Отношения и операции над ними

Очевидно, что все отношения между объектами некоторого множества можно, в конечном счете, свести к отношению пар этих объектов притом, что каждый может одновременно иметь разные отношения с некоторыми другими. Если, например, для присутствующих на родительском собрании класса ввести отношение родственники, то почти все они разобьются на пары типа «мама — ученик». Если же у мамы в этом классе учатся двойняшки, то это уже две пары того же типа. Среди мам могут быть сестры, а одна из мам — тетя молоденькой учительницы. Пары могут быть разными.

Несмотря на многочисленность пар, имя введенного отношения для них общее (у нас — родственники). Это имя внесем в БЗ и там запомним. Имен различных отношений в БЗ может храниться множество. Все они образуют так называемые интенсиональные знания, содержащие интенсиональные отношения (те самые имена отношений).

Каждая из пар единственна в своем роде, каждую необходимо запомнить. Множество конкретных пар образует экстенсиональные знания, они хранятся в БД. Отдельно взятая пара образует экстенсиональное отношение.

Пусть элемент х множества X находится в отношении R с элементом у того же множества. Этот факт представим в виде xRy. Говорят, что х и у находятся в экстенсиональном отношении R (образовали пару), имя которого (интенсиональное отношение) R'.

Положим, элементы i = 2 и j = 4 образуют экстенсиональную пару R₂₄ с интенсиональным отношением R'₂₄ в качестве имени. Полным, или семантическим, отношением будем называть пару r₂₄ = (R₂₄, /?₂₄) — В дальнейшем мы будем работать только с семантическими отношениями.

Если элемент и под номером i некоторого множества находится в отношении г е R с элементом v под номером j того же множества, то, упрощая, пишут TjjiUj, Vj). Отношение R можно оговорить заранее, и тогда достаточно будет указать лишь пары (u_i9 vj). Если i, j = 1, 2, 3, …, п, то подмножество отношений между ними удобно задавать в виде табл. 4.3, где г_п отображает отношение для пары (щ, vj), г₁₂ соответственно для (u_t, vj) и т. д.

Таблица 4.3

и т.д.

Подмножество отношений.

Таблицу можно расписать иначе, в виде «суммы», где знак «+» будет означать лишь факт принадлежности элемента к подмножеству {rj:

Строки можно переписать и так:

Окончательно имеем:

Вывод. Если имеется некоторое полное множество U и другое полное множество V, то отношением R между ними является подмножество, образованное произведением U х V и определяемое следующим образом:

или иначе — в виде матоины г., типа вышепоиведеииой таблицы, где.

Если имеется универсальное множество X и на нем заданы отношения R его элементов, то, очевидно, R является подмножеством X, т. е. можно написать: RqXxX.

Пусть на одном и том же множестве X заданы два отношения А и В. Множество С = АиВ называется объединением отношений А и В:

Множество D = А п В называется пересечением А и В:

Говорят, что отношение В включает отношение Л, если для соответствующих множеств AqXxXuBqXxX выполняется А с В, откуда следует, что если выполняется хАу, то выполняется хВу.

Если отношение А задано на X и выполняется хАу, то для обратного отношения Л^-1 будет верно соотношение уА~^хх. Если матрица Л = {a_tJ), а матрица Л ¹ = {аЛ, то элементы их будут связаны между собой отношением а^= а_;7, т. е. матрица Л^-1 получается путем транспонирования матрицы Л.