Краевые задачи остывания нагретых тел

Курсовая работа по уравнениям математической физики на тему:

Краевые задачи остывания нагретых тел.

• Введение
• 1. Уравнение теплопроводности
• 1.1 Физический смысл уравнения теплопроводности
• 1.2 Вывод уравнения теплопроводности
• 2. Краевые задачи остывания нагретых тел
• 2.1 Постановка задачи
• 2.2 Схема метода разделения переменных Фурье
• 2.3 Примеры решения задач
• Заключение
• Список используемой литературы

Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, термодинамике, теории упругости, электродинамике и т. д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.

Метод исследования, характеризующий эту отрасль науки, является математическим по своему существу. Однако постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем, имеет специфические черты.

При выводе дифференциальных уравнений с частными производными из общих законов, которым подчинены изучаемые явления природы, естественно возникают дополнительные условия, налагаемые на искомые решения. Важно заметить, что условия задач, которым должны удовлетворять искомые решения, существенно зависят от типа рассматриваемого уравнения.

В настоящей курсовой работе исследуется уравнение теплопроводности, которое относится к параболическому типу, и с помощью которого математически описывается процесс остывания нагретых тел. Рассматриваются такие задачи, как остывание однородного шара, прямоугольного параллелепипеда и цилиндра. В работе приводится также вывод уравнения теплопроводности в пространственном случае и метод разделения переменных Фурье, применительно к уравнению теплопроводности.

1. Уравнение теплопроводности.

1.1 Физический смысл уравнения теплопроводности.

Рассмотрим физические предпосылки вывода уравнения теплопроводности на примере линейного случая. В задаче линейной теплопроводности стержень предполагается настолько тонким, что в каждый момент времени температура всех точек данного поперечного сечения стержня будет одной и той же. Вывод дифференциального уравнения теплопроводности основан на следующих физических предпосылках:

1. Количество тепла, которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на Дu, равно:

где V — объем тела, с - его плотность, с — удельная теплоемкость.

2. Количество тепла, протекающее через поперечное сечение стержня за момент времени Дt (тепловой поток), пропорционально площади сечения, скорости изменения температуры в направлении, перпендикулярном к сечению, и промежутку времени Дt, т. е. равно.

(1.1.1).

где S — площадь поперечного сечения, k — коэффициент теплопроводности.

Знак минус в формуле (1.1.1) объясняется тем, что величину потока мы будем считать положительной, когда тепло проходит в сторону возрастания х. Будем считать коэффициент теплопроводности постоянным; это предположение оправдывается, если стержень однородный и температура меняется в небольших пределах. Заметим еще, что способы экспериментального определения коэффициентов теплопроводности различных материалов весьма сложны и во многом опираются на математическую теорию теплопроводности.

1.2 Вывод уравнения теплопроводности.

Приведем вывод уравнения теплопроводности в пространственном случае. Рассмотрим неравномерно нагретое тело. Пусть температура в каждой точке (х, у, z) тела в момент времени t определяется функцией и (х, у, z, t). Физические предпосылки были подробно рассмотрены на примере вывода уравнения линейной теплопроводности. Поэтому ограничимся краткими замечаниями, обратив основное внимание на те усложнения математической стороны дела, которые возникают в пространственном случае.

В любой момент времени t функция и определяет скалярное поле - поле температуры. В общем курсе анализа обычно ограничиваются изучением стационарных полей, когда температура и не зависит от времени. Нам же сейчас придется рассматривать нестационарное поле, поскольку мы предполагаем, что температура точек тела изменяется со временем. Если зафиксировать момент времени t, то совокупность точек, в которых температура u (х, у, z, t) принимает одно и то же значение, образует изотермическую поверхность (поверхность уровня). В отличие oт стационарного случая, форма и расположение изотермических поверхностей с течением времени будут изменяться.

