Условия на границе раздела двух диэлектриков

Рассмотрим границу раздела двух изотропных диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями е, и е₂ (e_t < е₂).

Пусть на границе раздела свободные заряды отсутствуют.

Оба диэлектрика находятся в однородном электрическом поле напряжённостью Е. Напряжённость электрического поля в одном из диэлектриков будет равна Е, во втором е₂ .

Выберем некоторый контур, охватывающий границу раздела двух сред.

Поскольку электрическое поле консервативно, работа кулоновских сил на замкнутом контуре А_{ равна нулю:

На участках 12 и 34 рассматриваемого контура работа.

В этих выражениях ?,_т и Е_1х - проекции векторов Е, и Е₂ на ось, параллельную границе раздела двух диэлектриков.

Пусть /₂₃ = /₄, -> 0. Тогда работа кулоновских сил на этих участках будет равна нулю.

Следовательно, работа кулоновских сил на всей длине контура равна А₁ = А₁₂ + Л₃₄ = 0 и а₁₂ = - Л₃₄.

Последнее соотношение можно переписать в виде qE_ul_X2 = цЕ_1х1_ЪА . Сократив одинаковые множители, получаем

Таким образом, компонента вектора напряжённости, параллельная фан и не раздела двух сред (тангенциальная компонента), с обеих сторон от границы одинакова.

Вектор электрического смещения D = е₀еЕ. Следовательно,

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

А это, в свою очередь, означает, что.

^1т^2т ^1т ⁸1.

—— = —^, или —— = —- .

^е1 ^?2^{2т е}2.

Другими словами, тангенциальная компонента вектора (D_T) на границе раздела скачкообразно изменяется в соответствии с последним соотношением.

Теперь рассмотрим поведение компонент векторов D и Е, перпендикулярных фанице раздела двух диэлектриков. Для этого воспользуемся теоремой Гаусса. В качестве поверхности интегрирования выберем цилиндр бесконечно малой высоты, основания которого параллельны фанице раздела двух диэлектриков.

В соответствии с теоремой Гаусса, считая электрическое поле однородным, мы вправе записать^[1]:

Отсюда следует, что = — .

*2″.

Таким образом, на границе раздела скачком изменяется нормальная составляющая вектора напряженности и не изменяется нормальная составляющая вектора электрического смещения.

Вследствие этого силовые линии на границе раздела двух диэлектриков изменяют направление¹'. Действительно, Е_]т = Е_2х, г_хЕ_Хп-

= ^е2^Е2 «•.

Е _.

Из рисунка видно, что — = tg а . Вырази жая тангенс угла наклона силовых линий в каждом из диэлектриков, получим:

Таким образом, в среде с большей диэлектрической проницаемостью (с₂ > ?|) силовые линии увеличивают наклон (см. рисунок).

• [1] Мы не будем здесь подробно описывать математические преобразования: они просты и практически одинаковы с рассмотренными перед этим.