Исследование цепей постоянного и переменного тока

1. Анализ электрического состояния линейных и нелинейных электрических цепей постоянного тока

1.1 Расчёт линейных электрических цепей постоянного тока

Задание:

Для электрической цепи, изображённой на рисунке 1.1, выполнить следующее:

1) составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для определения токов во всех ветвях схемы;

2) определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов;

3) определить токи во всех ветвях схемы на основании метода наложения;

4) составить баланс мощностей для заданной схемы;

5) результаты расчёта тока по пунктам 2 и 3 представить в виде таблицы и сравнить;

6) определить ток во второй ветви методом эквивалентного генератора;

7) построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего обе ЭДС;

Схема электрической цепи:

Рисунок 1.1.

Числовые параметры схемы электрической цепи постоянного тока:

Е₁ = 20 В r₀₁ = 1 Ом Е₂ = 40 В r₀₂ = 2 Ом

R₁ = 64 Ом R₂ = 48 Ом

R₃ = 32 Ом R₄ = 25 Ом

R₅ = 51 Ом R₆ = 15 Ом

1. Составим на основании законов Кирхгофа систему уравнений для определения токов во всех ветвях схемы.

Метод узловых и контурных уравнений основан на применении первого и второго законов Кирхгофа. Он не требует никаких преобразовании схемы и пригоден для расчёта любой электрической цепи.

При расчёте данным методом произвольно задаём направление токов во всех ветвях I₁, I₂, I₃, I₄, I₅, I₆.

Рисунок 1.2.

Составляем для данной схемы систему уравнений. В составляемой системе должно быть столько уравнений, сколько ветвей в цепи.

В заданно цепи шесть ветвей, значит и в системе должно быть шесть уравнений. Сначала составляем уравнения для узлов по первому закону Кирхгофа. Для цепи с четырьмя узлами необходимо составить три независимых уравнения, так как в нашей цепи четыре узла (A, B, C, D). Составляем три уравнения для любых выбранных трёх узлов:

Узел А: I₂ = I₁ + I₃

Узел B: I₃ = I₄ + I₅

Узел С: I₅ = I₆ — I₁

Всего в системе должно быть шесть уравнений. Три уравнения уже составлено. Три оставшихся уравнения составляем для линейно независимых контуров. Чтобы они были независимы, в каждый следующий контур надо включить как минимум одну ветвь, не входящую в предыдущие.

Задаёмся обходом по часовой стрелке для каждого контура и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа:

Контур АВDA — обход против часовой стрелки:

— E₂ = - I₂ • (R₂ + r₀₂) — I₃ • R₃ — I₄ • R₄

Контур ACBA — обход против часовой стрелки:

— E₁= - I₁ • (R₁ + r₀₁) + I₃ • R₃ + I₅ • R₅

Контур BCDB — обход против часовой стрелки:

0 = - I₅ • R₅ — I₆ • R₆ + I₄ • R₄

Мы получили систему уравнений с шестью неизвестными:

I₂ = I₁ + I₃

I₃ = I₄ + I₅

I₅ = I₆ — I₁

— E₂ = - I₂ • (R₂ + r₀₂) — I₃ • R₃ — I₄ • R₄

— E₁= - I₁ • (R₁ + r₀₁) + I₃ • R₃ + I₅ • R₅

0 = - I₅ • R₅ — I₆ • R₆ + I₄ • R₄

Решив эту систему можно определить величину и направление токов во всех ветвях системы. Если же при решении системы уравнений какой-либо ток получается со знаком «-», то его действительное направление обратно тому направлению, которым мы задавались.

2. Определим токи во всех ветвях схемы используя метод контурных токов.

Метод контурных токов основан на исполнении только второго закона Кирхгофа. Это позволяет значительно уменьшить количество уравнений в системе.

Сначала мы составляем систему, состоящую из трёх уравнений по второму закону Кирхгофа, так как в нашей схеме три контура:

— E₂ = I_I • (R₂ + r₀₂ + R₃ + R₄) — I_II • R₄ — I_III • R₃

0 = - I_I • R₄ + I_II • (R₄ + R₅ + R₆) — I_III • R₅

— E₁ = I_I • R₃ — I_II • R₅ + I_III • (R₁ + r₀₁ + R₃ + R₅)

Подставим в систему уравнений ЭДС и сопротивлений:

— 40 = I_I • (48 + 2 + 32 + 25) — I_II • 25 — I_III • 32

0 = - I_I • 25 + I_II • (25 + 51 + 15) — I_III • 51

— 20 = I_I • 32 — I_II • 51 + I_III • (64+ 1 +32 + 51)

— 40 = I_I • 107 — I_II • 25 — I_III • 32

0 = - I_I • 25 + I_II • 91 — I_III • 51

— 20 = I_I • 32 — I_II • 51 + I_III • 148

Полученную систему уравнений можно решить методом Крамера (методом определителей). Составим матрицу, вычислим её основной определитель Д.