Как известно, направление наибольшей скорости изменения температуры и совпадает с направлением градиента функции и (х, у, z, t) при заданном значении t. При этом.

grad u=.

В точках изотермической поверхности градиент направлен по нормали к этой поверхности в сторону увеличения значений и и модуль градиента равен производной по этому направлению:

|grad u| =.

Обобщая формулу (1.1.1), считают, что величина теплового потока через малый участок Ду изотермической поверхности за время? t равна.

(1.2.1).

где k — коэффициент теплопроводности, который мы считаем постоянным.

Обратим особое внимание. на роль знака «минус» в формуле (1.2.1). Условимся считать величину теплового потока положительной, если направление потока тепла совпадает с выбранным направлением нормали, и отрицательной, если оно ему противоположно. Для нормали, совпадающей с направлением градиента, тепло же переходит от более нагретых участков к менее нагретым, т. е. как раз в противоположную сторону, и, следовательно. по определению, ?Q < 0, что и объясняет знак «минус» в формуле (1.2.1). Изменив направление нормали на противоположное, мы получили бы, что, но тогда? Q > 0 и опять-таки знак «минус» сохраняется.

теплопроводность нагретое тело уравнение В линейном случае изотермическими поверхностями являются сечения стержня, перпендикулярные оси Ох; нормаль к ним совпадает с осью Ох, и (если направление нормали совпадает с положительным направлением оси Ох)..

В теории теплопроводности доказывается, что формула (1.2.1) для величины теплового потока справедлива для любых поверхностей (не только для изотермических). Производная по направлению нормали к выбранной поверхности равна проекции градиента на эту нормаль, т. е. скалярному произведению grad u на единичный вектор нормали n:

grad u· n.

Поэтому поток тепла через участок Ду любой поверхности за время Дt будет равен.

grad u· n.

Для краткости назовем вектор — k grad u вектором теплового потока и обозначим через А:

A = - k grad u.

Тогда ?Q есть поток вектора, А через элементарную площадку Ду за время Дt:

Если теперь выделить в теле некоторую часть, ограниченную замкнутой поверхностью — S, то поток тепла изнутри через эту замкнутую поверхность за время Дt будет равен произведению потока вектора A на ?t:

(1.2.2).

рис. 1.

где А_п - проекция, А на внешнюю нормаль (рис.1).

Поток Q будет положительным, если выбранная часть тела теряет тепло, и отрицательным, если приобретает.

Применяя к интегралу в формуле (1.2.2) теорему Гаусса — Остроградского, запишем, что где V - часть тела, ограниченная поверхностью S, и где — оператор Лапласа.

Таким образом, количество тепла Q, приобретенное выделенной частью тела за счет прохождения теплового потока, будет равно (оно противоположно по знаку величине Q).

Предположим, далее, что в теле имеются тепловые источники, плотность которых характеризуется функцией F (x, у, z, t). Тогда за промежуток времени (t, t +? t) в выбранной части тела выделится тепло Q₂, равное (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) Общее количество тепла, сообщенного выделенному объему V, будет равно сумме Q_l±Q₂. Подсчитаем теперь это тепло иначе, учитывая изменение температуры в точках тела, лежащих внутри поверхности S. В точке (х, у, z) за промежуток времени Д t температура изменится на величину Поэтому элементарному объему ?v для такого изменения температуры потребуется количество тепла, равное, где с - удельная теплоемкость, — плотность, а всему объему — количество которое должно быть равно сумме Q_l±Q₂. Следовательно, Перенося все слагаемые в левую часть, приходим к равенству.

(1.2.3).

Равенство (1.2.3) должно соблюдаться для любой части тела V. Это возможно только тогда, когда в каждой точке внутри тела.

= 0 (1.2.4).

