Интегрирование уравнений движения

Задачи динамики частицы бывают двух типов. Первый — задано движение частицы, и нужно найти действующую силу. Здесь нет особых трудностей: по заданному движению находим ускорение, и второй закон Ньютона определяет силу. Второй — задана сила, действующая на частицу, и нужно определить движение частицы, т. е. в конечном итоге найти координаты как функции времени. Эти задачи гораздо сложнее, и их решение требует решения дифференциальных уравнений. Некоторые задачи такого рода будут рассмотрены ниже.

Второй закон Ньютона приводит к дифференциальным уравнениям вида.

С математической точки зрения механика частицы сводится к теории дифференциальных уравнений второго порядка приведенного вида. Возникающие здесь проблемы могут быть весьма непростыми. Мы рассмотрим несколько сравнительно простых случаев, для которых имеются стандартные процедуры, всегда приводящие к успеху.

1) Движение частицы под действием силы, зависящей от времени.

Пусть F = F (t) — заданная функция времени. Второй закон Ньютона дает уравнение.

Перепишем его в виде Интегрируя это равенство (формально — приписывая знак интеграла слева и справа), получим.

Величина, стоящая слева, — изменение импульса за время /, интеграл в правой части в принципе вычисляется (штрихи у переменной / — дань математической аккуратности, для отличия верхнего предела интегрирования от переменной интегрирования). Формула (2.134) определяет вектор скорости в любой момент времени.

Далее:

откуда Под интегралом в правой части стоит известная (из (2.134)) функция времени, интеграл берется, и формула (2.136) определяет положение частицы в любой момент времени.

Внимание! Написанные уравнения*— векторные. Умножая их скалярно на постоянные базисные векторы /, у, к и помня, что для любого вектора i, а = а_х, мы вместо каждого векторного уравнения получим три скалярных.

Задача 2.29. На частицу действует сила F (t) = F₀ sin со/. Как будет двигаться частица?

Решение. Формула (2.134) дает.

Здесь v (0) — значение скорости при / = 0 (начальная скорость). Если в момент «включения» силы частица покоилась, эта скорость равна нулю. Полученный результат не очевиден. Действующая сила периодически меняет знак и величину, но скорость знака не меняет!

Далее, формула (2.136) дает.

Здесь г (0) — положение частицы в начальный момент. Полученное решение довольно любопытно. Видим, что частица дрейфует с постоянной скоростью в направлении вектора V = v (0)+F₀/(ma), и на это движение накладывается гармоническое колебание с амплитудой А = F₀/(rmo²).

На электрон в поле электромагнитной волны действует сила.

F = еЁ₀sin wt. Посмотрим, как ведет себя электрон в поле обычной радиоволны с напряженностью поля Е= 0,1 В/м и частотой 1000 кГц. Для скорости дрейфа получим.

Это достаточно большая скорость. Амплитуда колебаний будет А = 0,5 мм. Вокруг читателя «роится» огромное количество таких электронов в любой момент времени.

2) Движение частицы под действием сипы, зависящей от скорости. Одномерное движение.

Одномерное движение — это движение частицы по заданной траектории (пример — трамвай на рельсах).

Пусть частица движется по заданной кривой. Положение частицы на кривой задается длиной дуги s, отсчитываемой от некоторой точки. Второй закон Ньютона дает уравнение.

где F — тангенциальная сила (см. формулу (2.43)). Будем считать, что F= F (v) — заданная функция скорости. Преобразуем уравнение (2.137):

Интегрируя это равенство, получим.

Поскольку F (v) — известная функция, интеграл в левой части равенства (2.139) берется и дает некоторую функцию скорости /(v). Равенство /(v) = t/m неявно определяет скорость как функцию времени. Разрешая это равенство относительно v, найдем функцию v = v (/). Далее пишем.

откуда.

Формула (2.140) дает положение точки в любой момент времени, и проблема полностью решена (должно быть понятно, что если мы знаем положение частицы в любой момент времени, то можем ответить на все вопросы относительно движения частицы).

Задача 2.30. Мяч падает с высоты Н с нулевой начальной скоростью. Сила сопротивления со стороны воздуха пропорциональна скорости. Как будет двигаться мяч?