Д₁ = -40 • 91 • 148 — 25 • 20 • 51 + 0 • 51 • 32 — 32 • 20 • 91 — 25 • 0 • 148 + 51 •

• 51 • 40 = -538 720 — 25 500 + 0 — 58 240 — 0 + 104 040 = -518 420

Д₂ = 0 • 107 • 148 — 25 • 20 • 32 — 40 • 51 • 32 — 32 • 32 • 0 — 20 • 51 • 107 — 25 •

• 40 • 148 = 0 — 65 280 — 16 000 — 0 — 148 000 — 109 140 = -338 420

Д₃ = 91 • 107 • 20 — 25 • 0 • 32 — 40 • 25 • 51 — 32 • 91 • 40 — 25 • 25 • 20 — 51 •• 0 • 107 = -194 740 — 0 — 51 000 — 116 480 — 12 500 — 0 = -349 720

Вычисляем контурные токи:

I_I = Д₁ / Д = -5184 / 895 485= -0.579 (А);

I_II = Д₂ / Д = -338 420 / 895 485= -0.378 (А);

I_III = Д₃ / Д = -349 720 / 895 485= -0.391 (А);

Вычисляем действительные токи ветвей:

I₁ = I_III = -0.391 (А);

I₂ = I_I = -0.579 (А);

I₃ = I_I — I_III = -0.579 + 0.391 = - 0.188 (А);

I₄ = I_I — I_II = -0.579 + 0.378 = -0.201 (А);

I₅ = I_II — I_III = -0.378 + 0.391 = 0.013 (А);

I₆ = I_II = -0.378 (А);

3) Определим токи во всех ветвях схемы на основании метода наложения.

По методу наложения ток в любом участке цепи рассматривается как алгебраическая сумма частных токов, созданных каждой ЭДС в отдельности.

Сначала определим частные токи от ЭДС Е₁ при отсутствии Е₂. Частные токи, образуемые ЭДС Е₁ показаны на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3

Решаем задачу методом свёртывания.

Найдём эквивалентное сопротивление цепи, упрощая нашу схему на каждом шаге.

R_{2, 02} = R₂ + r₀₂ = 48 + 2 = 50 (Oм);

Преобразуем треугольник ABD в звезду:

R_A= R_2,02 • R₃ / (R_2,02 + R₄ + R₃) = 50 • 32 / (50 + 25 + 32) = 14.953 (Oм);

R_B = R₄ • R₃ / (R_2,02 + R₄ + R₃) = 25 • 32 / (50 + 25 + 32) = 7.477 (Oм);

R_C = R_2,02 • R₄ / (R_2,02 + R₄ + R₃) = 50 • 25 / (50 + 25 + 325) = 11.682 (Oм);

Схема после преобразования эквивалентного сопротивления треугольника BCD в звезду Рисунок 1.4

R _{1, A} = R₁ + R_A = 14.953 + 64 = 78.953 (Oм);

R_{5, B} = R₅ + R_B = 7.477 + 51 = 58.477 (Oм);

R_{6, D} = R₅ + R_D = 11.682 + 15 = 26.682 (Oм);

R _{5, B,} R_{6, D} = R_{5, B} • R_{6, D} / (R_{5, B} + R_{6, D}) = 58.477 • 26.682 / (58.477 • 26.682) = 18.322 (Oм);

R_экв = R _{5, B,} R_{6, D} + R_1A = 18.322 + 78.953 = 97.275 (Oм);

Найдём частные токи при помощи формулы разброса тока и первого закона Кирхгофа:

I'₁ = E₁ / R_экв1 = 20 / 98.275 = 0.204 (A);

I'₆ = I'₁ • R_{5, B} / (R_{5, B} + R_{3, (5, 6)}) = 0.204 • 58.477/ (58.477 + 26.682) =

= 0.14 (A);

I'₅ = I'₁ — I'₆ = 0.204 — 0.14 = 0.064 (A);

Найдем потенциалы точек и найдем оставшиеся частные токи:

_А = I'₁ R_1,01 — Е₁= 0,204 65 — 20 = -6.74 (В);

_B = - I'₅ R₅ = -0.064 51 = 3.264 (В);

_D = I'₆ R₆ = 0.14 15 = 2.1 (В);

I'₂=(_А —_D) / R_2,02 = (6.74 — 2.1) / 50 = 4.64 / 50 = 0.093 (A);

I'₄=(_B — _D) / R₄ = (3.264 — 2.1) / 25 = 0.047 (A);

I'₃ = (_А — _B) / R₃ = (6.74 — 3.264) / 32 = 0.109 (А);

Теперь определим частные токи от ЭДС E₂ при отсутствии E₁. Частные токи, образуемые ЭДС Е₂ показаны на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5