Это заключение справедливо, когда все слагаемые в левой части равенства (1.2.4) — непрерывные функции. Действительно, если предположить, что в точке М (х, у, r) равенство (1.2.4) нарушается, т. е., например,, то в силу непрерывности это же неравенство будет соблюдаться и в некоторой области ?, окружающей точку М. Но тогда интеграл по этой области, вопреки условию (1.2.3), был бы величиной положительной.

Переписав равенство (1.2.4) в виде.

(1.2.5).

получим основное уравнение теплопроводности (а= - коэффициент температуропроводности). Если тепловые источники внутри тела отсутствуют, то F= 0 и уравнение становится однородным:

(1.2.6).

Еще раз отметим, что уравнения (1.2.5) и (1.2.6) выведены в предположении, что все физические величины, характеризующие свойства тела (плотность, удельная теплоемкость, коэффициент теплопроводности), постоянны.

Ясно, что уравнение линейной теплопроводности является частным случаем уравнения (1.2.6).

2. Краевые задачи остывания нагретых тел.

2.1 Постановка задачи.

Одним из важных классов нестационарных задач теплопроводности являются задачи остывания нагретых тел. В этих задачах изучают эволюцию температурного поля в ограниченном теле, занимающем некоторую область пространства, если в момент времени t = 0 задано начальное распределение температуры в теле, а температуру граничной поверхности тела У при t? 0 поддерживают постоянной. Без ограничения общности температуру поверхности тела можно выбрать равной нулю.

Из физической постановки такой задачи следует, что в отсутствие объемных тепловых источников будет происходить остывание тела, т. е. u (М, t) > 0 при t >? в любой точке. Характерное время остывания должно зависеть от формы тела, его размеров и теплофизических характеристик материала.

2.2 Схема метода разделения переменных Фурье.

Математическая модель процесса остывания тела из однородного материала, основанная на уравнении теплопроводности при, может быть записана в виде следующей краевой задачи для нахождения температурного поля u (М, t) в остывающем теле:

(2.2.1).

(2.2.2).

(2.2.3).

Задачу (2.2.1−2.2.3) можно решать методом Фурье (разделения переменных), представляя частное решение уравнения (2.2.1), удовлетворяющее граничному условию (2.2.3), в виде произведения.

u (М, t) =v (M) T (t). (2.2.4).

Подставляя (2.2.4) в уравнение (2.2.1), после разделения переменных получим.

(2.2.5).

Отсюда находим уравнение для функции T (t).

(2.2.6).

общее решение которого.

Для функции v (M) из уравнения (2.2.5) с учетом однородного граничного условия (2.2.3) получим задачу на собственные значения.

(2.2.7).

Задача (2.2.7) имеет дискретный набор (спектр) собственных значений и собственных функций. В классе функций, обращающихся в нуль на У, система собственных функций образует полную ортогональную систему функций.

Таким образом, можно построить набор частных решений вида (2.2.4).

суперпозиция которых образует ряд.

(2.2.8).

который представляет собой решение уравнения (2.2.1), удовлетворяющее граничному условию (2.2.3).

Выберем теперь постоянные в (2.2.8) так, чтобы удовлетворить начальному условию (2.2.2). Полагая в (2.2.8) t =0, получаем.

(2.2.9).

В соответствии с теоремой Стеклова, в этом разложении функции ц (M) в ряд по собственным функциям задачи (2.2.7) коэффициенты могут быть найдены по формулам.

(2.2.10).

где норма собственных функций.

Каждый член ряда (2.2.8) экспоненциально убывает со временем, причем для достаточно больших значений t первый член ряда преобладает над суммой остальных членов, так как собственные значения растут с увеличением номера n. Поэтому для остывающего тела через некоторое время устанавливается регулярный режим, который хорошо описывается первым членом разложения (2.2.8). При этом в качестве характерного времени остывания тела, характеризующего темп охлаждения, можно выбрать величину, где — первое минимальное собственное значение задачи (2.2.7).

Этот факт положен в основу нестационарных методов определения коэффициента температуропроводности. В самом деле, измеряя температуру тела в произвольной точке М_0, находим, что.

