Спектральные характеристики. 
Основы проектирования приборов и систем

Спектральные характеристики периодических сигналов.

С помощью спектральных характеристик оценивают внутренний состав (спектр) сигнала. Для этого сигнал x (t) представляют в форме обобщенного ряда Фурье, раскладывая его по системе базисных функций Т_k(t)

где С_к — постоянные коэффициенты, отражающие вклад функции Ч^(?) в формирование значений сигнала на рассматриваемом промежутке времени.

Возможность представления сложного сигнала x (t) в виде суммы простых сигналов 'РДО оказывается особенно важной для линейных динамических систем. В таких системах выполняется принцип суперпозиции, т. е. их реакция на сумму воздействий (сигналов) равна сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности. Поэтому, зная реакцию линейной системы на простой сигнал, можно, суммируя результаты, определить ее реакцию на любой другой сложный сигнал.

Выбор функций У_k(t) подчиняют требованиям максимальной точности приближения сигнала х (t) рядом (7.21) при минимальном числе членов этого ряда и, по возможности, снижению вычислительных трудностей, возникающих при определении коэффициентов ряда С_к.

В качестве базисных функций наиболее широкое применение получили вещественные тригонометрические функции.

и комплексные экспоненциальные функции.

На них строится классический спектральный анализ сигналов. Вместе с тем возможно применение других систем базисных функций (функций Тейлора, Уолша, Лагерра, Эрмита, Лежандра, Чебышева, Котельникова и др. 121), что в ряде случаев позволяет, учитывая специфику приближаемой функции x (t), сократить число членов ряда (7.21) при сохранении заданной погрешности приближения.

В последние годы появилась новая, весьма перспективная система базисных функций, называемых вейвлетами. В отличие от гармонических функций, они способны, изменяя свою форму и свойства, адаптироваться к локальным особенностям приближаемого сигнала. В результате становится возможным простое представление сложных сигналов (в том числе с локальными скачками и разрывами) наборами вейвлетов того или иного типа [2].

При использовании тригонометрических базисных функций (7.22), ряд (7.21) приобретает форму классического тригонометрического ряда Фурье.

где Q = 2п/Т — частота основной гармоники ряда (Г — период сигнала); к = 1, 2, 3,… — целое число; ak, bk — действительные числа (коэффициенты Фурье), вычисляемые, но формулам.

В этих формулах, как и прежде (см. (7.20)), t₀ — произвольное число, которое можно выбирать из соображений удобства вычисления интегралов (7.25), так как значения этих интегралов от величины t₀ не зависят; x_T(t) — базовый импульс сигнала (см. рис. 7.3, в).

Коэффициент а₀ определяет удвоенное среднее (за период) значение сигнала, остальные коэффициенты a_k> b_k {k = 1, 2, 3, …) — вклад к-й гармоники ряда Фурье (7.24) в формирование мгновенных значений сигнала х (?).

Тригонометрический ряд Фурье (7.24) можно записать в двух других формах: в форме разложения по синусам.

и в форме разложения по косинусам

где Л₀/2 = а₀/2 — постоянная составляющая сигнала; A_k — амплитуда k-и гармоники ряда, вычисляемая по формуле.

Начальные фазы этих гармоник вычисляются из соотношений.

или.

Совокупность амплитуд гармонических составляющих периодического сигнала {А_к}°?_={ называется амплитудным спектром этого сигнала. Совокупность начальных фаз этих составляющих {ф/^}^₌₁ — фазовым спектром сигнала.

Используя 5-функцию Дирака 8(?), оба спектра можно представить решетчатыми функциями частоты.

т.с. амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала являются дискретными спектрами. Это отличает периодический сигнал от других сигналов, обладающих сплошными спектрами.

Таким образом, периодический сигнал можно представить в виде суммы гармоник (7.24). При этом частота каждой гармонической составляющей ряда Фурье кратна частоте основной гармоники ?2, зависящей от периода сигнала Т.

Чем больше таких гармоник, тем меньше погрешность приближения функции x (t) конечной суммой ряда Фурье (7.24). Исключением являются точки разрыва непрерывности функции x (i). В окрестности таких точек проявляется так называемое явление Гиббса |2|. Согласно этому явлению в окрестностях точек разрыва конечные суммы ряда Фурье.

образуют осциллирующие «хвосты», высота которых не уменьшается с ростом числа учитываемых гармоник ряда Фурье N — она составляет примерно 9% от величины скачка функции x{t) в точке разрыва.

Для вычисления амплитуды и начальной фазы &-й гармоники периодического сигнала можно вместо формул (7.28) и (7.29) использовать формулы

где Х_т = Х_т(р) = L{x_T(t)} индекс Тпеременной х — изображение по Лапласу базового импульса сигнала, определяемое по формуле (см. приложение 2).

i — мнимая единица; & = 0,1,2,… — положительное целое число. Использование этих формул исключает необходимость вычисления интегралов (7.25), что значительно упрощает расчеты. Покажем пример такого расчета.