R_D = R₄ • R₆ / (R₄ + R₅ + R₅) = 25 • 15 / (25 + 15 + 51) = 4.121 (Oм);

R_B = R₄ • R₅ / (R₄ + R₅ + R₅) = 25 • 51 / (25 + 15 + 51) = 14.011 (Oм);

R_C = R₅ • R₆ / (R₄ + R₅ + R₅) = 51 • 15 / (25 + 15 + 51) = 8.407 (Oм);

R_{D, 2} = R_D + R₂ = 4.121 + 48 = 52.121 (Oм);

R_{B, 3} = R_B + R₃ = 14.011 + 32 = 46.011 (Oм);

R_{C, 1} = R₁ + R_C = 64 + 8.407 = 72.407 (Oм);

R _{B, 3C, 2} = R _{B, 3} • R _{C, 2} / (R _{B, 3} + R _{D, 2}) = 46.011 • 72.407 /

/ (46.011 + 72.407) = 28.134 (Oм);

R_экв = R _{B, 3C, 2} + R₂ + R_{D, 2} = 28.134 + 52.121 = 80.255 (Oм);

Найдём частные токи при помощи формулы разброса тока и первого закона Кирхгофа:

I"₂ = E₂ / R_экв = 40 / 80.255 = 0.486 (A);

I"₃ = I"₂ • R_{C, 1} / (R_{C, 1} + R_{B, 3}) = 0.486 • 72.407 / (72.407 + 46.011) =

= 0.297 (A);

I"₁ = I"₂ — I"₃ = 0.486 — 0.297 = 0.189 (A);

Найдем потенциалы точек и найдем оставшиеся частные токи:

_D = I'₂ R_{2, 02} — Е₂= 0.486 50 — 40 = -15.7 (В);

_B = - I'₃ R₃ = 0.297 32 = 9.504 (В);

_C = I'₁ R_{1, 01} = 0.189 65 = 12.285 (В);

I''₄=(_D —_B) / R₄ = (15.7 — 9.504) / 25 = 6.196 / 25 = 0.248 (A);

I''₅=(_C — _B) / R₅ = (12.285 — 9.504) / 51 = 2.781 / 51 = 0.055 (A);

I''₆ = (_D — _C) / R₆ = (15.7 — 12.285) / 15 = 3.415 / 15 = 0.228 (А);

Найдём токи ветвей исходной цепи, выполняя алгебраическое сложение частных токов, учитывая их направление:

I₁ = I'₁ + I"₁ = 0.204 + 0.189 = 0.393 (A);

I₂ = I'₂ + I"₂ = 0.093 + 0.486 = 0.579 (A);

I₃ = I"₃ — I'₃= 0.297 — 0.109 = 0.188 (A);

I₄ = I"₄ — I'₄ = 0.248 — 0.047 = 0.201 (A);

I₅ = I'₅ — I"₅ = 0.064 — 0.055 = 0.009 (A);

I₆ = I"₆ + I'₆ = 0.14 + 0.228 = 0.368 (A);

4) Составим баланс мощностей для заданной схемы.

Источники Е₁ и Е₂ вырабатывают электрическую энергию, так как направление ЭДС и тока в ветвях с источниками совпадают. Баланс мощностей для данной цепи запишется следующим образом:

E₁ • I₁ + E₂ • I₂ = I₁² • (R₁ + r₀₁) + I₂² • (R₂ + r₀₂) + I₃² • R₃ + I₄² • R₄ + I₅² • R₅ + I₆² • R₆;

Подставим в баланс мощностей значения, найденные при расчёте цепи:

20 • 0.391 + 40 • 0.579 = 0.391² • (64 + 1) + 0.579² • (48 + 2) +

+ 0.188² • 32 + 0.201² • 25 + 0.013² • 51 + 0.378² • 15;

30.98 (Вт) = 30.992 (Вт).

С учётом погрешностей при вычислениях можно считать, что баланс мощностей сошёлся.

5) Результаты расчётов токов по пунктам 2 и 3 представим в виде таблицы и сравним:

Таблица 1.1

Токи, найденные методом контурных токов и методом наложения, приблизительно равны. Это обусловлено погрешностью, которая появилась из-за округлений.

6) Определим ток во второй ветви методом эквивалентного генератора.

Данный метод (метод эквивалентного генератора) используется для исследования работы определённого участка в сложной электрической цепи.

Для решения задачи методом эквивалентного генератора надо сначала разделить электрическую цепь на две части: потребитель (исследуемая часть) и эквивалентный генератор.

Изобразим схему эквивалентного генератора в режиме холостого хода (рисунок 1.6), т. е. при отключённом потребителе R₂ от зажимов а и б.