график этой функции изображается, начиная с некоторого момента времени, прямой линией с угловым коэффициентом. Зная величину, зависящую от формы, можно найти коэффициент температуропроводности.

Ниже рассмотрены примеры решения задач остывания тел правильной формы, когда задача (2.2.7) может быть решена точно в аналитическом виде. В этих задачах собственные значения и собственные функции зависят от нескольких целочисленных параметров. Поэтому суммирование в формулах (2.2.8) и (2.2.9) следует понимать как суммирование по всем этим параметрам.

2.3 Примеры решения задач.

Пример 1. Рассмотрим задачу об остывании однородного шара радиуса R, имеющего некоторую начальную температуру, зависящую только от расстояния r точки от центра шара, если на его поверхности поддерживается температура равная нулю.

В этом случае задача приводится к интегрированию уравнения теплопроводности.

при начальном условии.

и при граничном условии.

Согласно методу разделения переменных задача на собственные значения (2.2.7) имеет вид.

Полагая w = rv, приходим к следующей задаче:

Собственные значения и собственные функции краевой задачи, как известно, даются формулами:

Таким образом,.

далее, удовлетворяя начальному условию, находим согласно (2.2.10).

Следовательно, решение задачи вычисляется по формуле.

Пример 2. Пусть тело представляет собой прямоугольный параллелепипед со сторонами, и, занимающий в пространстве область Щ = { (х, у, z): 0 < х < , 0 < у < ,0 < z < }. Тогда задача (2.2.7) для функции v (x, у, z) примет вид.

; (2.3.1).

(2.3.2).

Собственные функции этой задачи будем искать методом разделения переменных, представляя эти функции в виде произведения:

v (x,y,z) =X (x) Y (y) Z (z). (2.3.3).

Подставляя (2.3.3) в уравнение (2.3.1), получаем.

откуда с учетом граничных условий приходим к трем задачам Штурма — Лиувилля на собственные значения:

Эти задачи имеют следующие нетривиальные решения:

В итоге для задачи (2.3.1), (2.3.2) находим собственные значения.

и соответствующие им собственные функции.

.

Поскольку собственные функции зависят от трех целочисленных параметров n, m и k, функция u (х, у, z, t), записанная в виде тройного тригонометрического ряда.

(2.3.4).

с коэффициентами.

(2.3.5).

в силу (2.2.8) — (2.2.10) является решением задачи остывания прямоугольного параллелепипеда (пластины) конечных размеров.

Пример 3. Рассмотрим задачу остывания цилиндра радиуса c и высотой H, т. е. тела, занимающего область Щ = { (r, ц, z): 0 ? r < , 0 ? ц < 2р, 0 < z <H}. Предполагаем, что начальное распределение температуры U (r, z) не зависит от угловой переменной ц. Тогда в любой момент времени t > 0 решение задачи u (r, z, t) будет обладать осевой симметрией. Поэтому задача (2.2.7) на собственные значения примет вид.

(2.3.6).

Если искать ее решение в виде.

v (r, z) = R (r) Z (z),.

то для функции Z (z) получим задачу Штурма — Лиувилля.

(2.3.7).

которая имеет дискретный набор собственных значений.

(2.3.8).

и собственных функций.

(2.3.9).

Для функции R (r) соответствующая задача на собственные значения примет вид.

(2.3.10).

Здесь — некоторая пока еще неизвестная постоянная.

Если ввести новое переменное и обозначить, то для определения функции у (х) получим дифференциальное уравнение Бесселя нулевого порядка.

(2.3.11).

Его общее решение.

у (х) = A J₀ (x) + В N₀ (x) (2.3.12).

содержит функции Бесселя J₀ (x) и Неймана N₀ (x) нулевого порядка, представляющие собой фундаментальную систему линейно независимых решений уравнения Бесселя нулевого порядка. На рис. 2 приведены качественные графики этих функций.

