Понятие области. 
Линия Жордана

В предыдущем пункте мы считали функцию комплексного переменного w =/(z) определённой на некотором произвольном множестве точек Е. В дальнешем мы почти исклю чительно будем принимать за множество точек Е_% на котором изменяется независимое переменное z. так называемую область плоскости, определение которой мы и должны теперь дать. Предварительно выясним понятие внутренней точки множества.

Точку Р называют внутренней точкой множества Е, если все точки достаточно малого круга с центром в точке Р принадлежат этому множеству Е. Так, например, рассматривая все точки, заключённые между двумя концентрическими окружностями, мы получаем множество, состоящее из одних внутренних точек. Присоединяя же к этому множеству то^,?ки, лежащие на окружности (на одной или обеих), мы будем иметь множество, которое содержит точки, не являющиеся для него внутренними такими будут все точки, расположенные на окружностях.

Областью мы называем множество G точек плоскости, удовлетворяющее следующим двум условиям.

• 1) G состоит из одних внутренних точек,
• 2) любые две точки множества можно соединить ломаной с достаточно большим числом звеньев так. чтобы все точки этой линии принадлежали самому множеству.

Так, вышеприведённый пример множества представляет область; во втором же слу чае мы не имеем области. Когда дана область О, то все точки плоскости можно разделить на два класса по отношению к этой области. К первому классу мы отнесём все точки области G, ко второму — точки, не принадлежащие С. Очевидно, точка Q, не принадлежащая области О (точка второго класса), может быть двоякого типа: либо все точки достаточно малого круга с центром в этой точке Q не принадлежат области О, — такую точку Q мы назовём внешней точкой области G, — либо, при сколь угодно малом круге с центром в точке Q, в этом круге будут всегда точки области G, — такую точку Q мы назовём граничной точкой области G. Совокупность всех граничных точек области G называют её границей. Единственным примером области без границы служит вся расширенная плоскость комплексного переменного. Таким образом, отвлекаясь от этого случая, можно сказать, что всякая область G имеет границу. Существенно отметить, что не всегда существуют внешние точки области G; так, например, совокупность всех точек плоскости, не лежащих на отрезке действительной оси [—1, —J— 1], представляет область, не имеющую внешних точек.

Множество, состоящее из области G и её границы, называется замкнутой областью и обозначается через G.

Выяснив понятие области, перейдём к определению понятия непрерывной линии в смысле Жордана. Пусть x (t) и y (t) суть действительные непрерывные функции переменного /, изменяющегося на отрезке Два уравнения:

дают параметрическое изображение непрерывной линии. Если мы потребуем, чтобы двум различным значениям параметра t (за исключением, быть может, значений / = а и f = p, соответствующих началу и копну линии) соответствовали всегда две различные точки линии, то наша линия нс будет иметь кратных точек. Такую линию мы будем называть линией /Ко/ дана или просто непрерывной линией. Если мы положим z = x—iy, так что z (/) = х (/) -р iy (/), то её аналитическое изображение может быть записано с помошыо одного уравнения:

Когда параметр t изменяется, возрастая на отрезке [а, р], точка z описывает линию Жордана, началом когоррй служит точка z{a) и конном точка г (р); тем самым на линии (1') устанавливается положительное направление.

Геометрически линия Жордана, очевидно, представляет множество точек плоскости, являющееся взаимно однозначным и непрерывным отображением прямолинейного отрезка. Если начало и конец линии Жордана совпадают между собой, т. е. ^(а) = z (р), то она называется замкнутой. Как показал Жордан, непрерывная замкнутая линия без кратных точек делит плоскость на две разные области: одну, не содержащую бесконечно удалённой точки, называемую внутренней по отношению к данной линии, другую, содержащую бесконечно удалённую точку и называемую внешней по отношению к данной кривой. Для обеих этих областей данная линия является границей. Мы будем предполагать, что вышеуказанное положительное направление на линии выбрано так, что внутренняя часть кривой лежит слева от точки z (t), движущейся в этом направлении. Замкнутую линию Жордана геометрически мы можем рассматривать как взаимно однозначный и непрерывный образ окружности. Действительно, не уменьшая общности, мы можем положить, а = 0, ^ = 2тт и рассматривать параметр t как аргумент точки окружности. Область, лежащая внутри замкнутой линии Жордана, обладает одним замечательным свойством: какую бы замкнутую непрерывную линию мы ни провели в этой области, ее внутренняя часть также принадлежит данной области.

Вообще, всякую область, обладающую этим свойством, мы назовем односвязной, а области, не обладающие упомянутым свойством, — мкого— связными. Так, например, часть плоскости, лежащая внутри многоугольника, есть односвязная область, границей которой служит этот многоугольник: наоборот, часть плоскости, лежащая вне многоугольника, будет многосвязной, так как внутренняя часть замкнутой жордановой кривой, окружающей многоугольник, не вся принадлежит данной области. Точно также многосвязной будет область, состоящая из точек z кругового кольца r<^z —.

Для областей, лежащих в расширенной плоскости, понятие односвязности несколько обобщается. Именно, такая область называется.

Фиг. 15.

односвязной, если для замкнутой жордановой кривой, принадлежащей области, либо внутренняя, либо внешняя часть (включая и бесконечно удалённую точку) принадлежит этой области. Например, внешняя часть многоугольника является здесь односвязной или многосвязной, смотря по тому, включаем ли мы в неё бесконечно удалённую точку или же исключаем.

Мы уже отметили, что часть плоскости, лежащая внутри произвольной замкнутой линии Жордана, есть односвязная область, границей которой служит эта линия Жордана. Рассматривая области, границы которых состоят из нескольких замкнутых линий Жордана, мы будем иметь примеры многосвязных областей. Так, пусть /₀, 1_п суть замкнутые линии Жордана, такие, что каждая из линий 1_и /₂,…, /_л лежит вне остальных и все они расположены внутри /₀ (фиг. 15).

Множество точек плоскости, лежащих одновременно внутри линии /₀ и вне всех линий /, /₂, …" /", будет представлять область, границей которой служит совокупность точек линий /₀, /, …, 1_п. Например, множество то 'екг, удовлетворяющих неравенству г z — z₀ представляет область, граница которой состоит из двух окружностей радиусов г и R с общим центром в точке z₀. При п = 0 мы имеем прежний простейший случай односвязной области. Наоборот, в случае л^> 0 в области существуют такие непрерывные замкнутые линии, внутренние части которых не целиком принадлежат области. Таким образом, область, граница которой состоит из нескольких п—1 замкнутых линий, будет многосвязной и именно л-f-1 -связной. Например, множество точек, лежащих внутри кругового кольца, — двухсвязная область, область, изображённая на фиг. 15, — трёхсвязная и т. д.

Область называется ограниченной, если все её точки лежат внутри некоторого круга с центром в нулевой точке достаточно большого постоянного радиуса. В противном случае область называется неограниченной. В дальнейшем, если не оговорено противное, под словом «область» мы будем понимать произвольную ограниченную или неограниченную область плоскости, односвязную или многосвязную, не содержащую бесконечно удалённой точки, и будем её обозначать через G. Множество точек, состоящее из точек области G и её граничных точек, мы будем называть замкнутой областью и обозначать через G.