Синтез оптимальных по интегральному квадратичному критерию систем управления

Рассмотрим задачу синтеза оптимальных по интегральному квадратичному критерию систем управления при условии, что объект имеет большую размерность. В этом случае решение задачи синтеза может быть упрощено, если решать ее методом декомпозиции. В частности, решение задачи синтеза оптимальных систем управления может быть существенно упрощено при синтезе методом декомпозиции, когда управляемая система является нелинейной и ее можно разбить на подсистемы, каждая из которых при пренебрежении взаимосвязями становится линейной.

Пусть требуется синтезировать оптимальный алгоритм управления по интегральному квадратичному критерию для управляемой системы, которая описывается уравнениями.

где А_к — (п_к х п*)-матрица, В_к — (п* х /*)-матрица, пара (Ак, В_к) вполне управляема. Здесь мы ограничимся случаем, когда все матрицы Ак и Вк являются постоянными. Решим поставленную задачу методом декомпозиции. Для этого рассмотрим подсистемы.

которые получаются из ци. ооа;, если пренеоречь слагаемыми, определяющими взаимосвязь, и синтезируем для них алгоритмы управления, оптимальные по интегральному квадратичному критерию Здесь Rk — постоянные положительно определенные симметрические матрицы.

Оптимальные управления имеют вид (см. (10.28)).

где К к — положительно определенные симметрические матрицы, которые находятся из алгебраических матричных уравнений Риккати.

Подставив управления (10.57а) в уравнения подсистем (10.56а) и агрегированной системы (10.55а), получим соответственно уравнения замкнутых подсистем.

и уравнения замкнутой агрегированной (т. е. синтезированной) системы управления.

Функции Веллмана для синтезируемых подсистем имеют вид.

и они являются функциями Ляпунова для синтезированных подсистем (10.58). Производные по времени от этих функций, вычисленные в силу (10.58), имеют вид (см. (10.326)).

и являются отрицательно определенными квадратичными формами. Отрицательная определенность производной где.

следует из того, что в скобках первое слагаемое является положительно определенной квадратичной формой, а второе слагаемое — по крайней мере, положительно_полуопределенной квадратичной формой, так как, положив z = 13% К к* его можно представить в виде z^TR^¹z. Хотя последняя квадратичная форма является положительно определенной, нельзя утверждать, что исходная квадратичная форма (второе слагаемое в последнем соотношении) является положительно определенной, так как z может обратиться в нуль при х ф 0.

По теореме 7.4, если система сравнения устойчива, то агрегированная система асимптотически устойчива. Формула (7.36) для элементов матрицы D системы сравнения, определяемых на основании функций Ляпунова подсистем, принимает вид.

где A^^fc, A^^fc — минимальное и максимальное собственные значения матрицы К k, A^^fc — минимальное собственное значение матрицы К к-, hkj — константы, которые входят в условие (10.556).

Для того чтобы система сравнения была устойчива по критерию Севастьянова — Котелянского необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (см. (7.39)).