Рис. 2. Графики функции Бесселя J₀ (x) и Неймана N₀ (x) нулевого порядка.

Как следует из графиков, функция Бесселя ограничена при х = 0, точнее J₀ (0) = 1, а функция Неймана неограниченно растет по модулю при х > 0.

Заменяя х на r, запишем общее решение уравнения (2.3.12) как.

. (2.3.13).

Условие ограниченности функции R (r) при r = 0 дает В = 0. Полагая затем в уравнении (2.3.13) r =, получаем.

(2.3.14).

Это трансцендентное уравнение при А? 0 имеет счетное множество положительных корней, которые являются нулями функции J₀ (x) (см. рис.1). Приведем несколько первых значений .

Отметим, что с возрастанием номера m разность значений двух соседних корней стремится к р. Действительно, например, = 3,1405. Это свойство корней функции Бесселя J₀ (x) вытекает из асимптотической формулы.

Таким образом, задача (2.3.10) имеет бесчисленное множество собственных значений.

которым соответствуют собственные функции.

Докажем, что эти функции ортогональны на отрезке [0, р] с некоторым весом с (r) = r. Для этого запишем уравнения, которым удовлетворяют две собственные функции и :

Умножим первое из уравнений на, а второе — на. Тогда после вычитания второго соотношения из первого получим.

.

Интегрируя это равенство по r в пределах от 0 до r, будем иметь.

Так как =, a =, то по свойству бесселевых функций.

; ,.

где — функция Бесселя первого порядка.

Следовательно,.

(2.3.15).

Если верхний предел интегрирования выбрать равным, то, учитывая, что = = 0, из уравнения (2.3.15) получаем условие ортогональности.

которое согласуется с выводами теории задачи Штурма — Лиувилля.

Совершим теперь в уравнении (2.3.15) предельный переход. Правая часть равенства (2.3.15) при этом дает неопределенность 0/0. Раскрывая ее дифференцированием по и последующей подстановкой, получаем.

(2.3.16).

Так как = 0, то, положив в уравнении (26) r =r₀, получаем выражение для квадрата нормы.

(2.3.17).

Таким образом, доказано, что нетривиальные решения задачи (2.3.6) существуют только при.

Этим собственным значениям соответствуют собственные функции.

В итоге с учетом соотношений (2.2.8) и (2.2.10) получим решение задачи об остывании ограниченного цилиндра в виде двойного ряда.

(2.3.18).

с коэффициентами.

(2.3.19).

которые определяются заданным начальным распределением температуры.

Регулярный режим остывания для достаточно больших значений t описывается одним членом ряда (2.3.18):

.

где — коэффициент температуропроводности материала, из которого выполнен цилиндр; Н и — геометрические размеры цилиндра.

Заключение.

В рамках данного курсового проекта была рассмотрена постановка краевых задач остывания нагретых тел, в частности, остывание однородного шара, прямоугольного параллелепипеда и цилиндра..

В данной работе исследован метод разделения переменных Фурье для уравнения теплопроводности. Как видно из рассмотренных примеров, основная трудность при решении задач об остывании нагретых тел состоит в нахождении собственных функций и собственных значений для данной области. Отметим, что форма решения, полученная методом разделения переменных, удобна для исследования достаточно развитой стадии процесса при больших t.

Список используемой литературы.

1. Араманович И. Г. Уравнения математической физики. /И.Г. Араманович, В. И. Левин — М.: Наука, 1969. — 288 с.

2. Байков В. А., Жибер А. В. Уравнения математической физики. / В. А. Байков, А. В. Жибер — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003 — 252 с.

3. Мартинсон Л. К., Малов Ю. И. Дифференциальные уравнения математической физики. / Л. К. Мартинсон, Ю. И. Малов — М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002 — 368 с.

4. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский — М.: Наука, 1972. — 736 с.