Дифференциальное уравнение переноса энергии

Уравнение движения можно использовать для описания взаимопревращения форм энергии текущей в данном месте жидкости [18].

где т — нормальное напряжение от сил трения в вязкой жидкости.

Составим уравнение, подобное по форме уравнению (2.49) раздела.

2.7, но введем в него скалярную величину, обусловленную локальной скоростью со:

Это скалярное уравнение описывает скорость изменения кинетической энергии на единицу массы (со¹12) для элемента жидкости, перемещающегося вниз по потоку.

Перепишем это уравнение в форме, более удобной для его дальнейшего исследования: представим субстанциальную производную в символах dldt путем использования уравнения сплошности (см. раздел 2.5); каждый из членов, описывающих действие давления и вязкости, разделим на два. Все члены в результирующем уравнении запишем для неподвижного элемента объема, через который протекает жидкость:

Левая часть уравнения представляет скорость возрастания кинетической энергии на единицу объема. Правая часть уравнения состоит из скоростей: подвода кинетической энергии посредством потока массы; производства работы давлением окружающей среды на объем элемента; обратимого превращения работы сил давления во внутреннюю энергию; производства работы вязкостными силами на объем элемента; необратимого превращения работы сил вязкого трения во внутреннюю энергию; производства работы гравитационными силами на объем элемента.

Физический смысл членов р (у • со) и (r:V.

Отметим, что член (-f :V.

где i и j берут по величине х, у, z, т. е. i, j = х, у, z, а 6и — 1 для / = j и 5^ = 0 для i & j

где Ф₀ — диссипативная функция. Эта функция представляет собой количество теплоты, возникающей в потоке вязкой жидкости за счет необратимой работы сил внутреннего (вязкого) терния, и выражается через градиент скоростей.

Итак, член (г: V#) всегда положительный, а это значит, что во всех потоках жидкости происходит взаимопревращение механической энергии в тепловую и поэтому реальные процессы необратимы. При отсутствии члена (r:V.

Явления, которые учитываются членом p (V.

Явления, которые учитываются членом (f :V.

Системы уравнений сплошности (2.38), движения (2.49) и состояния в форме р = р (р) используются для описания изометрических процессов в текущей жидкости. Если при изменении плотности и давления происходит изменение температуры (неизотермический процесс), то систему уравнений сплошности и движения следует дополнить уравнением состояния в форме F (p, p, T)=0.

Для идеального газа уравнение состояния имеет вид.

В основе уравнения переноса энергии лежит закон сохранения энергии. Рассмотрим неподвижный элемент объема, через который течет однородная жидкость. Запишем для жидкости, содержащейся внутри выделенного элемента объема в данный момент времени закон сохранения энергии:

В этом уравнении под кинетической энергией понимают энергию видимого движения жидкости (рсо¹ /2 на единицу объема). Под внутренней энергией жидкости понимается сумма внутренней кинетической энергии теплового движения молекул и внутренней потенциальной энергии взаимодействия между молекулами (внутренняя энергия жидкости зависит от ее локальной температуры и плотности). Потенциальная энергия потока не входит в это уравнение в явном виде, она включена в термин «работа». Напишем выражение для отдельных членов, входящих в уравнение.

(2.56).

Скорость накопления внутренней и кинетической энергий элементов объемом AxAyAz (рис. 2.4):

где и — внутренняя энергия жидкости на единицу ее массы; со — локальная скорость жидкости.

Результирующая скорость прихода внутренней и кинетической энергий:

Скорость подвода энергии посредством теплопроводности равна.

где q_x, q_y, q_x - компоненты вектора плотности теплового потока q.

Работа, совершенная элементом объемом Л V против окружающей среды, состоит из двух частей: работы против объемных сил (гравитации); работы против поверхностных сил (давления и сил вязкости).

Напомним, что работа равна произведению силы на путь в направлении действия силы, тогда скорость производства работы равна произведению силы на скорость в направлении действия силы.