Пример 7.1.

Определить амплитудный спектр периодического сигнала Решение

На рис. 7.3, а, показан график такого сигнала. Видно, что сигнал имеет период Т = я. Следовательно, частота основной гармоники соответствующего ряда Фурье (7.24) равна Q = 2п/Т = 2 с^-1. Принимая t₀ = 0, x_T(t) = sin? (для 0 < t < я), но формулам (7.25) вычислим коэффициенты Фурье:

Рис. 73. Результаты спектрального анализа сигнала, r (l) = |sin (f)|:

а — форма сигнала; б — амплитудный спектр сигнала Следовательно, А₀/2 = 2/п, A_k = 4/я (4&² — 1), щ = л, где k = 1,2, 3, т. е. разложение функции |sin (?)| в тригонометрический ряд Фурье имеет вид.

Примечание: здесь принято ф/, = л (а нс у_к = 0) из-за использования знака «минус» перед суммой гармоник ряда.

На рис. 7.3, б показан амплитудный спектр рассматриваемого сигнала. Значение амплитуды ?-й гармоники ряда А_к представлено вертикальным отрезком соответствующей длины, в основании которого указан номер гармоники.

Следует иметь в виду, что амплитуды А_к некоторых гармоник ряда Фурье могут быть равны нулю. Кроме того, необязательным является монотонное уменьшение амплитуд этих гармоник с ростом номера гармоники, как это имеет место на рис. 7.3, б.

Однако во всех случаях должно выполняться условие lim А_к = 0, вытекающее из тре;

к—

бования сходимости ряда Фурье.

Решим задачу с использованием формул (7.32). Для этого сначала найдем изображение по Лапласу базового импульса сигнала x_T(t).

Подставляя сюда p = ikQ = 2ik (где i — мнимая единица, k = 1, 2, 3,…), получим что совпадает с прежними результатами.

В технических приложениях часто пользуются комплексной формой записи ряда Фурье.

В этом случае в качестве базисных функций используются комплексные экспоненциальные функции (7.23). Поэтому коэффициенты С_п ряда (7.36) становятся комплексными. Они вычисляются по формуле.

где, как и в формуле (7.6), индексная переменная п может быть как положительным, так и отрицательным целым числом.

При использовании комплексной формы ряда Фурье (7.36) спектром амплитуд периодического сигнала x (t) называют множество абсолютных величин комплексных коэффициентов Фурье С_п

а спектром фаз — множество главных аргументов этих коэффициентов.

Множество величин {С%}^^>₌_ называется спектром мощности периодического сигнала, а множество комплексных чисел {С_п — спектральной последовательностью периодического сигнала. Именно эти три характеристики (спектр амплитуд, спектр фаз и спектр мощности) относятся к основным спектральным характеристикам периодического сигнала.

В отличие от амплитудного и фазового спектров периодического сигнала, представленного в форме тригонометрического ряда Фурье (7.24), спектры того же сигнала, построенные с использованием комплексных коэффициентов Фурье (7.37), оказываются двухсторонними. Это является следствием наличия в (7.36) «отрицательных частот» пО. (для отрицательных значений п). Последние, разумеется, не существуют в реальности. Они только отражают используемое при формировании комплексного ряда Фурье представление экспоненциальной гармонической функции е~^т в виде единичного вектора, вращающегося по часовой стрелке с угловой скоростью со.

Если существует изображение по Лапласу базового импульса периодического сигнала Х_Т(р) = L{x_T(t)}, то спектр амплитуд и спектр фаз периодического сигнала можно вычислять по формулам

Известны и успешно применяются на практике алгоритмы так называемого быстрого преобразования Фурье, благодаря которым удается настолько снизить время вычисления коэффициентов Фурье, что спектры сигналов при их обработке получают практически в режиме реального времени [2].

В заключение отметим три наиболее важных свойства спектральных характеристик периодического сигнала.

• 1. Если x (t) — четная функция, то мнимые составляющие всех комплексных коэффициентов Фурье Im{C_w} равны нулю и, напротив, если эта функция нечетная, то вещественные составляющие всех комплексных коэффициентов Фурье Re{C"} равны нулю.
• 2. В точке разрыва первого рода t = t_r функции x (t) сумма ряда Фурье S (t) равна полусумме предельных значений функции при приближении аргумента к точке разрыва t = t_r слева и справа, т. е.

Примечание: если значения функции х{€) на концах +Г) базового импульса x_T(t) не равны между собой, то при периодическом продолжении импульса эти точки становятся точками разрыва первого рода.

3. Мощности периодического сигнала во временной и частотной областях равны между собой, т. е.

Это соотношение выражает теорему Парсеваля.

Наличие в формуле (7.36) «отрицательных частот» nQ. (для гг < 0) иногда отмечают как недостаток комплексной формы ряда Фурье. Однако именно эта форма позволяет естественным образом распространить результаты спектрального анализа периодических детерминированных сигналов на сигналы, описываемые непериодическими функциями времени.