Типичные задачи электростатики

Возникающие в электростатике проблемы можно классифицировать следующим образом.

• 1) Задано распределение зарядов. Найти поле. Это самый простой случай. Здесь есть надежные рецепты, которые всегда приводят к успеху.
• 2) Задано распределение зарядов, и в пространстве присутствуют проводники или диэлектрики. Найти поле. Это сложная проблема, которую мы не будем обсуждать, за исключением нескольких частных случаев.
• 3) Задана система проводников с заданными потенциалами. Найти поле. Сложная проблема, кроме случаев хороших симметрий.
• 4) Задано поле. Найти силу, действующую на заряженное тело.

Далее будут рассмотрены эти случаи, но начнем мы с полей, обладающих некоторыми специальными симметриями.

Центрально-симметричное поле

Пусть распределение заряда обладает центральной симметрией.

Это означает, что плотность р (г) зависит лишь от модуля г: р (г) = р (| г |), т. е. на любой сфере с г — const р = const.

Поле будет обладать такой же симметрией: оно должно переходить в себя (оставаться тем же) при вращении вокруг любой оси, проходящей через центр симметрии. Отсюда следует, что вектор D направлен вдоль радиуса-вектора г и на сфере г = const будет |/)| = const. Иначе говоря,.

D (г) = |д (г) |. Таким образом, поле задается одной скалярной функцией D®, которая и подлежит определению.

Воспользуемся фундаментальным уравнением (7.12) (теорема Гаусса):

В качестве поверхности интегрирования S выберем сферу г = const. Для интеграла в левой части (7.14) с учетом (7.13) будем иметь:

где учтено, что единичный вектор нормали к сфере S совпадает по направлению с вектором п, поэтому г? п = |г| • |Л| = |г| = г, а интеграл.

^dS по поверхности сферы есть площадь этой поверхности и равен 4я г².

Интеграл в правой части (7.14) можно вычислить следующим образом. Величина pd V — это заряд dq, содержащийся в объеме dK Рассмотрим шаровой слой радиусом г и толщиной dr. Объем этого слоя dV= 4nr²dr. Поскольку в пределах этого слоя плотность p® = const, в слое заключен заряд dq = р (г)? 4nr ²dr. (Это верно только при центральной симметрии. Если бы р не была постоянной на сфере г — const, заряд слоя не выражался бы этой формулой.) Величина Jpd V — это заряд q®, содержащийся внутри сферы радиусом г, и его мы найдем, суммируя заряды слоев:

Эта формула связывает значение индукции D на сфере радиусом г с зарядом q®, который оказывается внутри этой сферы (рис. 7.21). Отметим, что заряд, находящийся вне сферы, не влияет на Дг). Это означает, в частности, что внутри заряженного сферического слоя поле отсутствует. Это не очевидное и важное обстоятельство.

Рис. 7.21.

Окончательно из (7.14)—(7.16) получаем.

Итак, в точке, задаваемой радиусом-вектором г, индукция поля.

где q{r)= |р (/-')-4я r'^!dr' — заряд, содержащийся внутри сферы О.

г = const. Если функция р (г) задана, интеграл вычисляется. Таким образом, проблема решена.

Напряженность поля Ё (г) находится по формуле.

где е — значение диэлектрической проницаемости среды в точке, в которой вычисляется Ё (г).

Задача 7.6. Имеем шар радиусом R, равномерно заряженный по объему. Полный заряд шара Q. Шар окружен сферическим слоем диэлектрика с проницаемостью е (рис. 7.22). Найти поле во всем пространстве.

Решение. Вектор D определяется формулой (7.18). Обратите внимание на то, что наличие или отсутствие диэлектрика не влияет на применимость формулы. Для плотности р (г) имеем:

Рис. 7.22.

Для q® при г < R получим при г > R

Первый интеграл в правой части уравнения (7.22) дает, очевидно, полный заряд шара Q, второй — равен нулю, так как в области интегрирования re [R, г] плотность р (г') = 0. Таким образом,.

|/)| = Qr/4nR³ при г < R и |д| = Q/4nr² при г > R. На рис. 7.23.

приведен график зависимости D от г. Теперь можно найти напряженность поля по формуле (7.19). Внутри шара следует положить е=1, так как р₀ — полная плотность заряда и нет нужды разделять заряды на свободные и связанные. Для е (г) имеем:

С учетом этого для Ё{г) получим.

Рис. 7.23.

Рис. 7.24.

Различные формулы для Ё в разных областях получились, конечно, из-за того, что р (/-) и е (г) заданы в виде кусочно-непрерывных функций. Зависимость Е от г приведена на рис. 7.24.

Полученные результаты очевидным образом обобщаются на случай, когда шар окружен несколькими слоями диэлектрика с различными проницаемостями. Сюда же относится случай, когда шар окружен сферическим слоем из проводника. Его можно рассматривать, как предельный случай диэлектрика с е—>°°. Важно понимать, как проявляется симметрия в приведенном анализе. Если бы заряженный шар был окружен слоем произвольной формы, сферическая симметрия была бы нарушена, формула (7.18) оказалась бы неверной, поле не определялось бы одной скалярной функцией Щг) и из одного уравнения (7.14), которое, конечно, верно всегда, поле найти было бы невозможно.