Рисунок 1.6

В этой схеме есть два контура, в которых текут токи холостого хода. Определим их величины:

E₁ = I_хх1 • (R₁ + r₀₁ + R₃ + R₅) — I_хх2 • R₅;

0 = I_хх2 • (R₄ + R₅ + R₆) — I_хх1 • R₅;

20 = I_хх1 • (64 + 1 + 32 + 51) — 51 • I_хх2;

0 = I_хх2 • (25 + 51 + 15) — 51 • I_хх1;

20 = 148 • I_хх1 — 51 • I_хх2;

0 = 91 • I_хх2 — 51 • I_хх1;

Полученную систему уравнений можно решить методом Крамера (методом определителей). Составим матрицу, вычислим её основной определитель Д.

Д₁ = 20 • 91 -51• 0 = 1820

Д₂ = 148 • 0 — 20 •51 = - 1020

Вычисляем контурные токи:

I_хх1 = Д₁ / Д = 1820 / 10 867= 0.167 (А);

I_хх2 = Д₂ / Д = -1020 / 10 867= -0.094 (А);

Найдём E_экв — ЭДС эквивалентного генератора, её величину определяют как напряжение на зажимах генератора в режиме холостого хода, E_Э = U_хх.

E_экв = U_аб = _а — _б;

Пусть _б = 0;

E_экв = U_аб — _а — _б = Е₂ — I_хх2 • R₄ — I_хх2 • R₃ = 40 + 0.094 • 25 +

+ 0.167 • 32 = 47.694 (В);

Для расчёта внутреннего сопротивления эквивалентного генератора необходимо преобразовать преобразить схему (рисунок 1.7), при этом ЭДС Е₁ и Е₂ из схемы исключается, а внутреннее сопротивление этих источников r₀₁ и r₀₂ в схеме остаются.

Вычислим эквивалентное сопротивление схемы (рисунок 1.7) относительно зажимов а и б.

Рисунок 1.7

R_D = R₄ • R₆ / (R₄ + R₅ + R₅) = 25 • 15 / (25 + 15 + 51) = 4.121 (Oм);

R_B = R₄ • R₅ / (R₄ + R₅ + R₅) = 25 • 51 / (25 + 15 + 51) = 14.011 (Oм);

R_C = R₅ • R₆ / (R₄ + R₅ + R₅) = 51 • 15 / (25 + 15 + 51) = 8.407 (Oм);

R_{D, 02} = R_D + R₀₂ = 4.121 + 2 = 6.121 (Oм);

R_{B, 3} = R_B + R₃ = 14.011 + 32 = 46.011 (Oм);

R_{C, 1} = R₁ + R_C = 64 + 8.407 = 72.407 (Oм);

R _{B, 3C, 2} = R _{B, 3} • R _{C, 2} / (R _{B, 3} + R _{D, 2}) = 46.011 • 72.407 /

/ (46.011 + 72.407) = 28.134 (Oм);

R_экв = R _{B, 3C, 2} + R_{D, 02} = 28.134 + 6.121 = 34.255 (Oм);

Зная ЭДС и внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, вычислим ток в исследуемой ветви:

I₂ = E_экв / (R₂ + R_экв) = 47.694 / (48 + 34.255) = 0.579 (A);

т.е. ток в ветви получился таким же, как в пунктах 2 и 3.

7) Построим потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего обе ЭДС.

Возьмём контур AEBCKA. Задаёмся обходом контура против часовой стрелки. Заземлим точку А, т. е. _а = 0.

Рисунок 1.8

_A=0

_Е = _A + I₁R₁ = 0 + 0.391 · 64 = 25.024 (B);

_B = _Е — E₁ + I₁ • r₀₁= 25.024 — 20 + 0.391 • 1= 5.415 (B);

_C = _B + I₆ • R₆ = 5.415 + 0.378 · 15 = 11.085 (B);

_К = _C + I₂ • R₂ = 11.085 + 0,579 • 48 = 38.877 (B);

_A = _К — E₂ + I₂ • r₀₂ = 38.877 — 40 + 0,579 • 2 = 0 (B);

Зная потенциалы, строим потенциальную диаграмму. По осям абсцисс откладываем сопротивления контура в той последовательности, в которой они расположены в соответствии с направлением обхода, по осям координат откладываем потенциалы с учётом их знака.

1.2 Расчёт нелинейных электрических цепей постоянного тока

Задание:

Построить входную вольтамперную характеристику схемы нелинейной электрической цепи постоянного тока для схемы на рисунке 1.9. Определить токи во всех ветвях схемы и напряжения на отдельных элементах, используя полученные вольтамперные характеристики.

