Прямая и обратная кинетические задачи. 
Идентификация параметров

Построение математической модели продукционного процесса, как правило, сводится к определению вида дифференциальных или разностных уравнений и оценке коэффициентов уравнений.

Когда динамические характеристики системы точно не известны, вид уравнений может быть найден лишь приближенно, а коэффициенты следует оценивать так, чтобы модель определенным образом приближалась к реальной системе. Таким образом, математическое моделирование включает формулировку уравнений и выбор оптимизационного критерия, характеризующего соответствие модели изучаемому объекту.

Пусть модель сформулирована, а параметры заданы. Вычисление поведения переменных системы во времени при заданных параметрах и начальных условиях представляет собой решение прямой кинетической задачи.

Решение сложных систем вызывает некоторые вычислительные трудности, связанные с особенностями функций (например, разрывами). Наиболее типичной трудностью для моделей биологических систем является наличие временной иерархии процессов, характерные времена которых могут отличаться на несколько порядков.

Для преодоления этой трудности есть два пути. Первый — применение метода квазистационарных концентраций, позволяющего заменить дифференциальные уравнения для «быстрых» переменных алгебраическими. Условия применимости этого метода сформулированы в теореме А. Н. Тихонова (1952). Второй — использование специальных вычислительных процедур, например, методов группы Гира (Химмельблау, 1985), позволяющих менять шаг интегрирования в соответствии с характерным временем процесса, одновременно каждый раз проверяя устойчивость метода, что позволяет избежать ошибок в счете. Большинство современных математических пакетов предоставляет возможность пользования такого типа методами, однако всегда необходима проверка их адекватности.

Еще ббльшие вычислительные трудности представляет решение пространственно-распределенных задач, сформулированных в виде систем уравнений в частных производных. Здесь надежные фирменные программные продукты отсутствуют, и разработка вычислительных программ требует усилий программистов хорошей квалификации.

В случае, когда модель полностью не определена, встает вопрос о решении обратной кинетической задачи. Ее решение состоит в построении модели, описывающей имеющийся экспериментальный материал, и извлечении из экспериментальных данных максимально возможной информации о кинетических параметрах исследуемого механизма. Математически выбор такой модели означает формулировку правой части системы дифференциальных уравнений, которая соответствовала бы прямой кинетической задаче. Следовательно, необходимо сформулировать предположения о наборе компонент, участвующих в процессе, и о типе кинетического закона их взаимодействия. Следующий этап построения модели — запись предполагаемого механизма процесса или нескольких альтернативных механизмов.

Для количественной оценки расхождения имеющихся экспериментальных данных и результатов расчетов на основе предтагаемой модели записывается некоторый функционал, включающий параметры модели. В качестве такого функционала (целевой функции) особенно часто используется взвешенная сумма квадратов отклонений теоретических (модельных) значений переменных от экспериментальных:

Здесь xj, х¹_сх — теоретические и экспериментальные значения переменных в г-й точке; Wi — весовые коэффициенты соответствующих точек измерений.

Путем варьирования параметров предлагаемой модели находят минимум выбранного функционала. Затем с помощью аппарата математической статистики можно с определенной степенью достоверности принять или отвергнуть проверяемую гипотезу, т. е. решить задачу об адекватности модели. Если гипотеза должна быть отвергнута, необходимо построение новой модели. После того как проверена гипотеза об адекватности, необходимо провести исследование единственности найденной модели.