Решение. На мяч действует сила F — mg — av, второе слагаемое представляет силу сопротивления, величина, а зависит от размеров мяча. Отсутствие начальной скорости гарантирует падение по вертикали (при отсутствии ветра), так что мы имеем дело с одномерным движением. Пусть ось х направлена вертикально вниз. Второй закон Ньютона дает уравнение.

Это уравнение типа (2.137). Уравнение (2.139) дает.

Интеграл берется (сводится к табличному), и мы получаем.

Разрешая это равенство относительно скорости, получим.

Видим, что скорость со временем растет и стремится к постоянному значению v_inax = mg/а, причем это значение достигается тем быстрее, чем больше а.

Для координаты х равенство (2.140) дает.

Выражение получилось громоздкое, но смысл его простой: первое слагаемое в правой части соответствует движению с постоянной скоростью, а второе дает поправку, существенную для начального периода ускорения.

Это точное решение. Для того чтобы оценить влияние сопротивления на режим падения в начальной стадии, получим приближенное решение. Известно, что при малых х справедливо разложение.

С помощью этой формулы для скорости получим.

Видим, что начальное ускорение равно g, но оно убывает линейно по времени.

Падение капель дождя происходит по найденным формулам. Скорость капель у поверхности земли порядка нескольких метров в секунду (это ясно всякому, кто наблюдал дождь из окна движущегося автомобиля). Попробуем оценить величину а. Пусть капля диаметром 3 мм имеет скорость 5 м/с. Это дает для, а величину 0,14 кг/с. Время достижения максимальной скорости порядка т/а = v/g = 0,5 с. р_ис 2.з На рис. 2.3 показан график функции.

/(/) = 5(1 — ехр (-2/)), представляющей скорость падающей капли в первые 3 секунды падения. По вертикальной оси — скорость в м/с.

Коэффициент а пропорционален радиусу капли, а масса — кубу радиуса. Поэтому чем меньше капля, тем медленнее она падает. Капли тумана висят практически неподвижно.

3) Движение частицы под действием силы, зависящей от координаты. Одномерное движение.

Пусть в уравнении.

где F— тангенциальная сила, сила зависит от координаты: F= F (s). Нам нужно решить уравнение.

Мы можем, конечно, написать.

но толку от этого не будет: хотя сила и зависит от времени через переменную s, эта зависимость неизвестна, поэтому интеграл в правой части не берется. Уравнение (2.145) решается с помощью следующего трюка. Умножим обе части этого уравнения на скорость V.

Левая часть полученного уравнения есть производная по времени.

d (mv² ,.

—, а правая часть может быть представлена в виде.

dty 2)

Такое представление всегда возможно: функция W (s) есть просто первообразная функции F (s). Уравнение, таким образом, принимает вид.

или Равенство (2.146) утверждает, что величина, стоящая в скобках, не меняется со временем, т. е. постоянна. Обозначая эту постоянную буквой Е, получаем.

Если сила зависит от координаты, имеет место закон сохранения механической энергии. Функция W (s) представляет потенциальную энергию частицы. (Полезно сравнить полученный результат с тем, что мы обсуждали в п. 2.2.5.).

Формула (2.147) определяет скорость как функцию координаты:

Далее можно найти координату как функцию времени s = s (f) так, как это было показано в п. 1.2.5.

Задача 2.31. Частица массой т подвешена на нити длиной /. Частицу отклонили на угол а₀ от вертикали и отпустили без начальной скорости (рис. 2.4). Как будет двигаться частица? (Такое устройство называется математическим маятником.).

Решение. При указанных условиях частица не выходит из вертикальной плоскости и ее траектория — дуга окружности радиусом / (считаем, что а < п/2).

На частицу действуют силы натяжения нити Т и тяжести mg.

Сила f не дает вклада в тангенциальную силу. Положение частицы задаем длиной дуги s, отсчитываемой от нижней точки траектории, положительное направление — в сторону начального отклонения. Тангенциальная сила в точке с координатой s равна —mg si па = —mgsin (s//). Второй закон Ньютона дает уравнение.

Видим, что это уравнение типа (2.145). Функция.

представляет потенциальную энергию частицы. Равенство (2.147) принимает вид

Энергию Е определим из начальных условий: при t = 0 5(0) = 5₀, v (0) = v (5₀) = 0. Это дает.

и закон сохранения энергии принимает вид.

То, что полная энергия отрицательна, не должно смущать. Ее знак зависит от выбора нуля отсчета потенциальной энергии, а он, как мы уже видели, произволен (проанализируйте, чему соответствует наш выбор). Из (2.151) находим.