Схема нелинейной электрической цепи постоянного тока:

Рисунок 1.9

Числовые параметры схемы электрической цепи постоянного тока:

R₃ = 30 (Ом),

U = 170 (В),

Расчёт цепи будем производить графическим методом. В общей системе координат построим вольтамперные характеристики линейных элементов электрической цепи (нэ1, нэ2). Вольтамперные характеристики линейных элементов (R₃) строятся по закону Ома для участка цепи: I = U_R / R.

Вольтамперные характеристики будут представлять собой прямые, проходящие через начало координат. Для того чтобы определить координаты следующей точки ВАХ линейного элемента зададимся произвольным значением напряжения для этого элемента, вычислим соответствующее значение тока:

U₃ = 74 (В); I = U₃ / R₃ = 60 / 30 = 2 (A);

Теперь, соединим найденную точку с началом координат, поучим вольтамперную характеристику линейного элемента.

После построения ВАХ для линейных и нелинейных элементов из данной цепи будем строить вольтамперную характеристику для всей цепи. Для этого будем постепенно «сворачивать» нашу цепь.

Нелинейные элементы соединены параллельно, их ВАХ I₁ = f (U₁) и

I = f (U₂). С учётом этого строим общую для них ВАХ. Для этого задаёмся напряжением и складываем токи при этом напряжении I₃ = I₁ + I₂.

U = 20 В, I _нэ1 = 0.25 (A); I _нэ2 = 1.1 (A); I = 1.35 (A);

U = 60 B, I _нэ1 =1.05 (A); I _нэ2 = 3 (A); I = 4.05 (A);

U = 80 B, I _нэ1 = 1.6 (A); I _нэ2 = 3.8 (A); I = 5.4 (A);

U = 120 B, I _нэ1 = 3.5 (A); I _нэ2 = 4.8 (A); I = 6.3 (A);

U = 160 B, I _нэ1 = 6.3 (A); I _нэ2 = 5.2 (A); I = 11.5 (A);

U = 180 B, I _нэ1 = 8.5 (A); I _нэ2 = 5.5 (A); I = 14 (A);

В результате получаем множество точек и по ним строим ВАХ I = f (U_1,2).

Далее мы имеем характеристики линейного элемента I₃ = f (U₃) и нелинейного элементa (нэ1,2) I₃ = f (U_1,2), которые соединены между собой последовательно.

Строим для них общую ВАХ. В данном случае задаёмся током и складываем напряжения. Проделываем это многократно:

I = 1 (A); U _{нэ1, 2} = 14.81 (B); U _R3 = 30 (B); U = 44.81 (B);

I = 2 (A); U _{нэ1, 2} = 29.63 (B); U _R3 = 60 (B); U = 89.63 (B);

I = 3 (A); U _{нэ1, 2} = 44.44 (B); U _R3 = 90 (B); U = 134.4 (B);

I = 4 (A); U _{нэ1, 2} = 60 (B); U _R3 = 120 (B); U = 180 (B);

Дальнейший расчёт цепи производим по полученным графикам.

Чтобы найти токи и напряжения на всех элементах цепи, поступаем так: по оси напряжений находим значение напряжения, равное 170 В (точка «а»). Из этой точки восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с общей ВАХ I = = f (U), получим точку «в». Из точки «в» опускаем перпендикуляр на ось тока (точка «с»).

Отрезок «ос» даёт нам искомое значение общего тока I = 3.78 (А). Когда восстанавливаем перпендикуляр из точки «в» с ось тока, то пересекаем ВАХ I₃ = f (U₃) и I = f (U_1,2) в точках «f» и «d» соответственно. Опускаем перпендикуляры из этих точек на ось напряжения, получим напряжения на каждом участке цепи: U₃ = 113.42 (B) и U_{1, 2} = 56.01 (B), но U_{1, 2} = U₁ = U₂, т.к. нелинейные элементы соединены параллельно. Чтобы найти напряжения I₁ и I₂ при U_1,2 = 56.01 (B), опустим перпендикуляр из точки «d» на ось напряжений до пересечения с ВАХ I₁ = f (U₁) и I₂ = f (U₂) в точках «N» и «M». Опустив из этих точек перпендикуляры на ось токов, получим I₁ =0.94 (A) и I₂ = 2.84 (A).

В результате имеем следующие значения токов и напряжений на всех элементах цепи:

I = I₃ = 3.78 (A); U₁ = 56.01 (В);

I₁ = 0.94 (A); U₂ = 56.01 (В);

I₂ = 2.84 (А); U₃ = 113.42 (В).

2. Анализ электрического состояния линейных электрических цепей переменного тока

2.1 Расчёт однофазных линейных электрических цепей переменного тока

постоянный ток переменный цепь Задание:

К зажимам электрической цепи подключён источник синусоидального напряжения u = U_m sin (щt + ш_u) частотой f = 50 Гц.

