ие для С_:$ или С₄. Если мы возьмём pi = Р5 = 1/12, р2 = рз = р₄ = 1/6, ре = 1/3, то вышеупомянутое равенство сохраниться для С = {1,2,5}, но не для С и 6₂, и так далее. Кажется, что определение вероятности с позиции теории меры допускает возможность чисто численных случайностей. С физической точки зрения неясно: какой смысл вкладывается в утверждение о том, что для заданного распределения «события А = {2,3,4} и С = {2,5} независимы» в то время как «события {2,3,4} и {1,2,5} зависимы» или «события {1,6} и {2,3,4} зависимы'?

Можно сказать, что пересечение двух множеств А и С обладает ‘свойством' принадлежности множеству А и ‘свойством' принадлежности множеству С (и многими другими). Тем ие менее, метка «2» суть результат обыкновенного бросания одной игральной кости и не является двумерной меткой, как «белые волосы, голубые глаза» или «первый бросок кости даёт значение 3, второй — 5». Следовательно, понятие независимости двух ‘свойств', которые могут или ие могут повлиять друг на друга является значительным. Однако, это понятие должно обсуждаться на основе процедуры сочетания коллективов, соответствующих измерениям этих свойств.

Заключение

Независимость следует определять, скорее для коллективов, чем для изолированных событий.