Найдем для поля Дг), описываемого формулами (7.24), потенциал. Очевидно, что эквипотенциальные поверхности — сферы г = const. Для нахождения потенциала в точке Р надо выбрать некоторую кривую /, ведущую из Р в бесконечность, и вычислить интеграл j? d/.

I

Вычисление потенциала в случае сферической симметрии мы уже обсуждали (см. п. 7.1.3). Согласно формуле (7.5),.

Поскольку функция Е{г) задана разными формулами в разных областях г, интеграл будет представлен суммой интегралов. По этой же причине потенциал не может быть задан одной формулой во всей области 0 < г < °° (рис. 7.25).

Рис. 7.25.

и Л Л| Л] а

1) Пусть 0 < г <, R. Так как J = [ +J + J + |, для ф (г) в этой.

гг R Л| Л₂

области, с учетом (7.24), получим.

2) Для области R< г < R аналогично находим.

3) В области R_t < г<

4) Наконец, при г >

Обратите внимание на то, что потенциал ф (г) — непрерывная функция.

Из полученных результатов видно, что в центре шара, при г — О,.

на поверхности шара.

Если диэлектрик отсутствует, в полученных формулах следует положить е = 1; если вместо диэлектрика проводник, то следует перейти к пределу е -«.

Завершим рассмотрение этой задачи вычислением энергии поля.

Плотность энергии поля дается формулой w = Ё? D / 2 (см. п. 7.1.7). Сферическая симметрия означает, что в объеме шарового слоя радиусом г и толщиной dг заключена энергия.

Полная энергия в области г, < г < г₂ найдется интегрированием по слоям:

Так, например, для области вне шара, т. е. при г > R, получим.

В отсутствие диэлектрика, полагая в формуле (7.29) е = 1, для энергии поля будем иметь:

Это энергия поля вне заряженного шара в пустоте.

Задача 7.7. Медный шар радиусом R = 1 м заряжен до потенциала <�р = 5 • 10⁵ В относительно земли. Какова напряженность поля у поверхности шара? Какая энергия выделится, если шар разрядить на землю?

Решение. Внутри шара Ё =.

0, вне шара, согласно (7.24),.

где Q — заряд шара. Заряд Q можно связать с потенциалом. Согласно (7.27), <�р® = kQ/R, откуда kQ = /?<�р (Л), Е =.

®R/r², так что на поверхности шара E® = ср (Л)//? = 5 • 10⁵ В/м. При разряде электрическое поле исчезает и вся его энергия выделяется. Эта энергия, согласно (7.30), равна.

Как видим, несмотря на впечатляющий потенциал, энергия довольно умеренная.

Комментарий

• 1) Обратите внимание на то, что формула (7.30) дает энергию поля вне заряженного шара. В нашем случае — это вся энергия, так как поле внутри шара отсутствует.
• 2) Строго говоря, решение неверно. Использованные формулы предполагают сферическую симметрию поля, но на самом деле это не так. Реальная картина поля изображена на рис. 7.26. Означает ли это, что полученным числам нельзя доверять? Нет, не означает. Вблизи шара поле мало отклоняется от сферической симметрии, а половина энергии, как легко установить, содержится в области ге [Л, 2R. Приведенное решение — это первая, грубая оценка величин. Уточнение полученных результатов потребовало бы значительно больших усилий. Мы еще вернемся к этой проблеме.

Рис. 7.26

Задача 7.8. Две концентрические проводящие сферы радиусами Л, и R₂ подключены к источнику, который создает между ними разность потенциалов U. Какова будет напряженность поля на расстоянии г от центра? Потенциал? Какие заряды окажутся на сферах?

Решение. Поле обладает сферической симметрией. Имеем, согласно (7.18), (7.19):

где q® — заряд внутри сферы радиусом г. Поэтому Е (г) = 0 при г < R, так как q® = 0; Е (г) = 0 при г > R_v так как и в этом случае q® = О (полный заряд двух сфер q_{ + q₂ — 0, источник заряда не создает, он может лишь его перераспределить). В области Л, < г < Л,.

где q_{ — заряд внутренней сферы. Этот заряд неизвестен, но он, очевидно, определяется разностью потенциалов между сферами. Поэтому.

откуда.

Что касается потенциала <�р (г), то при Л, < r<

При г < Л,.

г > R₂ (р (г) = ф (Л_г) = const, причем ф (Л,) — ф (/Jj) = (/. Сами потенциалы ф (/?,) и ф^) не определены. Если U> 0, 0, <7_г = -q < 0.

Задача 7.9. Точечный заряд Q помещен в центр сферического слоя из диэлектрика с внутренним радиусом R. Какой заряд появляется на внутренней поверхности этого слоя?

Решение. Пусть интересующий нас связанный заряд равен q'. Для поля в некоторой точке г внутри слоя (г > R) имеем:

? ~ 1.

Но D® = Q/4nP. Отсюда находим q' =—Q. Заряд зависит, как и с.

можно было ожидать, от диэлектрической проницаемости. В пределе е -> «, q' _> -Q, что и произойдет, если диэлектрик заменить проводником.

Выводы;

При сферической симметрии на любой сфере г = const индукция поля равна.

а напряженность поля.

Здесь q® — заряд внутри сферы, Я — единичный вектор внешней нормали.

На любой сфере г = const потенциал постоянен. Разность потенциалов между точками на сферах г = г, и г = г₂ равна.