Рисунок 2.1. Схема электрической цепи Числовые параметры схемы однофазной электрической цепи переменного тока:

U_m = 560 (В) L₂ = 254,4 (млГн);

ш_u = -45°; С₁ = 63,5 (мкФ);

R₁ = 70 (Ом); С₂ = 39,8 (мкФ)

R₂ = 50 (Ом); f = 50 (Гц).

L₁ = 159 (млГн);

Для однофазной электрической цепи выполнить следующее:

1. рассчитать реактивные сопротивления элементов цепи;

2. определить действующие значения токов во всех ветвях цепи;

3. записать уравнение мгновенного значения тока источника;

4. составить баланс активных и реактивных мощностей;

5. построить векторную диаграмму токов, совмещённую с топографической векторной диаграммой напряжений.

1) Рассчитаем реактивные сопротивления для элементов электрической цепи.

Найдём все ёмкостные сопротивления в цепи:

X_C1 = 1 / щC₁ = 1 / 2рfС₁ = 1 /10⁶ · 314 · 63,5 = 50,153 (Ом);

X_C2 = 1 / щC₂ = 1 / 2рfС₂ = 1 /10⁶ · 314 · 39,8 = 80,018 (Ом);

Найдём все индуктивные сопротивления в цепи:

X_L1 = щL₁ = 2рfL₁ = 314 · 159 · 10^-3 = 49,926 (Ом);

X_L2 = щL₂ = 2рfL₂ = 314 · 254,4 · 10^-3 = 79,882 (Ом);

2) Определим действующее значение токов во всех ветвях цепи методом эквивалентных преобразований.

Представим схему, приведённую на рисунке 2.1, в следующем виде:

Рисунок 2.2

Находим комплексные сопротивления ветвей, затем участков цепи и всей цепи:

Z₁ = - jX_C1 = - j50,153 = 50,153 е ^-ј90° (Ом);

Z₂ = R₁ + јX_L1 = 70 + j49,926 = 85,98е ^ј35° (Ом);

Z₃ = јX_L2 = j79,882 = 79,882 е ^{ј 90°} (Ом);

Z₄ = - jX_C2 = - j80,018 = 80,018е ^{-j 90°} (Ом);

Z₅ = R₁ = 50 = 50 ^{j 0°} (Ом);

Z_{3, 4} = Z₃ • Z₄ / (Z₃ + Z₄) = 79,882 е ^{ј 90°} • 80,018е ^{-j 90°} / (j79,882 ;

— j80,018) = 6391,998е ^{ј 0°} / 0,136е ^{-ј 90°} = 4700e ^{j 90°} = j47000 (Ом);

Z_{1, 3, 4, 5} = Z₁ + Z_{3, 4} + Z₅ = - j50,153 + j47000 + 50 = 50 + j46949,83 =

= 46 949,86e ^j89,94° (Ом);

Z_Экв = Z₂ • Z_{1, 3, 4, 5} / (Z₂ + Z_{1, 3, 4, 5}) = 50,153е —^ј90° • 46 949,86e ^j89,94 / (70 +

+ j49,926 + 50 + j46949,83) = 403 6749e ^j125,44° / (120 — j46999,8) =

= 403 6749e ^j125,44° /46 999,9e ^{j 89,85°} = 85,888e ^j35,59° (Ом);

Выразим действующее значение напряжений в комплексной форме:

U = U_Ме ^јш / v2 = 395,95е —^{ј 45°} (В);

Вычисляем токи ветвей и общий ток цепи:

I_Экв = U / Z_Экв = 395,95е —^{ј 45°} / 85,888e ^j35,59° = 4,61e —^{j 80,59°} (A);

I₂ = U / Z₂ = 395,95е —^{ј 45°} / 85,98е ^ј35° = 4,605e —^j 80,5° (A);

I₁ = I₅ = U / Z_{1, 3, 4, 5} = 395,95е —^{ј 45°} / 46 949,86e ^j89,94° = 0,008e —^j 134,94° (A);

Для того чтобы найти оставшиеся три тока необходимо найти напряжение на клеммах «в» и «г».

U_bc = I₁ • Z_3,4 = 0,008e —^j 134,94° • 4700e ^j 90° = 376e ^j 9,5° (В);

I₃ = U_bc / Z₃ = 376e ^j 9,5° / 79,882 е ^{ј 90°} = 4,707e —^j 80,5° (А);

I₄ = U_bc / Z₄ = 376e ^j 9,5° / 80,018е ^{-j 90°} = 4,699e ^j 99,5° (А);

3) Уравнение мгновенного значения тока источника:

i = I_M sin (щt + ш);

i = 6,52 sin (314t — 80,59°) = (A);

4) Комплексная мощность цепи:

S = UI* = 395,95е —^{ј 45°} • 4,61e —^j 80,59° = 1825,468e ^j 35,59° = (1484,475 +

+ j1062,388) (В · А);

где S_ИСТ = 1825,468 (В · А);

P_ИСТ = 1484,475 (Вт);

Q_ИСТ = 1062,388 (вар).