Скорость производства работы против трех компонентов гравитационной силы на единицу массы элемента:

Знак минус означает, что работа произведена против сил гравитации, т. е. со и g направлены в противоположные стороны.

Скорость производства работы против статического давления р,

приложенного к шести граням элемента AxAyAz:

Таким же образом найдем скорость производства работы против сил вязкости

Подставим полученные выражения в уравнение (2.56), разделив все члены полученного уравнения на AxAyAz и перейдя к пределу при Ах, Ау и Az, стремящихся к нулю, получим уравнение энергии:

Это уравнение может быть записано в более компактной векторно-тензорной форме:

В левой части уравнения — скорость приращения энергии на единицу объема. Правая часть уравнения состоит из скоростей: подвода энергии на единицу объема посредством конвекции; подвода энергии на единицу объема посредством теплопроводности; производства работы над жидкостью на единицу объема гравитационными силами; производства работы над жидкостью на единицу объема силами давления; производства работы над жидкостью на единицу объема силами вязкости.

Преобразуем уравнение энергии с помощью уравнений сплошности (раздел 2.5) и движения (раздел 2.7). Эту операцию произведем таким же образом, как это было сделано при переходе от формы уравнения движения (2.45) к форме (2.48) с помощью уравнения сплошности (2.38).

Произведем дифференцирование левой части уравнения (2.58), для этого перенесем туда конвективную составляющую скорости подвода энергии и после перегруппировки получим:

Первый член в левой части уравнения (2.59) представляет собой субстанциальную производную от (и + со¹ / 2); второй член равен нулю на основании уравнения сплошности (2.38).

Перепишем уравнение (2.59) с учетом сказанного:

Отметим, что полученные здесь две формы уравнения энергии (2.47) и (2.60) корреспондируются с двумя формами уравнения сплошности (2.39), (2.40) и двумя формами уравнения движения (2.47) и (2.49).

Уравнение (2.58) описывает энергетический обмен в жидкости с точки зрения неподвижного наблюдателя, а (2.60) описывает этот обмен, как его наблюдал бы исследователь, двигающийся вместе с потоком.

Уравнение (2.60) есть уравнение обмена, написанное для суммы энергий на единицу массы (и + со² / 2).

Уравнение переноса для одного из слагаемых этой суммы было получено ранее (2.53). Перепишем его в следующей форме:

Вычитая уравнение (2.61) из (2.60), получим уравнение обмена для внутренней энергии и в виде:

В левой части уравнения — скорость накопления внутренней энергии на единицу объема. Правая часть уравнения состоит из скоростей: подвода внутренней энергии посредством теплопроводности на единицу объема; возрастания внутренней энергии при обратимом сжатии на единицу объема; возрастания внутренней энергии за счет необратимой диссипации на единицу объема.

Уравнение (2.62) называют уравнением тепловой энергии или просто уравнением энергии.

Представим член pDu! Dt в форме pC_vDT/Dt (C_v — удельная теплоемкость при постоянном объеме); член V q в форме:

где q_t =-ЛдТ/дх, q_y — -ЛдТ / ду, q_x= -ЛдТ/dz член (f: Vco) по уравнению (2.55).

С учетом этих дополнений уравнение (2.62) можно представить в следующей форме:

Большое значение имеют частные случаи уравнения (2.63). Например, для случая, когда коэффициент теплопроводности Л не зависит от температуры, координат и р — const (V • <�Ъ — 0), уравнение (2.63) примет вид:

для идеального сжимаемого газа

для твердого тела со- 0, поэтому.

где а = Л/(рС_v) ~ коэффициент температуропроводности; C_v = С_р — С С — теплоемкость твердого тела.

Или иначе.

Это уравнение называют уравнением теплопроводности Фурье.

Для случая, когда температура не изменяется во времени, уравнение (2.64) имеет вид:

или Последнее уравнение называют уравнением Лапласа.