Плоское напряженное состояние

При расчете толкателей, рулевых тяг, штоков приходится иметь дело с линейным напряженным состоянием. Главные напряжения и главные площадки при одноосном напряженном состоянии очевидны.

В случае расчета на прочность валов, осей, баллонов и т. п. встречаются с плоским напряженным состоянием. Выведем формулы, с помощью которых при плоском напряженном состоянии по известным нормальным и касательным напряжениям на 1ранях выделенного элемента можно определить величину главных напряжений и положение главных площадок относительно заданных осей x, yuz.

Выделим в окрестности исследуемой точки элементарный параллелепипед (рис. 88, а). На четырех гранях этого параллелепипеда с помощью метода сечений определяем нормальные и касательные напряжения о_х, о_у и г. Передняя и задняя грани этого параллелепипеда от напряжений свободны. Таким образом, напряженное состояние выделенной точки — плоское.

Рис. 88. Определение положения главных площадок: а) напряжения на наклонной площадке; б) равновесие выделенной треугольной призмы; в) положение главных площадок и главных напряжений Определим положение главных площадок, т. е. угол а, на который необходимо повернуть грани параллелепипеда, чтобы на них исчезли касательные напряжения и остались только нормальные — главные, а также определим величины этих главных напряжений.

Прежде всего определим функциональные зависимости нормального и касательного напряжений о_а и т_а на наклонной площадке от угла ее наклона а. Угол а будем отсчитывать от большего напряжения (допустим, это будет о_у) до нормали к площадке.

Проведем сечение параллелепипеда плоскостью DB под углом а к грани у. Из условия равновесия треугольной призмы (рис. 88, б), проецируя силы сначала на нормаль к наклонной площадке LF_N = 0, а затем на площадку ZF_T = 0 и проведя тригонометрические преобразования, получаем.

Чтобы определить положение главных площадок, достаточно определить угол а, приравняв уравнение (123) нулю. Тогда получаем.

Подставив найденное значение, а в уравнение (122) и приравняв уравнение нулю, после тригонометрических преобразований получаем формулу для определения главных напряжений. Значение главного напряжения на смежной площадке получаем после подстановки в уравнение (122) а¹ = а + 90°:

Главные напряжения и главные площадки данного напряженного состояния представлены на рис. 88, в.

При использовании формул (124) и (125) необходимо помнить следующее правило знаков:

• -угол а считается положительным при отсчете против часовой стрелки;
• — касательное напряжение х на грани параллелепипеда считается положительным, если оно стремится создать вращение по часовой стрелке.

Плоское напряженное состояние, показанное на рис. 89, а, называется упрощенным плоским напряженным состоянием. Его главные напряжения и главные площадки показаны на рис. 89, б.

Рис. 89. Изображение плоского напряженного состояния: а) упрощенное плоское напряженное состояние; б) главные площадки и главные напряжения Упрощенные плоские состояния часто встречаются в расчетной практике, например, при расчете валов. В этом случае формулы (124) и (125) упрощаются:

Главные площадки и главные напряжения могут быть определены графически с помощью круга Мора.