I* - сопряжённый комплекс тока Активная P_ПР и реактивная Q_ПР мощности приёмников:

P_ПР = I₂²R₁ + I₅²R₂ = 4,605² • 70 + 0,008² • 50 = 1484,4 (Вт);

Q_ПР= I₂² (X_L1) + I₃²(X_L2) + I₄² (-X _C2) + I₁²(-X_C1) = 49,926 • 21,206 +

+ 79,882 • 22,156 + 50,153 • 0,64 + 80,018 • 22,081 = 1061,7 (вар);

Баланс мощностей выполняется:

P_ИСТ = P_ПР; Q_ИСТ = Q_ПР

или в комплексной форме:

S = S₁ + S₂ + S₃ + S₄ + S₅= U₁I^*₁ + U₂I^*₂ + U₃I^*₃ + U₄I^*₄ + U₅I^*₅;

где U₂ = I₂ • Z₂ = 4,605e —^j 80,5° • 85,98е ^ј35,5° = 395,938 е —^ј45°;

1484,475 + j1062,388 = 401e —^j224.94є • 0,008e ^j134,94° + 395,938 е —^ј45° •

• 4,605e ^j 80,5° + 376,005e ^j 9,5° • 4,707e ^j 80,5°+ 376,005e ^j 9,5° • 4,699e ^{-j 99,5°} +

+ 0,4 е ^{-j 134,94°} • 0,008e ^j134,94°

1484,475 + j1062,388 = - j0,003 + 1484,372 + j1058,792 + j1769,856 ;

— j1766,847 + 0,003

1484,475 + j1062,388 1484,38 + j1061,798 — баланс практически сходится.

5) Напряжения на элементах схемы замещения цепи:

Рисунок 2.3

U_аб = I₂R₁ = 4,605 • 70 = 322,35 (B);

U_бе = I₂X_L1 = 4,605 • 49,926 = 229,66 (В);

U_аг = I₅R₂ = 0,008 • 50 = 0,4 (В);

U_гв = I₄X_C2 = 4,699 • 80,018 = 376,0 (В);

U_гв = I₃X_L2 = 4,707• 79,882 = 376,0 (В);

U_ве = I₁X_C1 = 0,008 • 50,153 =0,401 (В);

Выбираем масштаб: М_I = 1 А/см, M_U = 100 В/см. Определяем длины векторов токов и напряжений:

1_I = I / М_I = 4,61/ 1 = 4,61 (см); 1_U = U / M_U = 8.2 (см);

1_I1 = I₁ / М_I = 0,008/ 1 = 0,008 (см); 1_Uаб=U_аб / M_U = 322,35 / 100 =3,22 (см);

1_I2 = I₂ / М_I = 4,605/ 1 = 4,605 (см); 1_Uбе=U_бе / M_U = 229,66/ 100 =2,29 (см);

1_I3 = I₃ / М_I = 4,707/ 1 = 4,707 (см); 1_Uаг=U_аг / M_U = 0,4 / 100 =0,004 (см);

1_I4 = I₄ / М_I = 4,699/ 1 = 4,699 (см); 1_Uгв=U_гв/ M_U = 376,0 / 100 =3,76 (см);

1_I5 = I₅ / М_I = 0,008/ 1 = 0,008 (см); 1_Uве=U_ве/ M_U =0,401/100 =0,004 (см);

Строим топографическую векторную диаграмму на комплексной плоскости.

На комплексной плоскости в масштабе откладываем векторы токов в соответствии с расчётными значениями, при этом положительные фазовые углы отсчитываем от оси (+1) против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке. Так, вектор тока I₁ = 3.81е —^j80 (A) повёрнут относительно оси (+1) на угол — 80.2, а его длина 1_I1= 3.831 (см).

Топографическая векторная диаграмма напряжений характерна тем, что каждой точке диаграммы соответствует определённая точка электрической цепи. Построение векторов напряжений ведём, соблюдая порядок расположения элементов цепи и ориентируя векторы напряжений относительно векторов тока: на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе, на индуктивном элементе напряжение опережает ток на 90^_, а на ёмкостном напряжение отстаёт от тока на 90^_. Направление обхода участков цепи выбираем, как принято, противоположно положительному направлению токов.

В начале координат ставим точку «а». Откладываем вектор U_аб параллельно вектору тока I₂, так как участок «аб» содержит только активное сопротивление. Из полученной точки «б» ведём вектор U_бе под углом 90^_ относительно вектора тока I₂, так как данный участок имеет индуктивное сопротивление, обеспечиваемое стоящей в нём катушкой индуктивности. Далее из точки «а», параллельно току I₅, откладываем вектор U_аг, так как так как участок «аг» содержит только активное сопротивление. Из полученной точки «г» ведём вектор U_гв под углом -90^_ относительно вектора тока I₃, так как данный участок имеет ёмкостное сопротивление, обеспечиваемое конденсатором С₂. Далее из точки «в», под углом -90^_, так как данный участок имеет ёмкостное сопротивление, обеспечиваемое конденсатором С₂, относительно вектора тока I₁ откладываем вектор U_ве. Если мы соединим точку «е» и точку «а», лежащую в начале координат, то получим вектор напряжения U.