Формула (2.152) определяет скорость в любой точке траектории.

S S

Должно быть, очевидно, cos у > cos-у-, или |s| < 5₀. Это означает, что частица движется на участке дуги от —5₀ до +5₀.

Далее можно найти зависимость координаты 5 от времени, однако выразить эту зависимость формулой невозможно, так как первообразная функции 1 /v (s) для v (s) из формулы (2.152) в элементарных функциях не выражается. Однако, если ограничиться малыми отклонениями, задачу можно довести до конца.

Известно, что при малых х cosx"l-—. С учетом этого для малых отклонений формула (2.152) примет вид.

Далее пишем ds/dt = v (s), d5/v (s) = dt и.

(Нижний предел в интеграле соответствует начальному положению частицы.) Интеграл табличный, и окончательно имеем.

Такое движение называется гармоническим колебанием. На рис. 2.5 приведен результат численного интегрирования уравнения для маятника при начальном отклонении на угол п/2 при значении.

Величина со = Jу называется угловой частотой, время Т одного полного колебания называется периодом колебания. Поскольку период косинуса равен 2я, имеем.

JgJI = 1. Для сравнения на этом же графике изображена функция cos / (пунктир), которая описывает колебание при малых отклонениях.

Величина со = называется угловой.

Результат (2.154) означает, что период малых колебаний не зависит от начального смещения от положения равновесия и равен.

Для больших отклонений это не так. Из графика видно, что период увеличивается с ростом начального отклонения и соответственно формула (2.155) не имеет места.

Задача 2.32. В условиях задачи 2.26 найти зависимость координаты шайбы от времени, если движение начинается с нулевой скоростью.

Решение. Из уравнения (2.130) следует, что частица движется под действием силы, зависящей от координаты (неважно, что это — фиктивная сила, появившаяся потому, что мы описываем движение шайбы в неинерциальной системе отсчета; формально уравнение имеет вид второго закона Ньютона, и его решение подпадает под разобранный случай). Итак, F (x) = mtsfx. Этой силе соответствует потенциальная энергия.

Закон сохранения энергии дает равенство.

(Было учтено, что в начальный момент частица находится в точке с координатой х₀ и имеет нулевую скорость.) Отсюда для скорости получаем.

Далее имеем.

Интеграл берется, и в результате получаем.

Разрешая это равенство относительно х, окончательно находим.

Для малых времен, разлагая экспоненту в ряд, получим что можно было ожидать.

В заключение этого пункта отметим, что распространение компьютеров резко снизило остроту проблем, связанных с решением дифференциальных уравнений. Во многих случаях гораздо проще и целесообразнее получить численное решение, нежели исхитряться в попытках получить аналитическое. В качестве примера предлагается следующая задача.

Задача 2.33. С Северного полюса вертикально вверх стартует ракета с первой космической скоростью. Как будет двигаться ракета?

Решение. При вертикальном старте с Северного полюса ракета движется по прямой, и мы имеем дело с одномерным движением под действием силы, зависящей от координаты. Однако попытка получить аналитическое решение по изложенной выше программе наталкивается на трудности (попробуйте ее провести). Получим численное решение. Здесь также есть свои тонкости.

Пусть г — расстояние от центра Земли, скорость ракеты будет v = dr/dt. Второй закон Ньютона дает уравнение.

Учитывая, что GM = gR², где R — радиус Земли (см. п. 2.2.6), равенство (2.160) перепишем в виде.

При численном интегрировании удобно вводить безразмерные переменные. Одна появилась сама собой — положим у = r/R. Уравнение (2.161) примет вид.

Если теперь положить gt²/R — х², t = -jR/g? х, окончательно получим.

Здесь уже переменные у их безразмерные. Для скорости получим.

Величина -JgR ~ 8 км/с называется первой космической скоростью. Решение уравнения (2.162) при начальных условиях у (0) = 1, у'(0) ⁼ 1, чему соответствует старт с поверхности Земли с первой космической скоростью, приведено на рис. 2.6. Сплошная кривая дает расстояние г, пунктирная — скорость V. Значение этих функций находилось в 100 точках на интервале х е [0, 5].

Из графика видно, что высота подъема равна радиусу Земли (что можно было найти и аналитически, см. задачу 2.19), и достигается эта высота в момент времени.