2.2 Расчёт трёхфазных электрических цепей переменного тока

Задание:

Для трёхфазной электрической цепи, приведенной на рисунке 2.4 выполним следующее:

1. Определим фазные токи;

2. Определить линейные токи;

3. Определить активную, реактивную и полную мощность каждой фазы и всей трёхфазной цепи;

4. Определить угол сдвига фаз между током и напряжением в каждой фазе;

5. Начертить в масштабе векторную диаграмму трёхфазной цепи.

Схема электрической цепи:

Рисунок 2.4

Числовые параметры схемы однофазной электрической цепи переменного тока:

U_Л = 1038 (В); Х_LA = 164 (Ом);

R_A = 154 (Oм); Х_LС = 290 (Ом);

R_В = 102 (Ом); Х_CB = 135 (Oм);

R_С = 117 (Ом);

Все расчёты в данной задаче будем вести символическим методом.

1) Выразим в комплексной форме фазные напряжения.

Так как мы имеем соединение звездой, определим фазное напряжение:

U_Ф = U_Л / v3 = 1038 / v3 = 1038 / 1,78 = 599,29 (В);

U_A = U_Ф = 599,29 —^J0° (В);

U_В = U_Ф е —^J120° = 599,29 e —^J120° (В);

U_C = U_Ф е ^J120° = 599,29 e ^J120° (В);

2) Выразим сопротивления фаз в комплексной форме:

Z_А = R_А + јX_LА = 154 + j164 = 224,971е ^{ј 46,8°} (Ом);

Z_В = R_В + јX_СВ = 102 — j135 = 169,201е ^{-ј 52,9°} (Ом);

Z_С = R_С + јX_LС = 117 + j290 = 312,712е ^{ј 68,02°} (Ом);

3) Находим комплексы фазных токов:

I_А= U / Z_А = 599,29 е ^{ј 0°} / 224,971е ^{ј 46,8°} = 2,664е ^{-j 46,8°} =

=(1,824 — j1,942) (А);

I_В= U / Z_В = 599,29 е —^{ј 120°} / 169,201е ^{-ј 52,9°} = 3,542е ^{-j 52,9°} =

=(1,38 — j3,62) (A);

I_С= U / Z_С = 599,29 е ^{ј 120°} / 312,712е ^{ј 68,028°} = 1,916е ^{j 51,972°} =

= (1,18 — j1,509) (A);

4) Вычисляем ток в нейтральном проводе:

I_N = I_А + I_B + I_C = 1,824 — j1,942 + 1,38 — j3,62 + 1,18 — j1,509 =

= 4,3814 — j3,695 = 5,733е ^{-j 40,125°}(А);

5) Вычисляем мощности фаз и всей цепи:

S_A = U_A · I^*_A = 599,29 е ^{-j 0°} · 2,664е ^{j 46,8°} = 1596,506е ^{j 46,8°} (В· А) =

= (1092,865 + j1163,824) (В· А);

S_B = U_B · I^*_B = 599,29 е ^{j 120°} · 3,542е ^{j 52,9°} = 212,685е —^j52,9° (В· А) =

= (1279,623 — j1693,623) (В· А);

S_C = U_C · I^*_C = 599,29 е ^{j 120°} · 1,916е ^{j 51,972°} = 1148,24е ^{j 68,028°} (В· А) =

= (429 + j1064,84) (В· А);

S = S_A + S_B + S_C = 1092,865 + j1163,824 + 1279,623 — j1693,623 +

+ 429 + j1064,84 = (2802,106 + j535,041) (В· А) = 2852,73е ^{j 10,81°}

6. Строим в масштабе векторную диаграмму цепи:

Выбираем масштаб: М_I = 1А / см, М_U = 100 B / см,

l_IA = I_A / М_I = 2,664 / 1 = 2,664 (см);

l_IВ = I_В / М_I = 3,542 / 1 = 3,542 (см);

l_IС = I_С / М_I = 1,916/ 1 = 1,916 (см);

l_UA = l_UB = l_UC = U / М_U = 599,29 / 100 = 5,9929 (см).

При построении векторной диаграммы на комплексной плоскости в масштабе отсчёт улов идёт от действительной оси (+1). Углы с знаком «+» против часовой стрелки, с знаком «- «по часовой стрелке вектор фазы, А направлен по действительной оси, B и C под 120°.